Определение производной. Правила дифференцирования

 

Пусть задана некоторая функция y = f (x). Выберем в области определения функции два произвольных значения аргумента х и х ₁. Обозначим за Dх разность между двумя значениями аргумента D х = х ₁ – х, (т.е х ₁ = х +D х).

Замечание. D х может быть как больше нуля, если х ₁ > х, так и меньше нуля, если х ₁ < х.

Вычислим значения функции в этих точках y = f (x) и y ₁₌ f (x ₁).   

Приращением функции D f (x) называется разность между двумя значениями функции

 

D f (x) = f (x ₁) - f (x) = y _{1 –} y  или D f (x) = f (х + D x) – f (x).

 

Если при D х ® 0 существует конечный предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, то функция f (x) называется дифференцируемой в точке  х, а значение предела называется производной от функции   f (x) в точке х и обозначается

 

              (2.1)

 

Производная - это функция от того же аргумента, что и f (x). Операцию вычисления производной называется дифференцированием функции.

Геометрический смысл производной. Если изобразить на рисунке график функции f (x), отметить точки х и х ₁ = х + D х, то МС = D х, NC = D f (x). Величина отношения

 

                                                                                   (2.2)

равна тангенсу угла наклона секущей MN к оси абсцисс (см. рис.2.1).

Если Dх ® 0, то точка N стремится по графику функции к точке M, секущая MN стремится занять положение касательной МК к графику функции f (x) в точке M, угол наклона секущей α стремится к углу наклона касательной φ. Сравнивая формулы (2.1) и (2.2) мы можем сказать, что значение производной f ¢(x) в точке х равно тангенсу угла наклона касательной к графику y = f (x) в точке М с координатами (х, f (x)).

Уравнение касательной в точке М

 

,

 

уравнение нормали (угловой коэффициент нормали равен )

,

 

Рис. 2.1. Геометрический смысл производной

 

Замечание. В механике производная от пути по времени есть скорость

 

Правила дифференцирования.

 

1. Производная постоянной С равна нулю

       (C)` = 0                                                                           (2.3)

2. Производная линейной комбинации функций f ₁ (x) и f ₂(x)

у (х) = с₁f₁ (x) +c₂f₂ (x),                                                                      (2.4)

 

где с₁ и c₂ произвольные постоянные, равна линейной комбинации производных

 

у ¢(x) = (с₁f₁ (x) +c₂f₂ (x)) ¢ = с₁f₁ ¢ (x) +c₂f₂ ¢ (x).                                             (2.5)

Действительно, вычислим приращение функции D у (x).

Для этого выберем в области определения функции два произвольных значения аргумента х и х ₁. Вычислим соответствующие значения функции у (x ₁) и у (x) и найдем ее приращение.

 

D у (x) = у (x ₁) - у (x) = (с₁ f ₁(x ₁) + с₂ f ₂(x ₁)) - (с₁ f ₁(x) + с₂ f ₂(x)). 

 

Сгруппируем отдельно слагаемые содержащие f ₁ (x) и f ₂(x) и вынесем за скобки константы с₁ и с₂. Выделим приращения функций f ₁ (x) и f ₂(x)

 

D у (x) = (с₁ f ₁(x ₁) - с₁ f ₁(x)) + (с₂ f ₂(x ₁) - с₂ f ₂(x)) = с₁ (f ₁(x ₁) - f ₁(x)) +

   (2.6)

+ с₂ (f ₂(x ₁) - f ₂(x)) = с₁ D f ₁(x) + с₂ D f ₂(x ₁).                                                                           

Подставим приращение функции D у (x) (2.6) в формулу (2.1) (определение производной) и учтем правила вычисления пределов:

предел суммы равен сумме пределов,

постоянный множитель можно вынести за знак предела.

Тогда

 

 

Следствие. Постоянный множитель С можно вынести за знак производной

 

(С у (x)) ¢= С у ¢(x).

 

3. Производная произведения функций у (x) = f (x) g (x) вычисляется по правилу: произведение производной от первой функции на неизменную вторую плюс произведение производной от второй функции на неизменную первую

 

у (x)’ = (f (x)g(x))¢ = f ¢(x) g (x) + f (x) g ¢(x).                                      (2.7)

 

Правило можно обобщить на случай производной произведения n функций

 (f ₁(x) f ₂(x) .. …. … f _n(x))¢ =

= f ₁(x)¢   f ₂(x) …. f _n(x)+ f ₁(x) f ₂(x)¢ …. f _n(x)+….+ f ₁(x) f ₂(x) ….. f _n(x)¢

 

4. Производная частного двух функций  вычисляется по правилу

 

                                                               (2.8)

 

Пример.

1. (6 sin x - 2 ln x)¢ = (6 sin x)¢ - (2 ln x)¢ = 6 (sin x)¢ - 2 (ln x)¢ = 6 cos x -  

В табл. 1 приведены производные основных элементарных функций. В табл. 2 основные правила дифференцирования.

Дифференцирование сложной функции. Пусть дифференцируемая функция g (x) является аргументами другой функции f (x). В этом случае говорят о сложной функции  у (x) = f (g (x)) или суперпозиции функций f и g.  

Вычислим производную сложной функции. Найдем приращение функции D у (x). Для этого выберем в области определения функции два произвольных значения аргумента х и х ₁ = x + D x. Вычислим соответствующие значения функции g (x + D x) и g (x) и найдем ее приращение

 

D g (x) = g (x + D x) - g (x)  g (x + D x) = g (x) + D g (x).

 

Аналогично найдем значения функции f (g (x + D x)) и f (g (x)). Тогда

 

 D f = f (g (x +D x)) – f (g (x)) = f (g (x) + D g (x)) – f (g (x)).                (2.9)

 

Подставим выражение (2.9) в (2.1). Умножим и разделим на D g (x) и сгруппируем сомножители. Тогда производная сложной функции

 

(2.10)

 

2. (lnx∙cosx)' = ∙cosx - lnx∙sinx.

 

3.

 

В компактной форме производную от сложной функции можно записать так

 

Т а б и ц а 1. Производные основных элементарных функций

 

Производная степенной функции: , .

Производная экспоненциальной функции: , ,

Производная сложной экспоненциальной функции: .

Производная логарифмической функции: , .

Производная сложной логарифмической функции: .

Производная синуса: .

Производная косинуса: .

Производная арксинуса:;

Производная арккосинуса:    ; .

Производная тангенса: .

Производная котангенса: .

Производная арктангенса:,         ;

Производная арккотангенса:;       .

 

                                                                       (2.11)

 

  Например:   у = ln (sin (x ²)). Эта сложная функция состоит из следующих отдельных функций: f = ln g, g = sin h, h = x ². При этом

 

Тогда

 

 Т а б л и ц а 2. Правила дифференцирования

Производная произведения (функции) на постоянную:
Производная суммы (функций):
Производная произведения (функций):
Производная частного (функций):
Производная сложной функции:

 

 

Пример. Пользуясь формулами дифференцирования, найти производные следующих функций:

 .

Решение.

1.

2.  есть сложная функция , где .

Производная сложной функции имеет вид .

Следовательно,

.

 - сложная функция , где , а ,

.   

Пример  2. Составить уравнение касательной и нормали к кривой  в точке .

Решение. Уравнение касательной , к кривой в точке . Здесь , . Для определения углового коэффициента касательной  находим производную

, .

Подставляя значения  в уравнение, получим

 или .

 Уравнение нормали    или   . Раскрыв скобки получим                .