Вычисление числа сочетаний без повторений с помощью треугольника Паскаля

Для вычисления числа сочетаний без повторений можно применять формулу (3): , а можно последовательно вычислять соответствующие значения, пользуясь таким свойством:

Для обоснования равенства (6) найдем сумму учитывая, что

, следовательно,

Это равенство позволяет последовательно вычислять значения с помощью специальной таблицы, которая называется треугольником Паскаля. Если считать, что , то таблица будет иметь следующий вид (табл. 23).

Каждая строка этой таблицы начинается с единицы и заканчивается единицей .

Если какая-либо строка уже заполнена, например, третья, то в четвертой строке надо записать на первом месте единицу. На втором месте запишем число, равное сумме двух чисел третьей строки, стоящих над ним левее и правее (поскольку по формуле (6) .

На третьем месте запишем число, равное сумме двух следующих чисел третьей строки, стоящих над ним левее и правее , и т. д. (а на последнем месте снова запишем единицу).

Примеры решения задач:

Обратим внимание, что, как и раньше, для выбора формулы при решении простейших комбинаторных задач достаточно ответить на вопросы:

1. Учитывается ли порядок следования элементов в соединении?

2. Все ли заданные элементы входят в полученное соединение?

Для выяснения того, что заданное соединение является сочетанием, достаточно ответить только на первый вопрос. Если порядок следования элементов не учитывается, то по определению это сочетания из элементов по элементов.

Пример №49

Из 12 членов туристической группы надо выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

Решение:

Количество способов выбрать из 12 туристов трех дежурных равно количеству сочетаний из 12 элементов по 3 (без повторений), то есть

Комментарий:

Для выбора соответствующей формулы выясняем ответы на вопросы, приведенные выше. Поскольку порядок следования элементов не учитывается (для дежурных неважно, в каком порядке их выберут), то соответствующее соединение является сочетанием из 12 элементов по 3 (без повторений). Для вычисления можно использовать формулы (3) или (5), в данном случае применяем формулу (3):

Пример №50

Из вазы с фруктами, в которой лежит 10 разных яблок и 5 разных груш, требуется выбрать 2 яблока и 3 груши. Сколькими способами можно сделать такой выбор?

Решение:

Выбрать 2 яблока из 10 можно способами. При каждом выборе яблок груши можно выбрать способами. Тогда по правилу произведения выбор требуемых фруктов можно выполнить способами. Получаем

Комментарий:

Сначала отдельно выберем 2 яблока из 10 и 3 груши из 5. Поскольку при выборе яблок или груш порядок следования элементов не учитывается, то соответствующие соединения — сочетания без повторений.

Учитывая, что требуется выбрать 2 яблока и 3 груши, используем правило произведения и перемножим полученные возможности выбора яблок() и груш ().

Бином Ньютона

Бином Ньютона:

Поскольку то формулу бинома Ньютона можно записать еще и так:

Общий член разложения степени бинома имеет вид

Коэффициенты называют биномиальными коэффициентами.

Свойства биномиальных коэффициентов:

1. Число биномиальных коэффициентов (а следовательно, и число слагаемых в разложении степени бинома) равно

2. Коэффициенты членов, равноудаленных от начала и конца разложения, равны между собой (поскольку

3. Сумма всех биномиальных коэффициентов равна

4. Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах.

5. Для вычисления биномиальных коэффициентов можно воспользоваться треугольником Паскаля, в котором вычисления коэффициентов основываются на формуле

Треугольник Паскаля

Степень:

Коэффициенты разложения:

Ориентир:

В каждом ряду по краям стоят единицы, а каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, находящихся над ним справа и слева Например,