Проективные отображения конических сечений

До сих пор мы рассматривали проективные отображения прямой на прямую и пучка на пучок. Попробуем рассмотреть отображение коники на конику или, что более важно, отображение коники самой на себя. Для этого надо лишь определить сложное отношение четырех точек коники или четырех касательных к конике.

Это определение естественным образом следует из ранее доказанных теорем. Возьмем на коническом сечении четыре произвольные точки A, B, C, D и пятую точку М. Как нам уже известно, сложное отношение прямых МA, МB, МC, МD не зависит от выбора точки М. Назовем это отношение сложным отношением четырех точек коники.

Точно так же, выбирая четыре касательные a, b, c, d и пятую касательную m, называем сложным отношением четырех касательных a, b, c, d сложное отношение точек их пересечения с прямой m. Это сложное отношение не зависит от выбора касательной m. Более того, сложное отношение четырех касательных равно сложному отношению точек касания. Это следует из того, что при полярном отображении точки коники переходят в ее касательные и наоборот, а все сложные отношения сохраняются.

В дальнейшем имеет смысл рассматривать невырожденную конику, как совокупность всех ее точек и, одновременно, всех ее касательных. Можно тогда без оговорок считать, что полярное преобразование конику переводит в конику. Точки и прямые при этом меняются местами.

Можно теперь рассмотреть отображение коники самой на себя, сохраняющее сложное отношение четырех точек (касательных). Если точки A, B, C, D переходят в точки A', B', C', D', то (AB,CD) = (A'B',C'D') (аналогично для касательных). Такое отображение назовем проективным. Оказывается, проективные отображения «хорошо устроены», то есть обладают многими полезными свойствами.

Покажем, во-первых, что проективное отображение коники на себя задается тремя точками и тремя их образами. Если известно, что точки A, B, C переходят в точки A', B', C', то образ D' любой другой точки D однозначно определен.

Заметим сначала, что поскольку сложное отношение четырех точек коники определено через сложное отношение четырех прямых, то для любых трех точек коники и заданного значения сложного отношения существует единственная точка, для которой это отношение принимает данное значение. Покажем теперь, как построить эту точку.

Рассмотрим два пучка с вершинами А и А'. Проведем прямую s через точки пересечения прямых АВ', А'В и АС', А'С. Построим перспективное отображение одного пучка на другой с осью перспективы s. Каждой прямой каждого пучка соответствует единственная точка коники. При этом точки А и А' соответствуют касательным в своих пучках. Отображение пучка на пучок задает отображение коники самой на себя. Сложное отношение, конечно же, сохраняется.

Значит образ D' точки D строится так:

Проводим прямую А'D до пересечения с осью s, затем соединяем получившуюся точку с точкой А и продолжаем до пересечения с коникой в точке D'.

Главное свойство проективного отображения коники на себя состоит в том, что положение оси перспективы s не зависит от выбора двух соответственных точек А и А'. Ось перспективы задается самим отображением.

Пусть задано проективное отображение коники на себя. Выберем любую пару точек А, В и их образов А', В'. Точки пересечения прямых АВ' и А'В лежат на одной прямой. Эта прямая s называется осью перспективы отображения коники на себя.

Для доказательства достаточно взять на конике три любые точки A, B, C и их образы A', B', C' и убедиться, что точки пересечения пар прямых АВ' и А'В, АС' и А'С, ВС' и В'С лежат на одной прямой. Это утверждение есть не что иное, как хорошо знакомая нам теорема Паскаля. Значит, для любого отображения коники задана его ось.

На нашем чертеже ось s не пересекает конику. Если же это не так, то точки пересечения коники с осью будут неподвижными точками отображения. (почему?) Кроме того, любое отображение можно задать парой соответственных точек А и А' и осью s.

 

Теорема Понселе

Свойства проективных отображений позволяют доказать теорему Понселе для треугольников. Сформулируем ее пока что следующим образом:

Если вершины двух трехвершинников принадлежат некоторой конике, то все их шесть сторон касаются другой коники.

Для доказательства рассмотрим два трехвершинника АВQ и CDP. Пусть стороны РС и PD пересекают прямую АВ в точках К и L, а стороны QA и QB пересекают прямую CD в точках M и N.

Сложное отношение четырех точек коники определяется через сложное отношение четырех прямых. Рассматривая пучок с центром в точке Р, получаем, что
(АС,DB) = (AK, LB). Точно так же рассматривая пучок с центром в точке Q, получаем, что (АС,DB) = (MС, DN). Следовательно, (AK, LB) = (MС, DN), и, значит, существует проективное отображение прямой АВ на прямую CD, при котором точки A, K, L, B переходят в точки M, С, D, N. Прямые, соединяющие соответственные точки отображения, принадлежат оболочке некоторой коники, что и требовалось доказать.

Заметим, что любая коника полностью задается пятью своими касательными. Рассмотрим какой-либо трехсторонник, стороны которого касаются коники Γ₁, а вершины лежат на конике Γ₂. Если взять теперь любой трехсторонник с вершинами, лежащими на Γ₂, и двумя сторонами, касающимися Γ₁, то из доказанной теоремы следует, что и третья его сторона обязательно будет касаться той же самой коники Γ₁.

Для двух окружностей теорему Понселе можно сформулировать так:

Пусть a и b – вписанная и описанная окружности одного и того же треугольника. Тогда для любой точки М, лежащей на окружности b, существует треугольник с вершиной М, вписанный в окружность b и описанный вокруг окружности a.

 

Центральное отображение

Важный случай проективного отображения коники на себя – центральное отображение. Строится оно следующим образом:

Возьмем любую точку S, не лежащую на конике и рассмотрим пучок с вершиной S. Если прямая пучка пересекает конику в точках А и А', то будем считать, что точки А и А' переходят друг в друга при центральном отображении с центром S. Если же прямая пучка касается коники в точке Р, то будем считать, что точка Р переходит сама в себя.

 

 

 

Докажем, что центральное отображение является проективным, а его ось – это поляра точки S.

Заметим сначала, что если прямые АА' и ВВ' пересекаются в полюсе S, то точки пересечения прямых АВ', А'В и АВ, А'В' лежат на поляре s.

Построим теперь отображение, заданное парой соответственных точек А, А' и осью s. Для любой точки В ее образ В' строится так:

Построим точку Р пересечения прямой А'В с осью s. потом проведем прямую АР до пересечения с коникой в точке В'. Нетрудно заметить, что поскольку ось s является полярой точки S, то прямая ВВ' проходит через полюс S. Более того, то же самое построение, будучи примененным к точке В', приведет обратно к точке В.

Значит, проективное отображение, заданное парой точек А, А' и осью s, совпадает с центральным отображением с центром S.

Точно так же несложно доказать, что если при проективном отображении коники хотя бы одна пара точек меняется местами, то отображение является центральным. Доказательство можно провести на том же самом чертеже.

Действительно, если точка А' является образом точки А, и одновременно, точка А является образом точки А', то построение точки В' по известной точке В можно вести двумя способами.

Можно строить прямую А'В, находить точку Р ее пересечения с осью, потом проводить прямую АР до пересечения с коникой в точке В'. Но можно идти и в обратном порядке. Построим точку Q пересечения прямой АВ с осью s. потом проведем прямую А'Q до пересечения с коникой в точке В'. Чтобы построение двумя способами привело к одной и той же точке В', прямая АА' должна обязательно проходить через полюс S оси s. Но в этом случае, как мы уже видели, отображение является центральным.

Используя доказанные свойства, решим интересную задачу.

Лемма

Композиция двух центральных отображений с центрами S и P является проективным отображением с осью SP.

 

Применим к точке А центральное отображение с центром S, а к ее образу центральное отображение с центром Р. Получим точку А'. Таким же образом из точки В получим точку В'. Точка пересечения прямых АВ' и А'В должна лежать на оси отображения. По теореме Паскаля все такие точки лежат на прямой SP. Значит она и будет осью отображения.

 

Теорема

Композиция трех центральных отображений, центры которых лежат на одной прямой, является центральным отображением с центром на той же прямой.

 

Рассмотрим композицию трех центральных отображений с центрами S, P, Q. Применяя последовательно три отображения, построим образ точки А – точку А'.

Построим теперь образ точки А' при этой же композиции отображений. По теореме Паскаля мы вернемся обратно в точку А.

Значит, при композиции трех центральных отображений с центрами S, P, Q точки А и А' меняются местами. Следовательно это – центральное отображение. Назовем его центр М.

Последовательное применение всех четырех центральных отображений возвращает любую точку на ее исходное место или, как говорят, является тождественным отображением.

Значит, применяя к любой точке композицию отображений с центрами S и P, или же композицию отображений с центрами М и Q, (в обратном порядке!) будем получать один и тот же результат. Следовательно, осью этой композиции служит как прямая SP, так и прямая МQ. Это и значит, что точка М лежит на прямой, проходящей через точки S, P, Q.

Построим теперь все четыре центральные отображения для двух различных точек А и В. Получаем следующий результат:

 

 

Если в конику вписаны два четырехсторонника и точки пересечения трех соответственных сторон лежат на одной прямой, то и точка пересечения двух оставшихся сторон также лежит на этой прямой.

 

 

 

Интересно было бы найти «школьное» доказательство этой теоремы для двух четырехугольников, вписанных в окружность.

 

Можно, конечно же, сформулировать и двойственную теорему. Для этого построим полярное отображение. Вместо вписанных четырехсторонников появятся описанные четырехсторонники, а теорема станет звучать так:

 

Если вокруг коники описаны два четырехсторонника и прямые, соединяющие три соответствующие вершины, проходят через одну точку, то и прямая, соединяющая оставшиеся две вершины, также проходит через эту точку.

 

 

Рассматривая композицию трех произвольных центральных отображений коники на себя, получаем решение следующей задачи

Дана окружность (коника) и три произвольные точки, ей не принадлежащие. Построить треугольник (трехсторонник), вершины которого лежат на окружности (конике), а стороны проходят через данные точки.

Действительно, задача сводится к тому, чтобы найти неподвижную точку отображения, которое является композицией трех центральных отображений. Для этого достаточно построить образы трех произвольных точек А, В и С при этом отображении, и по трем точкам и их образам А', В' и С' построить ось отображения. Точки пересечения этой оси с коникой и будут неподвижными точками. Каждая из неподвижных точек является вершиной одного из искомых трехсторонников.

К сожалению, чертеж к задаче получается весьма запутанным и перегруженным вспомогательными линиями, так что нет смысла приводить его здесь. Гораздо полезнее построить его самостоятельно.