Модуль вещественного числа и его свойства

Определение. Модуль вещественного числа — это само число , если , и противоположное число , если .

Свойства модуля

1. ,

.

2. .

3. — это расстояние между точками и на числовой оси.

Понятие последовательности

 

Если функция определена на множестве натуральных чисел N, то такая функция называется бесконечной числовой последовательностью. Обычно числовые последовательность обозначают как(Xn), где n принадлежит множеству натуральных чисел N.

Числовая последовательность может быть задана формулой. Например, Xn=1/(2*n). Таким образом мы ставим в соответствие каждому натуральному числу n некоторый определенный элемент последовательности (Xn).

Если теперь последовательно брать n равными 1,2,3, …., мы получим последовательность (Xn): ½, ¼, 1/6, …, 1/(2*n), …

Виды последовательности

Последовательность может быть ограниченной или неограниченной, возрастающей или убывающей.

Последовательность (Xn) называет ограниченной, если существуют два числа m и M такие, что для любого n принадлежащего множеству натуральных чисел, будет выполняться равенство m<=Xn

Последовательность (Xn), не являющаяся ограниченной, называется неограниченной последовательностью.

Последовательность (Xn) называется возрастающей, если для всех натуральных n выполняется следующее равенство X(n+1) > Xn. Другими словами, каждый член последовательности, начиная со второго, должен быть больше предыдущего члена.

Последовательность (Xn) называется убывающей, если для всех натуральных n выполняется следующее равенство X(n+1) < Xn. Иначе говоря, каждый член последовательности, начиная со второго, должен быть меньше предыдущего члена.

Пример последовательности

Проверим, являются ли последовательности 1/n и (n-1)/n убывающими.

Если последовательность убывающая, то X(n+1) < Xn. Следовательно X(n+1) – Xn < 0.

1/n:

X(n+1) – Xn = 1/(n+1) – 1/n = -1/(n*(n+1)) < 0. Значит последовательность 1/n убывающая.

(n-1)/n:

X(n+1) – Xn =n/(n+1) - (n-1)/n = 1/(n*(n+1)) > 0. Значит последовательность (n-1)/n возрастающая.

 

Бесконечно малые последовательности

Определение бесконечно малой последовательности

Последовательность называется бесконечно малой, если , т.е. .

 

Свойства бесконечно малых последовательностей

1. Бесконечно малая последовательность ограничена.
2. Сумма бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
3. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную есть бесконечно малая последовательность.
4. Если элементы бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числу , то .

 

Примеры

1. Последовательность – бесконечно малая, т.к. .
2. — бесконечно малая, т.к. – ограниченная, а .
3. – бесконечно малая, т.к. — ограниченная, а .
4. – бесконечно малая при , т.к. при .
5. – бесконечно малая, т.к. , которая является бесконечно малой.

23. Сходящиеся последовательности и их свойства

Рассмотрим числовые последовательности.

Последовательность (x_n) действительных чисел называется сходящейся, если существует действительное число a и для произвольного ε > 0 существует натуральное число m такое, что для всех n > m справедливо неравенство | x_n - a | < ε.

При этом число a называют пределом последовательности (x_n), что символически записывают

или x_n → a при n → ∞.

С помощью логических символов определение запишется следующим образом: числовая последовательность (x_n) называется сходящейся, если

24. Определение. 1) Если x_n+1 > x_n для всех n, то последовательность возрастающая.

2)Если x_n+1 ³ x_n для всех n, то последовательность неубывающая.

3)Если x_n+1 < x_n для всех n, то последовательность убывающая.

4)Если x_n+1 £ x_n для всех n, то последовательность невозрастающая

Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

Число e

Последовательность , имеет конечный предел, называемый числом е:

25. Основными элементарными функциями являются: постоянная функция (константа), корень n-ой степени, степенная функция, показательная, логарифмическая функция, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

• Постоянная функция (константа)
• Корень n -ой степени.
• Степенная функция
• Показательная функция
• Логарифмическая функция
• тригонометрические функции
• Обратные тригонометрические функции (аркфункции)

26.