Законы распределения наработки до отказа

НЕРЕМОНТИРУЕМЫХ ОБЬЕКТОВ

 

  Полученная  в  результате  обработки  статистики  зависимость р^*(t) требует каких-то оценок, сравнения с чем-то всем известным, как требуют оценок физические величины (в Вольтах, метрах и т.д.) или как окраска предметов (в цветах спектра). Построенный на основе статистических данных график функции надёжности какой-либо партии изделий р^*(t) может сравниваться с таким же графиком р(t), но построенным по какой-то всем известной из математики формуле. Эти формулы называются законами распределения случайных величин.

Для нас закон распределения – формула, график которой похож на имеющуюся кривую р^*(t).

По закону распределения можно судить до опыта о том, какие возможные значения случайной величины будут появляться чаще, а какие – реже.

 

 

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

При экспоненциальном (показательном) распределении наработки до отказа функция распределения НДО и ВБР имеют вид

           q(t) = F(t) = 1 - Exp(- l t), а

                    р(t) = е^{- l t},                  (3-1)

где l - константа, параметр экспоненциального распределения.

Плотность распределения НДО определим как производную от вероятности отказа

      f(t) = q ¢ (t) = [1- Exp(- l t)] ¢ =

        = (- l)t)[- Exp(- l t)] = l Exp(- l t)    (3-2)

  Интенсивность отказов  определится как отношение плотности распределения к ВБР

l (t) = f(t)/p(t) = l Exp(- l t)/Exp(- l t) = l.    (3-3)

Главной особенностью экспоненциального закона распределения НДО является независимость от времени интенсивности отказов l. Наоборот,  если известно,  что l = С onst,  то это означает, что имеет место экспоненциальный закон распределения наработки до отказа Т.

CНДО определим по выражению (2-32)

              ∞    ∞

Т_ср = ∫ p (t)dt = ∫ Exp(- l t) dt =

              0      0                               

                                                                     ∞                           (3-4)

  = 1/(- l) Exp(- l t) ê = 1/(- l)(0 - 1) = 1/ l.

                                                                          0

Таким образом, средняя наработка до отказа при экспоненциальном законе распределения НДО представляет собой величину, обратную интенсивности отказов.

                      1

               Т_ср = -----                 (3-4)

                      l

 

При исследовании надёжности изделий экспоненциальное распределение применяется чаще других. Можно назвать три причины такого применения:

1. Экспоненциальное распределение   НДО  типично  для сложных объектов, состоящих из многих элементов с разными распределениями их НДО.  Кроме того, для многих объектов можно «снять приработку» (см. рис. 1.4), и интенсивность отказов можно считать постоянной.

2. При этом законе простые выражения, с ними легче работать.

3. При ограниченных возможностях экспериментальных исследований принимают l = Const в качестве первого приближения, когда ничего другого предположить нельзя по причине нехватки информации.

 

 

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РЭЛЕЯ

Джон Уильям Стретт, после смерти отца - лорд Рэлей, более правильно - Рейли, (по-английски - Rayleigh), выдающийся английский физик и химик (1842-1919), один из основоположников теории колебаний, Нобелевский лауреат 1904 года по физике, предложил для описания случайных величин следующие формулы:

Вероятность отказа (функция распределения) и ВБР имеют вид:

               

       q(t) = F(t) = 1 - Exp(- а t²),

                                                       (3-5)

              Р (t) = Exp(- а t²)

Плотность распределения

     f(t) = q ¢ (t) = [-Exp(- аt²)] ¢ =

                                                      (3-6)

  = (- 2 а t)[-Exp(- а t²)] = 2 а t Exp(- а t²)

 

Интенсивность отказов имеет вид

    l (t) = 2аt Exp(- аt²)/Exp(- аt²) = 2аt.  (3-7)

Задача определения   CНДО  в данном случае представляет собой сложную задачу взятия интеграла от ВБР по выражению (3-5). Поэтому без вывода                           _____

     Т²_ср = p /4а или  Т_ср = √ p /4а      (3-8)

 

Как видно из выражения (3-7), при распределении Рэлея интенсивность  отказов  растёт  пропорционально времени,  что позволяет этому закону хорошо описывать любые деградационные явления – усталость металла,  старение изоляции,  уход параметров  за допустимые пределы и других подобных явлений.