Связь между непрерывностью и дифференцируемостью. Дифференциал функции

 

Теорема. Если функция у (x) = f (x) дифференцируема в своей области определения, то она непрерывна. Обратное не верно: из непрерывности функции дифференцируемость не следует.

Доказательство. Дифференцируемость означает наличие производной

 

                                                                        (2.12)

Используем теорему о разности между функцией и ее пределом:

если , то

  f (x) = A + a (х),                                                                              (2.13)

 

где a (х) величина бесконечно малая.

Сравнивая выражения (2.12) и (2.13) получим, что в нашем случае

A  y’ (x), f (x) ,

т.е.  = y ’ (x) + a (Δ х).                                                         (2.14)

Умножим (2.14) на Δ х

.               (2.15)

Из (2.15) следует, что если , то и , что является доказательством непрерывности функции..

Приведем пример показывающий, что непрерывная функция может быть не дифференцируемой. Возьмем функцию

.

Эта функция непрерывна на всей области определения, так как в точке х ₀ = 0 выполняется соотношение

 =  = f (x ₀).

Действительно 

 

 и = f (x ₀),

.

Следовательно, в точке 0 функция непрерывна. Но производной в этой точке нет, так как слева при x < 0, y ’(x) = -1, а справа при x > 0 y ’(x) = 1.

Вернемся к формуле (2.15). Дифференциалом df (x) функции  f (x) в точке х называется линейная по D x часть приращения функции

 

df (x) = .                                                                           (2.16)

 

По определению для независимой переменной Δ х = dx. Поэтому дифференциал функции f (x) записывают чаще так 

 

                                                                       (2.17)

 

Формула (2.17) сохраняется и в том случае, когда х зависимая переменная (формула (2.16) для зависимой переменной неверна).

Геометрический смысл дифференциала (рис.2.2). Производная f ¢(x) численно равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции f (x). Дифференциал  равен изменению ординаты, касательной к функции в точке N. Замена истинного приращения функции NB D f (x) = f (x + D x) - f (x) на дифференциал СВ  равносильна замене части графика функции на соответствующую часть касательной к этому графику (см. также рис.2.1).

Производная f ¢(x) является функцией того же аргумента х, что и исходная функция. Поэтому ее можно опять дифференцировать, т.е. вычислять предел отношения приращения производной к приращению аргумента

 

 

 

Рис. 1.2. Геометрический смысл дифференциала

 

Производные высших порядков. Если этот предел существует и конечен

 

= .

 

то он называется второй производной от функции  f (x) в точке х. Принятое обозначение:

 

 

Подобным образом вводят производные n -го порядка f ⁽ⁿ⁾(x) = (f ^(n-1)(x))¢. В механике вторая производная от пути по времени есть ускорение

 

Пример 1. Производные от степенной функции y = х ⁿ.

y ¢ = n x^{n -1}, 

y ¢¢ = n (n - 1) x^{n -2}, 

y ¢¢¢ = n (n - 1) (n - 2) x^{n -3},

...,

y ^(k) = n (n - 1) (n - 2)...(n - k +1) x ^(n-k)  при (к £ n).

Пример 2. Точка совершает прямолинейное колебательное движение по закону . Найти скорость и ускорение точки в момент времени .

Решение. Найдем скорость  и ускорение а в любой момент времени t

; .

При    

, .

Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от первого дифференциала

 

  d (df (x)) = (df (x))¢Dx = (f ¢(x)D x)¢D x = f ¢¢(x) (D x)²

 

Пример. Вычислить производную функции заданной параметрически

 

Функция  от независимой переменной  задана через посредство вспомогательной переменной (параметра t). Производная от  по  определяется формулой

 

Находим производные от  и  по параметру t:

,

,

.