Теорема умножения вероятностей

Т.2. Вероятность совместного появления двух случайных событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого события, вычисленную при условии, что первое событие имело место:

Доказательство: Пусть событие А состоит в том, что брошенная точка наугад в квадрат G попадает в область А, которая имеет площадь Событие В состоит в том, что брошенная наугад в квадрат G точка попадает в область В с площадью Пусть весь квадрат имеет площадь S, а область совместного наступления событий имеет площадь (Рис. 5). Тогда вероятность события А равна а события В -

Рис. 5. Совместное наступление зависимых и независимых случайных событий.

Вероятность совместного наступления событий .Условные вероятности того, что произойдут указанные события, определяются по формулам: Таким образом, можно записать, что вероятность совместного наступления событий равна:

Замечание: Если события А и В независимы, то т.е. безусловная и условная вероятности равны между собой.

В связи с вышеприведенным замечанием теорема об умножении вероятностей независимых случайных событий имеет вид:

ТЗ. Вероятность совместного наступления независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Замечание: Независимость случайных событий всегда взаимная. Если то по теореме откуда следует, что

Следствие: Методом математической индукции теоремы легко обобщается на произведение N зависимых событий:

а теорема - для независимых событий:

Замечание: Если сложное событие представляется в виде произведения элементарных событий, то при вычислении вероятности такого события надо определить, зависимы или независимы эти элементарные события.

Что такое комбинаторика

Понятие множества и его элементов:

• Элемент а принадлежит множеству А
• Элемент принадлежит множеству
• В множестве нет элементов

Множество можно представить как совокупность некоторых объектов, объединенных по определенному признаку. В математике множество — одно из основных неопределяемых понятий. Каждый объект, принадлежащий множеству А, называется элементом этого множества. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается .

Подмножество

Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то говорят, что множество А является подмножеством множества В,

и записывают так: Используется также запись если множество А или является подмножеством множества В, или равно множеству В.

Равенство множеств

Два множества называются равными, если каждый элемент первого множества является элементом второго множества и, наоборот, каждый элемент второго множества является элементом первого множества.

Пересечение множеств

Пересечением множеств A и В называют их общую часть, то есть множество С всех элементов, принадлежащих как множеству А, так и множеству В

Объединение множеств

Объединением множеств А и В называют множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств (А или В)

Разность множеств

Разностью множеств А и В называется множество С, которое состоит из всех элементов, принадлежащих множеству А и не принадлежащих множеству В

Дополнение множества

Если все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого универсального множества U, то разность U \А называется дополнением множества А. Другими словами, дополнением множества А называется множество, состоящее из всех элементов, не принадлежащих множеству А (но принадлежащих универсальному множеству).

Объяснение и обоснование:

Понятие множества

Одним из основных понятий, которые используются в математике, является понятие множества. Для него не дается определения. Можно пояснить, что множеством называют произвольную совокупность объектов, а сами объекты — элементами данного множества. Так, можно говорить о множестве учеников в классе (элементы — ученики), множестве дней недели (элементы — дни недели), множестве натуральных делителей числа 6 (элементы — числа 1, 2, 3, 6) и т. д.

В курсах алгебры и алгебры и начал анализа чаще всего рассматривают множества, элементами которых являются числа, и поэтому их называют числовыми множествами.

Как правило, множества обозначают прописными буквами латинского алфавита. Например, если множество М состоит из чисел 1; 2; 3, то его обозначают так: М = {1; 2; 3}. Тот факт, что число 2 входит в это множество (является элементом данного множества М) записывается с помощью специального значка следующим образом: ; а то, что число 5 не входит в это множество (не является элементом данного множества), записывается так:

Можно рассматривать также множество, не содержащее ни одного элемента, — пустое множество.

Например: множество простых делителей числа 1 — пустое множество.

Для некоторых множеств существуют специальные обозначения. Так, пустое множество обозначается символом , множество всех натуральных чисел — буквой N, множество всех целых чисел — буквой Z, множество всех рациональных чисел — буквой Q, а множество всех действительных чисел — буквой R.

Множества бывают конечными и бесконечными в зависимости от того, какое количество элементов они содержат. Так, множества А = {7} и М = {1; 2; 3} — конечные потому, что содержат конечное число элементов, а множества N, Z, Q, R — бесконечные.

Множества задают или с помощью перечисления их элементов (это можно сделать только для конечных множеств), или с помощью описания, когда задается правило (характеристическое свойство), которое позволяет определить, принадлежит или нет данный объект рассматриваемому множеству. Например, А = {-1; 0; 1} (множество задано перечислением элементов), В — множество четных целых чисел (множество задано характеристическим свойством элементов множества). Последнее множество иногда записывают так: — четное целое число} или так: — здесь после вертикальной черточки записано характеристическое свойство.

В общем виде запись множества с помощью характеристического свойства можно обозначить так: — характеристическое свойство. Например,

Равенство множеств

Пусть А — множество цифр трехзначного числа 312, то есть А = {3; 1; 2}, а В — множество натуральных чисел, меньших четырех, то есть В = {1; 2; 3}. Поскольку эти множества состоят из одних и тех же элементов, то они считаются равными. Это записывают так: А = В.

Для бесконечных множеств таким способом (сравнивая все элементы) установить их равенство невозможно. Поэтому в общем случае равенство множеств определяется следующим образом.

Два множества называются равными, если каждый элемент первого множества является элементом второго множества и, наоборот, каждый элемент второго множества является элементом первого множества.

Из приведенного определения равенства множеств следует, что в множестве одинаковые элементы не различаются. Действительно, например, {1; 2; 2} = {1; 2}, поскольку каждый элемент первого множества (1 или 2) является элементом второго множества и, наоборот, каждый элемент второго множества (1 или 2) является элементом первого. Поэтому, записывая множество, чаще всего каждый его элемент записывают только один раз.

Подмножество

Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то говорят, что множество А является подмножеством множества В.

Это записывают следующим образом:

Например, (поскольку любое натуральное число — целое), (поскольку любое целое число — рациональное), (поскольку любое рациональное число — действительное).

Полагают, что всегда , то есть пустое множество является подмножеством любого множества.

Иногда вместо записи используется также запись , если множество А является подмножеством множества В или равно множеству В. Например, можно записать, что .

Сопоставим определение равенства множеств с определением подмножества. Если множества А и В равны, то: 1) каждый элемент множества А является элементом множества В, следовательно, А — подмножество В ; 2) каждый элемент множества В является элементом множества А, следовательно, В — подмножество Таким образом,

два множества равны, если каждое из них является подмножеством другого.

А = В означает то же, что

Иногда соотношения между множествами удобно иллюстрировать с помощью кругов (которые часто называют кругами Эйлера-Венна). Например, рисунок 118 иллюстрирует определение подмножества, а рисунок 119-отношения между множествами

Операции над множествами

Над множествами можно выполнять определенные действия: находить их пересечение, объединение, разность. Дадим определение этих операций и проиллюстрируем их с помощью кругов.

Пересечением множеств А и В называют их общую часть, то есть множество С всех элементов, принадлежащих как множеству А, так и множеству В.

Пересечение множеств обозначают знаком (на рисунке 120 приведена иллюстрация и символическая запись определения пересечения множеств).

Например, если А = {2; 3; 4}, В = {0; 2; 4; 6}, то

Объединением множеств А и В называют множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств (А или В).

Объединение множеств обозначают знаком U (на рисунке 121 приведена иллюстрация и символическая запись определения объединения множеств).

Например, для множеств А и В из предыдущего примера Если обозначить множество иррациональных чисел через М, то М U Q = R. Разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.

Разность множеств обозначают знаком \. На рисунке 122 приведена иллюстрация и символическая запись определения разности множеств.

Например, если А = {1; 2; 3}, В = {2; 3; 4; 5}, то А\В = {1}, а В \ А = {4; 5}. Если В — подмножество А, то разность А \ В называют дополнением множества В до множества А (рис. 123).

Например, если обозначить множество иррациональных чисел через М, то R \ Q = М: множество М иррациональных чисел дополняет множество Q рациональных чисел до множества R всех действительных чисел.

Все множества, которые мы рассматриваем, являются подмножествами некоторого так называемого универсального множества U. Его обычно изображают в виде прямоугольника, а все остальные множества — в виде кругов внутри этого прямоугольника (рис. 124). Разность U \А называется дополнением множества А.

Дополнением множества А называется множество, состоящее из всехэлементов, не принадлежащих множеству А (но принадлежащих универсальному множеству U).

Дополнение множества А обозначается (можно читать: «А с чертой»). Например, если U = R и А = [0; 1], то Для этого примера удобно использовать традиционную иллюстрацию множества действительных чисел на числовой прямой (рис. 125).