Перестановкой из n элементов называется любое упорядоченное множество из n заданных элементов.

Напомним, что упорядоченное множество — это такое множество, для которого указано, какой элемент находится на первом месте, какой на втором,..., какой на n-м.

Например, переставляя цифры в числе 236 (в котором множество цифр {2; 3; 6} уже упорядоченное), можно составить такие перестановки без повторений: (2; 3; 6), (2; 6; 3), (3; 2; 6), (3; 6; 2), (6; 2; 3), (6; 3; 2) — всего 6 перестановок*.

Количество перестановок без повторений из n элементов обозначается (P — первая буква французского слова permutation — перестановка). Как видим, = 6.

Фактически перестановки без повторений из n элементов являются размещениями из n элементов по n без повторений, поэтому Произведение обозначается n!. Поэтому полученная формула числа перестановок без повторений из n элементов может быть записана следующим образом:

*Отметим, что каждая из перестановок определяет трехзначное число, составленное из цифр 2, 3, 6 таким образом, что цифры в числе не повторяются.

Например, (что совпадает с соответствующим значением, полученным выше).

С помощью факториалов формулу для числа размещений без повторений

(1)

запишем в другом виде. Для этого умножим и разделим выражение в формуле (1) на произведение тогда

Следовательно, формула числа размещений без повторений из n элементов по k может быть записана так:

(2)

Для того чтобы этой формулой можно было пользоваться при всех значениях k, в частности при k = n – 1 и k = n, договорились считать, что

1! = 1 и 0! = 1.

Например, по формуле (2)

Обратим внимание, что в тех случаях, когда значение n! оказывается очень большим, ответы оставляют записанными с помощью факториалов. Например,

Примеры решения задач:

Для выбора формулы при решении простейших комбинаторных задач достаточно выяснить следующее:

1. Учитывается ли порядок следования элементов в соединении?

2. Все ли заданные элементы входят в полученное соединение?

Если, например, порядок следования элементов учитывается и все n заданных элементов используются в соединении, то по определению это перестановки из n элементов.

Пример:

Найдите, сколькими способами можно восемь учащихся построить в колонну по одному.

Решение:

Количество способов равно числу перестановок из 8 элементов, то есть

Комментарий:

Для выбора соответствующей формулы выясняем ответы на вопросы, приведенные выше. Поскольку порядок следования элементов учитывается и все 8 заданных элементов выбираются, то искомые соединения — это перестановки из 8 элементов без повторений. Их количество можно вычислить по формуле

Пример:

Найдите количество различных четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 0, 3, 7, 9 (цифры в числе не повторяются).

Решение:

Из четырех цифр 0, 3, 7, 9, не повторяя заданные цифры, можно получить перестановок. Перестановки, начинающиеся с цифры 0, не являются записью четырехзначного числа — их количество . Тогда искомое количество четырехзначных чисел равно

Комментарий:

Поскольку порядок следования элементов учитывается и для получения четырехзначного числа надо использовать все элементы, то искомые соединения — это перестановки из 4 элементов. Их количество — . При этом необходимо учесть, что в четырехзначном числе на первом месте не может стоять цифра 0. Таких чисел будет столько, сколько раз мы сможем выполнить перестановки из 3 оставшихся цифр, то есть

Пример:

Имеется десять книг, из которых четыре — учебники. Сколькими способами можно поставить эти книги на полку так, чтобы все учебники стояли рядом?

Решение:

Сначала будем рассматривать учебники как одну книгу. Тогда на полке надо расставить не 10, а 7 книг. Это можно сделать способами. В каждом из полученных наборов книг можно выполнить еще перестановок учебников. По правилу умножения искомое количество способов равно

Комментарий:

Задачу можно решать в два этапа. На первом будем условно считать все учебники одной книгой.

Тогда получим 7 книг (6 не учебников + 1 условная книга — учебник). Порядок следования элементов учитывается и используются все элементы (поставить на полку необходимо все книги). Следовательно, соответствующие соединения — это перестановки из 7 элементов. Их количество — .

На втором этапе решения будем переставлять между собой только учебники. Это можно сделать способами. Поскольку нам надо переставить и учебники, и другие книги, то используем правило произведения.

Объяснение и обоснование:

1. Сочетания без повторений: