Плоскость и прямая в пространстве.

Уравнение плоскости проходящей через три данные точки. Из геометрии известно, что через три точки M ₀, M ₁ и M ₂ можно провести плоскость, причем единственным образом. Следовательно, добавив произвольную (текущую) точку плоскости М, можем построить три вектора М ₀ М, М ₀ М ₁ и М ₀ М ₂, принадлежащих плоскости L. Смешанное произведение лежащих в одной плоскости векторов равно нулю (объем пирамиды, построенной на этих векторах равен нулю, см. формулу (3.15)))

 

М ₀ М × М ₀ М ₁ ∙ М ₀ М ₂ = 0,                                                                     (2.3)

 

или, в развернутой форме,

 

=0.                                                                        (2.4)

 

Это уравнение плоскости, проходящей через три данные точки (рис. 2.3)

Также плоскость L в пространстве можно задать, если известна точка M ₀(x ₀, y ₀, z ₀), принадлежащая плоскости, и перпендикулярный плоскости вектор – вектор нормали N. Координаты вектора нормали обозначают А, В, С.

 

N = { A, В, С }.

     

Рис. 2.3. Уравнение плоскости проходящей через три данные точки 

                                         

        

Уравнение плоскости проходящей через данную точку. Если взять любую произвольную (текущую) точку плоскости M (x, y, z) и построить вектор М₀М   L, то векторы N и М₀М перпендикулярны, т. е. их скалярное произведение равно нулю

 

N × М ₀ М =0 Þ A (x – x ₀) + B (y – y ₀) + C (z – z ₀) = 0.                    (2.5)

 

Это уравнение называется «уравнение плоскости, проходящей через данную точку» (рис. 2.4).

 

 

Рис. 4.4. Уравнение плоскости проходящей через данную точку.

 

Все уравнения плоскости можно свести к виду

 

Ax + By + Cz + D = 0.                                                                       (2.6)

 

Это уравнение, линейное относительно всех неизвестных, называется общим уравнением плоскости в пространстве. Если D = 0, то уравнение

 

Ax + By + Cz = 0

 

описывает плоскость, проходящую через начало координат.

 

Прямую в пространстве задается как линия пересечения двух плоскостей. Общие уравнение прямой задаются как система двух уравнений с тремя неизвестными

 

                                                                   (2.7)

 

Если заданы точка , лежащая на прямой, и параллельный прямой (направляющий) вектор S = { m, n, p }, то взяв текущую точку прямой М, постоим лежащий на прямой вектор М₀М. Векторы М₀М и S параллельны, следовательно пропорциональны их проекции на оси координат

 

.                                                                     (2.8)

 

Эти уравнения (цепочка равенств) называются каноническими уравнениями прямой (рис.2.5).

 

Рис. 2.5. Канонические уравнения прямой.

 

Если прямая проходит через две известные точки  и , то вектор М₀М ₁ является направляющим вектором S = М₀М ₁ = , т.е. . Подставляя в уравнение (2.8), получим уравнения прямой в пространстве, проходящей через две данные точки

 

                                                                (2.9)

 

Обозначив в (2.8) общее отношение за t, и сделав несложные преобразования, получим параметрические уравнения прямой

 

 

Пример. Даны координаты вершин пирамиды А ₁(1,-2,-3), А ₂(-3,1,1), А ₃(4,3,-1), А ₄(3,2,2).

Составить: 1. Уравнение плоскости ,

              2. Уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А ₄ на грань .

Решение.  

1. Уравнение плоскости запишем, используя уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:

 

.

 

Подставив координаты точек А ₁, А ₂, А ₃, получим

 

=

 

Разложив последний определитель по элементам первой строки, вычислим

 

 

 

Или

 

 

Раскрывая скобки, получим уравнение плоскоси

.

2.Уравнение высоты пирамиды представим в виде канонических уравнений прямой (5.8), проходящей через заданную точку А ₄ с известным направляющим вектором S. За направляющий вектор S возьмем нормальный вектор N плоскости , т.е. N = {14, -20, 29}.

 

Уравнение высоты: .

 

Примечание. Если бы в уравнении прямой один из знаменателей оказался нулевым, например 

 

,

 

то уравнение прямой следовало бы записать в виде пересекающейся системы плоскостей (общие уравнения прямой)

 

 

Если в уравнении прямой два знаменателя обратились в ноль, например, 

 

,

это означало бы, что прямая является  пересечением плоскостей   и   и ее общим уравнением будет система 

 

 

 

Математический анализ.

 

Введение в анализ

Функции. Основные определения

 

Пусть даны два числовые множества X и Y с элементами x и y соответственно X ={ x }, Y ={ y }. Мы говорим, что задана функция, если каждому числу x из множества Х по определенному закону сопоставлено число у из множества Y. Запись

 

y = f (x).                                                                                         (1.1)

 

Множество Х называется областью определения функции (обозначается D(f)), множество Y – областью изменения. Если каждому х сопоставлено единственное у, то мы говорим, что функция однозначна, если каждому х сопоставляется несколько у, то функция называется многозначной.

Если каждому у по определенному закону сопоставлено число х, то мы говорим, что задана обратная функция

 

x = f ^-1 (y).                                                                                       (1.2)

 

Для обратной функции множество Y является областью определения функции, а множество Х – областью изменения.

Основными способами задания функции являются:

1. аналитический, когда функция задается при помощи математических знаков и их комбинаций, например

 

y = sin (x);

 

2. графический, когда функция задается с помощью графика, например рис.1.1.

3. табличный, когда функция задается таблицей или списками пар, например (1, 2); (2, 5) (4, 2)…. При такой записи первое число это х, а второе у.

Если область определения функции симметрична относительно оси Y, то можно ввести понятия четности и нечетности функции. Четной называется функция удовлетворяющая условию

 

f (- x) = f (x).                                                                                  (1.3)

 

График такой функции симметричен относительно оси Y. К четным функциям относятся, например, y = cos (x).

Нечетной называется функция удовлетворяющая условию

 

f (- x) = - f (x).                                                                               (1.4)

 

График такой функции симметричен относительно начала координат. К нечетным функциям относятся, например, y = sin (x).

Если функция не является четной или нечетной, то говорят что она общего вида.

Функция называется возрастающей (убывающей), если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции, т.е.

 

 возрастающая функция

и

убывающая функция.

 

Рис.1.1. Графический способ задания функции.

 

 

Возрастающие и убывающие функции называются монотонными функциями.

Число х₀ называется корнем функции, если

 

f (x ₀) = 0.

 

Например, lg (x) = 0 при х ₀ = 1.

Если функция задана на всей оси, т.е. область определения функции , то периодом функции называется наименьшее из чисел Т, удовлетворяющее условию

 

f (x + Т) = f (x) = f (x - Т).                                                                  (1.5)

 

Пример 1. Найти область определения функции

 

 

Решение. Если числовая функция задана аналитически и область ее определения не указана, то считают, что эта область есть множество всех действительных значений аргумента, при которых выражение - действительное число. Для существования заданной функции  необходимо, чтобы имело место неравенство . Для существования функции  должно иметь место неравенство , откуда . Область определения исходной функции  или .

Пример 2. Определить, являются четными или нечетными функции

 

1. ;

2. ;

3.

 

Решение. Для определения свойств четности или нечетности функции следует проверить выполнение следующих положений:

1. Является ли область определение симметричной относительно начала координат, т.е. если , то и . Для всех функций это условие выполнено:

, , . 

2. Выполняются ли равенства  или . При выполнении первого равенства функция окажется четной с графиком, симметричным относительно оси ординат, во втором – нечетной с графиком, симметричным относительно начала координат.

Для указанных в задаче функций:

 

,

 

то есть функция - нечетная;

 

,

 

то есть функция  является четной;

,

 

следовательно, функция  есть функция общего вида.

Пример 3. Найти период функции .

Решение.  

Так как период  равен π, то , период Т =1.

Предел функции

e-окрестностью точки A называется отрезок (A - e, A + e). Аналогично δ - окрестностью точки х ₀ называется отрезок (х ₀ - δ, х ₀ + δ).

Определение предела функции. Пусть на некотором отрезке задана функция f (x). Число A называется пределом функции   y = f (x) при x ® x ₀ (при х стремящемся к х ₀), если для каждого сколь угодно малого числа e > 0 можно указать зависящее от e положительное число d(e) > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству ½ x₀ - х ½< d (т.е. лежащих в δ – окрестности точки х ₀), имеет место неравенство ½ A – f (x) ½ < e. Запись

 

или .                                                                (1.6)

 

Наличие у функции f (x) предела A в точке х ₀ означает, что как только независимая переменная х достаточно близко приблизится к значению х ₀, то функция f (x) будет сколь угодно близка к A.

Если при х ® x ₀ функция f (x) стремится к 0, то ее называют бесконечно малой функцией или бесконечно малой величиной (или просто бесконечно малой) в окрестности точки x ₀. Бесконечно малые обозначают греческими буквами a, b, g.

Тем самым для бесконечно малой функции для каждого сколь угодно малого числа e > 0 можно указать зависящее от e положительное число d(e) > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству ½ x₀ - х ½< d, имеет место неравенство ½ α(х) ½ < e. Запись

 

.                                                                                (1.7)

Примеры бесконечно малых величин: 

a(х) = 2x - 6 при х ® 3, 

b(х) = e^-x при х ® ¥,

g(х) = sin x при х ® 0 и т.п.

Бесконечно малые величины часто обозначают символом «0».

 

Для бесконечно малых функций справедливы следующие утверждения:

Сумма (разность) бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая

 

α(х) + β (х) = γ(х).

 

Произведение бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая

 

α(х)  β (х) = γ(х).

 

Произведение бесконечно малой на число есть величина бесконечно малая

 

С α(х) = γ(х).

 

Функция называется ограниченной на своей области определения D, если существует такое положительное число М, что

 

½ f (x)½ < М

 

для всех х D. Произведение бесконечно величины малой на ограниченную функцию есть величина бесконечно малая.

 

α(х)  f (x) = γ(х).

 

Функция f (x) называется бесконечно большой функцией или бесконечно большой величиной при х стремящемся к х ₀, если для любого сколь угодно большого числа М  можно указать зависящее от М число d(М) > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству ½ x ₀ - х ½< d, имеет место неравенство       ½ f (x)½ > М. Запись

 

.

 

К бесконечно большим относятся, например:

  y = 1/x при х ® 0,

  y = l g (x) при х ® ¥ и при х ® + 0 и др.

Замечание. Бесконечность (обозначаемая знаком ¥) не является числом.

Для бесконечно больших функций справедливы следующие утверждения:

Сумма бесконечно больших величин, имеющих один знак, есть величина бесконечно большая.

Произведение бесконечно больших величин есть величина бесконечно большая.

Произведение бесконечно большой на число есть величина бесконечно большая.

Между бесконечно малой и бесконечно большой величинами существует простое соотношение: если α(х) - бесконечно малая величина не равная тождественно нулю в окрестности точки х ₀, то f (x) =  ˗ бесконечно большая величина в окрестности точки х ₀ и наоборот. Символьная запись этого утверждения

 

.

 

Действительно, из определения бесконечно малой следует, что для каждого сколь угодно малого числа e > 0 можно указать зависящее от e положительное число d(e) > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству ½ x₀ - х ½< d, имеет место неравенство ½ α(х) ½ < e. Тогда для    f (x) =   выполняется соотношение 

 

.

 

А это и означает, что f (x) бесконечно большая величина при x ® x ₀.

Аналогично доказывается, что величина обратная бесконечно большой есть бесконечно малая.

 Поэтому, если 2 х - 6 является бесконечно малой величиной в окрестности точки   х = 3, то  ˗ бесконечно большая в окрестности той же точки. Так как  бесконечно большая в окрестности точки ноль, то х есть бесконечно малая в окрестности той же точки.