Статистические оценки ВБР и вероятности отказа

Пусть в момент времени t =0 в работу были включены N (0) однотипных исправных испытуемых изделий. В процессе работы изделия будут выходить из строя, каждое в какой-то момент времени.  Заранее эти моменты предсказать невозможно, так как на техническое состояние испытуемых изделий влияет очень большое число различных факторов. Сами отказы являются   случайными событиями  и никаких измерений не имеют. На рисунке 2.3, где этот процесс показан графически, отказы помечены крестиками. Наработка изделий до отказа тоже случайна, но это - случайная величина,  так как она имеет измерение (в единицах времени). Если мы зададимся каким-то неслучайным значением времени t, то некоторое количество изделий откажет до этого момента времени, а остальные изделия будут к этому моменту  работоспособными.  Пусть за время t отказало n (t) изделий. Остались в работе N (t) изделий.

 

        N (t) = N (0) - n (t)          (2-16)

 

  Статистическая оценка ВБР будет представлять собой отношение числа работающих изделий N (t) к общему числу изделий, поставленных на испытания N (0).

                   N (t)   

               р ^* (t) = ------.             (2-17)

                   N (0)

1                                         t

2                                              t

3                                              t

j-1                                              t

j                                             t

N(0)-1

                                                   t

N(0)                                               t

                   t

Рис 2.3.

Отказы испытуемых изделий в течение времени работы

Статистическая оценка вероятности отказа - отношение числа отказавших изделий n (t) к общему числу изделий, поставленных на испытания

                  n(t)

             q ^* (t) = ------             (2-18)

                      N(0) 

 

Статистическая оценка условной ВБР

 

                 р ^* (t +∆ t) N (t +∆ t)

    р ^* (t, t +∆ t) = --------- = --------      (2-19)

                  Р ^* (t) N (t)

           

Наибольший интерес представляет статистическая оценка условной вероятности отказа

      q ^* (t, t +∆ t) = 1 - Р ^* (t, t +∆ t) =

      N (t +∆ t)      N (t) - N (t +∆ t)       

   = 1 - --------- = 1 - --------------- =

        N (t)          N (t)           (2-20)

                                         

 

n (t +∆ t) - n (t) ∆ n (t, t +∆ t)

  = -------------- = ------------.   

     N (t)    N (t)

 Связь между двумя формами представления   ВБР  и вероятности

отказов следующая. Если бы мы включили в работу бесконечное число

однотипных исправных испытуемых изделий, то есть N(0) = ∞, то теоретическая ВБР совпала бы со статистической (то же самое и вероятность отказа). На практике это совпадение будет тем ближе, чем больше будет взято число N (0).

 

ЧАСТОТА ОТКАЗОВ

Вероятностное определение

Частота отказов - это производная по времени  от вероятности отказа

               а(t) = q ’(t).              (2-23)

Зная частоту отказов, можно определить вероятность отказа.

                         t

        q (t) = ∫ а(t) dt               (2-24)

                        0

В теории вероятностей кроме понятия  функции  распределения случайной величины существует понятие плотности распределения. Это производная  по значению случайной величины (у нас по времени)  от функции распределения этой случайной величины.

В случае нашей случайной величины - наработки до отказа Т -

- частота отказов  как раз и будет  представлять  собой  плотность распределения наработки до отказа.

 

          а(t) = q ’(t) = f (t).               2-25)

 

Зависимости  вероятности и частоты отказов  от времени представлены на рисунке 2.4.

 

Рис 2.4.