Правила вычисления пределов функции

 

Теорема. Разность между функцией и ее пределом в точке х ₀  есть величина бесконечно малая, т. е., если ,

 то f (x) = A + a (х)                                                                      (1.8)

 

где a (х) бесконечно малая функция в окрестности точки х ₀.

Доказательство. Обозначим за a (х) разность между функцией и ее пределом

 

a (х) = f (x) – A.

 

Тогда из определения предела функции следует что,  для всех х удовлетворяющих условию ½ x₀ - х ½< d. Сравнив полученные соотношения с определением бесконечно малой функции, мы можем утверждать, что a (х) есть величина бесконечно малая.

Справедливы следующие свойства пределов функций:

1. Если предел функции существует, то он единственен.

2. Предел постоянной величины С равен самой постоянной.

                                                                         

Если при х ® x ₀ существуют конечные пределы функций f (x) и g (x)

 

                                                          

то справедливы следующие утверждения

 

3. .                     Действительно

где α(х) и β (х) величины бесконечно малые. Так как сумма бесконечно малых есть величина бесконечно малая, т.е. α(х) + β (х) = γ(х), то

 

.

 

Отсюда следует, что

4.   

5.                                                                         

6.                           

7.

8. Если функция неотрицательна в окрестности точки x ₀ , то и ее предел при x ® x ₀ тоже величине неотрицательная

. 

                           

9. Если f (x) < g (x), то и .

Пример 1. Вычислить .

Решение. Подставляем вместо х под знак предела единицу, вычислим

 

, а ,

и, по теореме о пределе частного, получаем, что .

Как правило, применять теоремы о пределах можно только после предварительного преобразования функций, стоящих под знаком предела. При этом возможны следующие ситуации: , , , , , которые называются неопределенностями.

Приемом раскрытия неопределенности вида  является деление числителя и знаменателя на наивысшую степень x.  

При неопределенности вида   требуется выполнить преобразование функции, выделив в числителе и знаменателе дроби множитель, стремящийся к нулю. Затем сократить дробь на этот общий множитель.

Неопределенности же  вида   и   путем преобразований приводят к одному из рассмотренных случав  или . Поясним сказанное на примерах.

Пример 2. Вычислить .

Решение. Наивысшая степень x вторая, делим числитель и знаменатель на . Получим

 

, так как   и .

Пример 3. Вычислить .

Решение. Имеет место неопределенность вида . Разложим числитель и знаменатель дроби на множители. Получим

 

.

 

Замечательные пределы

Первый замечательный предел

.                                                                              (1.9)

 

Построим тригонометрический круг с радиусом ОА = 1. Прямая DA – ось тангенсов. Возьмем на окружности точку В. Радиус ОВ = 1. Соединим точки А и В. Угол ВОА равен х, ВС = sin x, DA = tgx (рис. 1.2)

Предположим, что x > 0. Для x < 0 доказательство аналогично. Площадь треугольника ВОА

 

.

 

Площадь сектора ВОА

 

.

 

Рис. 1.2. Первый замечательный предел.

 

Площадь треугольника D ОА

 

.

 

Из чертежа следует, что для площадей выполняется соотношение

т. е.

 

Сократим общий множитель ½ и разделим на sin (x) (т. к. , то и ). Получим

 

 

Или, для обратных величин

 

Так как , то и . Что и требовалось доказать.

 Следствие:                                                              (1.10)

 

Второй замечательный предел, число е. Число е определяется как следующий предел

 

, или , где число е = 2,718….,                   (1.11)

Число е является основанием натуральных логарифмов .

Пример 1. Вычислить .

Решение. Числитель и знаменатель дроби   тоже стремятся к нулю. Преобразуем функцию, используя первый замечательный предел. Для этого умножим и поделим в числителе на 2 х и учтем, что

.

 

Пример 2. Вычислить .

Решение. Имеет место неопределенность вида . Преобразуем дробь, домножив числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю

 

.

 

Пример 3. Вычислить .

Решение. Имеет место неопределенность вида . Преобразуем функцию под знаком предела, домножив и поделив на сопряженное выражение.

 

.

Таким образом получили предел, в котором имеет место неопределенность вида . Наибольшая степень x первая, поэтому поделим числитель и знаменатель на x, получим

.

Пример 4. Вычислить .

Решение. Так как  и , то имеет место неопределенность вида . Вспомним, что есть замечательный предел .

Используем этот замечательный предел, преобразовав исходный предел следующим образом:

.

Имеем 

(здесь ),

.

Таким образом,

.