Теорема (о виде общего решения неоднородной системы уравнений).

Решение неоднородной системы уравнений всегда может быть представлено как сумма общего решения соответствующей однородной системы и произвольного частного решения неоднородной системы

.

Доказательство. Рассмотрим разность между любым решением неоднородной системы и некоторым частным решением той же системы. Используя линейные свойства матриц, получим

.

Таким образом, показано, что указанная разность всегда является некоторым решением соответствующей однородной системы, что и доказывает теорему.

Частное решение неоднородной системы обычно выделяют из ее общего решения, полагая в общем решении вектор произвольных постоянных равным нулевому вектору в пространстве арифметических векторов размерности :

.

Пример. Решим методом Гаусса следующую систему уравнений:

Выпишем расширенную матрицу этой системы и выполним ее элементарные преобразования по методу Гаусса. Умножим первую строку последовательно на числа 3, 2, 1 и вычтем результаты из второй, третьей и четвертой строк:

Вычтем теперь последовательно из третьей и четвертой строк вторую строку, а вторую строку разделим на число 5. Мы получили ступенчатую матрицу , соответствующую этапу прямого хода метода Гаусса

.

Примем за базисные неизвестные , а за свободные неизвестные . Отбросив в ступенчатой матрице нулевые строки, оставим в системе уравнений слагаемые с базисными неизвестными в левых частях уравнений, а слагаемые со свободными неизвестными перенесем со знаком минус в правые части уравнений:

 

 

Полученная система имеет единственное решение относительно базисных неизвестных при любых значениях свободных неизвестных . Подставляя выражение для в первое уравнение системы, получим окончательно общее решение неоднородной системы в виде:

 

Запишем общее решение неоднородной системы, используя ее частное решение и фундаментальную систему решений, соответствующего однородного уравнения. Полагая в общем решении неоднородного уравнения, вектор произвольных постоянных равным нулевому вектору , получим частное решение неоднородной системы в виде

.

Далее положим в общем решении соответствующего однородного уравнения вектор произвольных постоянных равным последовательно векторам канонического базиса , . В результате получим фундаментальную систему решений приведенного однородного уравнения в виде .

Окончательно, общее решение исходного неоднородного уравнения представляется в виде:

.

С помощью метода Гаусса можно эффективно вычислять обратную матрицу . Из теоремы Крамера следует, что обратные матрицы существуют только для невырожденных матриц и находятся единственным образом, какой бы способ не использовался для их вычисления. Количество арифметических операций при обращении матрицы порядка по методу Гаусса равно числу и является наименьшим по сравнению с другими точными методами. Для построения обратной матрицы для матрицы сначала составляют специальную расширенную матрицу . Далее выполняются элементарные преобразования над расширенной матрицей по полной схеме метода Гаусса. В результате матрица приводится к виду . В преобразованной матрице справа от единичной матрицы формируется именно обратная матрица . Действительно, матричное уравнение , составленное относительно неизвестных нам элементов матрицы , равносильно совокупности из неоднородных систем уравнений: . Правые части этих систем состоят из канонических арифметических вектор – столбцов , а неизвестными являются столбцы искомой матрицы . Расширенная матрица этих неоднородных уравнений равна . Таким образом, когда расширенная матрица приводится к виду , происходит решение неоднородных систем уравнений по методу Гаусса, а в преобразованной матрице справа от единичной матрицы формируется обратная матрица.

Пример. Вычислим по методу Гаусса матрицу, обратную к .

Специальная расширенная матрица в нашем случае имеет вид:

 

= .

 

Далее выполняются элементарные преобразования над расширенной матрицей по полной схеме метода Гаусса:

 

= .

 

Таким образом, в матрице справа от единичной матрицы сформирована обратная матрица , в нашем случае равная

 

= .

Правильность вычисления обратной матрицы всегда рекомендуется проверять непосредственно по ее определению , выбирая для контроля любое из равенств.

10.

Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса

В предыдущем разделе мы установили, что как только в линейном пространстве выбран базис, то каждому линейному преобразованию соответствует матрица этого преобразования. Однако если выбрать в пространстве другой базис, то матрица преобразования, как правило, станет другой. Выясним, как эти матрицы связаны между собой.

Пусть -- -мерное линейное пространство, и -- два базиса в этом пространстве. Первый из них назовем "старым", а второй -- "новым". Пусть -- матрица перехода 19.1.4 а от старого базиса к новому.

Предложение 19.1 Пусть -- линейное преобразование пространства , и -- матрицы этого преобразования в старом и новом базисе соответственно. Тогда

Доказательство. Пусть -- произвольный вектор пространства , -- его образ, то есть . Пусть и -- координатные столбцы векторов и в старом базисе, а , -- в новом. Тогда в силу формулы (19.3) . По предложению 18.5 имеем , . Подставим эти выражения в предыдущую формулу, получаем . Откуда . С другой стороны, в силу формулы (19.3) в новом базисе . Сравнивая это равенство с предыдущим, получаем .

Определение 19.2 Две квадратных матрицы и одного порядка называются подобными, если существует такая невырожденная матрица , что .

Следствие 19.1 Матрицы одного линейного преобразования, соответствующие разным базисам, подобны друг другу, и наоборот, если матрицы подобны, то они являются матрицами одного и того же преобразования в разных базисах.

Пример 19.4 Пусть -- -мерное линейное пространство, Выберем в этом пространстве базис . Тогда у любого вектора есть его координатный столбец . Пусть -- квадратная матрица порядка . Определим преобразование следующим образом: является вектором, координатный столбец которого равен (справа стоит произведение матрицы на столбец ). Покажем, что преобразование -- линейное.

Пусть и имеют координатные столбцы и соответственно, а их образы и -- координатные столбцы , и . Тогда

Но выражение в последнем равенстве справа является координатным столбцом образа суммы векторов . Следовательно, .

Пусть -- произвольное число. Тогда координатный столбец вектора равен , координатный столбец образа вектора

то есть равен числу , умноженному на координатный столбец образа вектора . Поэтому . Тем самым мы доказали, что преобразование является линейным.

Очевидно, что примерами линейных преобразований могут служить тождественное преобразование, то есть преобразование, переводящее каждый вектор в себя, , и нулевое преобразование, переводящее каждый вектор в нуль, .

Легко проверяется, что для любого линейного преобразования образ нуля равен нулю, . Действительно, в силу второго из равенств (19.1)

 

 

Матрица линейного преобразования В примере 19.4 было показано, что преобразование -мерного пространства, заключающееся в умножении координатных столбцов векторов на фиксированную матрицу, является линейным преобразованием. В этом разделе мы покажем, что все линейные преобразования конечномерного пространства устроены таким же образом.

Пусть -- -мерное линейное пространство, в котором задан базис , -- линейное преобразование. Возьмем произвольный вектор . Пусть -- его координатный столбец. Координатный столбец вектора обозначим .

Запишем разложение вектора по базису пространства . Для образа этого вектора получим

(19.2)

Векторы имеют какие-то координатные столбцы, обозначим их , ,..., соответственно. В этой записи первый индекс показывает номер координаты, а второй индекс -- номер вектора. Соответственно,

Подставим это выражение в равенство (19.2) и, используя предложение 14.3, изменим порядок суммирования

Это равенство означает, что -той координатой вектора служит .

Составим матрицу из координатных столбцов векторов ,...,

Вычислим произведение матрицы на столбец

Мы видим, что -ый элемент столбца совпадает с -ой координатой вектора . Поэтому

(19.3)

Это означает, что в выбранном базисе действие любого линейного преобразования сводится к умножению матрицы на координатный столбец вектора.

Матрица называется матрицей линейного преобразования . Еще раз напомним, как она составлена: первый столбец является координатным столбцом образа первого базисного вектора, второй столбец -- координатным столбцом образа второго базисного вектора и т.д.

Пример 19.5 Найдем матрицу линейного преобразования из примера 19.1.

Выберем какой-нибудь базис . Тогда

Следовательно, первый столбец матрицы имеет вид . Аналогично

Второй столбец матрицы имеет вид . В итоге

 

Пример 19.6 Найдем матрицу линейного преобразования из примера 19.2. Угол возьмем равным . В качестве базиса возьмем привычный ортонормированный базис i, j.

Из рисунка 19.7 видно, что вектор имеет координаты и .

Рис.19.7.Координаты образов базисных векторов при преобразовании поворота

 

Поэтому координатный столбец образа первого базисного вектора имеет вид . Координаты образа второго базисного вектора равны и , его координатный столбец имеет вид . В итоге получаем, что в базисе i, j матрица поворота на угол имеет вид

Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису

Пусть линейный оператор

^

A

: X_n → X_n в базисе e имеет матрицу A _e. Найдем матрицу этого оператора A _f в базисе f. Пусть C — матрица перехода от базиса e к базису f.

Теорема. Преобразование матрицы оператора

^

A

при переходе от "старого" базиса e к "новому" базису f определяется формулой:

Af = C ^−1 AeC.

(1)

Доказательство.

Рассмотрим произвольный вектор x и его образ y =

^

A

x. Обозначим координатные столбцы этих векторов: X _e и Y _e — в "старом" базисе e; X _f и Y _f — в "новом" базисе f.

Тогда

Ye = Ae · Xe

и

Yf = Af · Xf.

Отсюда, используя формулы преобразования вектора, получаем

Yf = C ^−1 Ye = C ^−1 AeXe = C ^−1 AeC Xf.

Сравнивая с выражением Y _f = A _f · X _f, приходим к формуле (1), которую требовалось доказать.

¾¾¾¾ * * *

Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования.

 

Определение: Пусть L – заданное n- мерное линейное пространство. Ненулевой вектор L называется собственным вектором линейного преобразования А, если существует такое число l, что выполняется равенство:

A .

 

При этом число l называется собственным значением (характеристическим числом) линейного преобразования А, соответствующего вектору .

 

Определение: Если линейное преобразование А в некотором базисе , ,…, имеет матрицу А = , то собственные значения линейного преобразования А можно найти как корни l₁, l₂, …,l_nуравнения:

 

Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его левая часть- характеристическим многочленом линейного преобразования А.

 

Следует отметить, что характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса.

 

Рассмотрим частный случай. Пусть А – некоторое линейное преобразование плоскости, матрица которого равна . Тогда преобразование А может быть задано формулами:

 

;

в некотором базисе .

Если преобразование А имеет собственный вектор с собственным значением l, то А .

или

 

Т.к. собственный вектор ненулевой, то х₁ и х₂ не равны нулю одновременно. Т.к. данная система однородна, то для того, чтобы она имела нетривиальное решение, определитель системы должен быть равен нулю. В противном случае по правилу Крамера система имеет единственное решение – нулевое, что невозможно.

 

Полученное уравнение является характеристическим уравнением линейного преобразования А.

 

Таким образом, можно найти собственный вектор (х₁, х₂) линейного преобразования А с собственным значением l, где l - корень характеристического уравнения, а х₁ и х₂ – корни системы уравнений при подстановке в нее значения l.

 

Понятно, что если характеристическое уравнение не имеет действительных корней, то линейное преобразование А не имеет собственных векторов.

Следует отметить, что если - собственный вектор преобразования А, то и любой вектор ему коллинеарный – тоже собственный с тем же самым собственным значением l.

Действительно, . Если учесть, что векторы имеют одно начало, то эти векторы образуют так называемое собственное направление или собственную прямую.

 

Т.к. характеристическое уравнение может иметь два различных действительных корня l₁ и l₂, то в этом случае при подстановке их в систему уравнений получим бесконечное количество решений. (Т.к. уравнения линейно зависимы). Это множество решений определяет две собственные прямые.

 

Если характеристическое уравнение имеет два равных корня l₁ = l₂ = l, то либо имеется лишь одна собственная прямая, либо, если при подстановке в систему она превращается в систему вида: . Эта система удовлетворяет любым значениям х₁ и х₂. Тогда все векторы будут собственными, и такое преобразование называется преобразованием подобия.

 

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А = .

 

Запишем линейное преобразование в виде:

Составим характеристическое уравнение:

l² - 8l + 7 = 0;

Корни характеристического уравнения: l₁ = 7; l₂ = 1;

Для корня l₁ = 7:

Из системы получается зависимость: x₁ – 2x₂ = 0. Собственные векторы для первого корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; 0,5t) где t - параметр.

 

Для корня l₂ = 1:

Из системы получается зависимость: x₁ + x₂ = 0. Собственные векторы для второго корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; -t) где t - параметр.

 

Полученные собственные векторы можно записать в виде:

 

 

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А = .

 

Запишем линейное преобразование в виде:

 

Составим характеристическое уравнение:

l² - 4l + 4 = 0;

 

Корни характеристического уравнения: l₁ = l₂ = 2;

Получаем:

Из системы получается зависимость: x₁ – x₂ = 0. Собственные векторы для первого корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; t) где t - параметр.

 

Собственный вектор можно записать: .

 

 

Рассмотрим другой частный случай. Если - собственный вектор линейного преобразования А, заданного в трехмерном линейном пространстве, а х₁, х₂, х₃ – компоненты этого вектора в некотором базисе , то

,

где l - собственное значение (характеристическое число) преобразования А.

 

Если матрица линейного преобразования А имеет вид:

 

, то

 

Характеристическое уравнение:

Раскрыв определитель, получим кубическое уравнение относительно l. Любое кубическое уравнение с действительными коэффициентами имеет либо один, либо три действительных корня.

Тогда любое линейное преобразование в трехмерном пространстве имеет собственные векторы.

 

 

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования А, матрица линейного преобразования А = .

 

Составим характеристическое уравнение:

 

 

 

(1 - l)((5 - l)(1 - l) - 1) - (1 - l - 3) + 3(1 - 15 + 3l) = 0

(1 - l)(5 - 5l - l + l² - 1) + 2 + l - 42 + 9l = 0

(1 - l)(4 - 6l + l²) + 10l - 40 = 0

4 - 6l + l² - 4l + 6l² - l³ + 10l - 40 = 0

-l³ + 7l² – 36 = 0

-l³ + 9l² - 2l² – 36 = 0

-l²(l + 2) + 9(l² – 4) = 0

(l + 2)(-l² + 9l - 18) = 0

 

Собственные значения: l₁ = -2; l₂ = 3; l₃ = 6;

 

1) Для l₁ = -2:

 

Если принять х₁ = 1, то Þ х₂ = 0; x₃ = -1;

 

Собственные векторы:

 

2) Для l₂ = 3:

 

Если принять х₁ = 1, то Þ х₂ = -1; x₃ = 1;

 

Собственные векторы:

 

3) Для l₃ = 6:

 

Если принять х₁ = 1, то Þ х₂ = 2; x₃ = 1;

 

Собственные векторы:

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования А, матрица линейного преобразования А = .

 

Составим характеристическое уравнение:

 

 

-(3 + l)((1 - l)(2 - l) – 2) + 2(4 - 2l - 2) - 4(2 - 1 + l) = 0

-(3 + l)(2 - l - 2l + l² - 2) + 2(2 - 2l) - 4(1 + l) = 0

-(3 + l)(l² - 3l) + 4 - 4l - 4 - 4l = 0

-3l² + 9l - l³ + 3l² - 8l = 0

-l³ + l = 0

l₁ = 0; l₂ = 1; l₃ = -1;

 

Для l₁ = 0:

 

Если принять х₃ = 1, получаем х₁ = 0, х₂ = -2

Собственные векторы ×t, где t – параметр.

Две системы, множества решений которых совпадают, называются эквивалентными или равносильными (совпадение множеств решений означает, что каждое решение первой системы является решением второй системы, и каждое решение второй системы является решением первой)

11. Согласно теории множеств, любую геометрическую фигуру следует рассматривать как множество всех принадлежащих ей точек. Таким образом, всякая геометрическая фигура есть не пустое множество.
Отображение геометрической фигуры на плоскость (или какую-либо другую поверхность) можно осуществить путем проецирования ее точек на эту плоскость (поверхность).
Целесообразно рассмотреть евклидово пространство и его свойства до изучения метода проецирования.
Свойства евклидова пространства могут быть выражены при помощи системы предложений - аксиом, которые устанавливают зависимости и отношения между элементами пространства.
Точки, прямые и плоскости евклидова пространства (трехмерного) находятся в определенном взаимоотношении, которое может быть обозначено словом принадлежность или инцидентность.
Термин инцидентность заменяет такие понятия как лежать на, проходить через.
В дальнейшем вместо выражений точка лежит на плоскости, прямая проходит через точку мы будем употреблять:
- точка A принадлежит (инцидентна) плоскости;
- точка B принадлежит прямой.

Евклидово пространство и его свойства

В символической форме эти выражения могут быть записаны

A ∈ α; B ∈ a

Аксиомы инцидентности или отношения принадлежности между элементами евклидова пространства могут быть выражены следующими предложениями:

1. Если точка A принадлежит прямой a, а прямая a принадлежит плоскости α, то точка A принадлежит плоскости α

1.	A ∈ a ⊂ α ⇒ A ∈ α

2. Две различные точки A и B всегда принадлежат одной и той же и только одной прямой a или каждой прямой a принадлежат, по крайней мере, две точки A и B

2.	(∀A,B)(A ≠ B) ⇒ (∃ 1 a)(a ∋ A, B)

3. Три различные точки A, B и C, не принадлежащие одной прямой, принадлежат одной и той же и только одной плоскости

3.	(∀ ABC)(A ≠ B ≠ C) ∧ (A, B,C ≠ ∈ a) ⇒ (∃ 1 α)

4. Если две точки A и B, принадлежащие прямой a, принадлежат плоскости α, то и прямая a принадлежит плоскости α

4.	(∀ AB)(A ≠ B)(A, B ∈ a) ∧ (A, B ∈ α) ⇒ (a ⊂ α)

Кроме отмеченных предложений, могут быть сформулированы и другие предложения принадлежности для элементов евклидова пространства:

5. Две прямые, принадлежащие одной плоскости, могут принадлежать одной точке, но этого может и не быть.

6. Две плоскости могут принадлежать одной и той же прямой, но этого может и не быть.

7. Плоскость и не принадлежащая ей прямая могут принадлежать одной точке, но этого может и не быть.

Последние три предложения по существу перефразируют аксиому о параллельности:
- предложение 5 утверждает, что в евклидовой плоскости две прямые либо пересекаются (принадлежат одной точке), либо не имеют общей точки,- в этом случае они называются параллельными;
- предложение 6 говорит о том, что в евклидовом пространстве две плоскости либо пересекаются (принадлежат одной прямой), либо они параллельны.
- предложение 7 утверждает, что в евклидовом пространстве прямая, не принадлежащая плоскости, либо пересекает ее (прямая и плоскость принадлежат одной точке), либо они параллельны.

 

 

Определителем Грама (грамианом) системы векторов в евклидовом пространстве называется определитель матрицы Грама этой системы:

где — скалярное произведение векторов и .

Матрица Грама возникает из следующей задачи линейной алгебры: