Элементы проективной геометрии

Элементы проективной геометрии

 

Проективная прямая

Попробуем найти ответ на вопрос, поставленный в конце предыдущей главы: какие свойства фигур остаются неизменными при центральном проецировании? Для этого поступим следующим образом. Рассмотрим центральную проекцию плоскости α на плоскость α'. Если эти две плоскости параллельны, то такое проецирование будет простым преобразованием подобия (гомотетией), поэтому будем в дальнейшем рассматривать случай, когда плоскости α и α' пересекаются.

Для того, чтобы понять, какие свойства фигур останутся при этом неизменными, начнем с простейших фигур – точек и прямых. На первый взгляд все обстоит совсем просто: точки переходят в точки, прямые – в прямые, если прямая m проходит через точку А, то ее проекция m ' проходит через проекцию точки А, точку А'. Однако даже здесь начинают возникать проблемы.

 

 

Рассмотрим центральную проекцию прямой m на прямую m '. Прямая ОА пересекает m ' в точке А', и, значит, точка А' является проекцией точки А. Но вот прямая ОВ параллельна прямой m '. Значит, точке В не соответствует никакая точка прямой m '. Зато, если взять на прямой m ' точку С' такую, что ОС' параллельна m, то получается, что на прямой m не найдется точки, проекцией которой служит точка С'.

Будем двигать точку А вдоль прямой m по направлению к точке В. Чем ближе точка А к точке В, тем дальше уходит по прямой m ' ее проекция А'. В тот момент, когда точки А и В совпадают точка А' «уходит в бесконечность», а затем появляется с другой стороны на прямой m '.

Если двигать точку А все дальше и дальше по прямой m, то ее проекция на прямой m ' будет приближаться к точке С'. Но достигнуть этого предельного положения точка А' сможет лишь тогда, когда точка А на прямой m «уйдет в бесконечность».

Чтобы придать формальный смысл этим рассуждениям, добавим к каждой прямой еще одну «бесконечно удаленную точку». Теперь можно сказать, что проекцией точки В является бесконечно удаленная точка прямой m ', а бесконечно удаленная точка прямой m проецируется в точку С' на прямой m '.

 

Заметим, что проективная прямая, полученная из обычной евклидовой прямой добавлением бесконечно удаленной точки, стала замкнутой. Если двигаться по ней вправо, то пройдя через бесконечно удаленную точку мы вернемся слева. Таким образом, взяв на проективной прямой две точки А и В, мы не можем рассмотреть отрезок АВ. Эти точки просто разобьют прямую на две равноправные части, подобно тому, как две точки разбивают окружность на две дуги.

Можно, конечно, сказать, что одна из этих частей в отличие от другой содержит бесконечно удаленную точку, но здесь необходимо осознать, что на проективной прямой бесконечно удаленная точка не занимает никакого особого положения. Нельзя сказать, что «вот эта точка прямой – обыкновенная, а вот эта – особенная, бесконечно удаленная».

Действительно, при центральном проецировании «бесконечно удаленная» точка одной прямой переходит в «обычную» точку другой прямой, так что свойство точки «быть бесконечно удаленной» не сохраняется при центральной проекции или, как говорят, не является проективным свойством.

Здесь уместна следующая аналогия. Когда мы строим изображение многогранника, некоторые ребра мы считаем «видимыми» и изображаем жирными линиями, а другие – «невидимыми» и проводим пунктиром. Однако нельзя сказать, что многогранник обладает ребрами двух разных типов. Так и каждая точка проективной прямой может стать бесконечно удаленной только по отношению к конкретному чертежу.

 

Проективная плоскость

Подобно тому, как проективная прямая получается из евклидовой прямой добавлением одной «бесконечно удаленной» точки, так и проективная плоскость может быть получена добавлением к евклидовой плоскости одной «бесконечно удаленной» прямой. На этой прямой лежат все бесконечно удаленные точки всех прямых плоскости. При этом будем считать, что прямые, которые на евклидовой плоскости являются параллельными, на проективной плоскости пересекаются в бесконечно удаленной точке.

Таким образом, в проективной геометрии отсутствует понятие параллельности. Любые две прямые пересекаются. Нет смысла различать при этом в какой точке они пересекаются, «обычной» или «бесконечно удаленной». Все точки проективной плоскости логически равноправны.

При центральном проецировании одной плоскости на другую «бесконечно удаленная» прямая одной плоскости перейдет в «обычную» прямую другой плоскости, а прямые которые выглядели «параллельными» станут пересекающимися.

Таким образом, на проективной плоскости нет параллельных прямых, нельзя обычным образом измерить расстояние между точками, угол между прямыми. В самом деле: чему равен угол между прямой m и бесконечно удаленной прямой? Более того, нас интересуют только те свойства фигур, которые сохраняются при центральной проекции. Ясно, что расстояния между точками и углы между прямыми не сохраняются, то есть не являются проективными свойствами.

Нельзя также сказать, что из трех точек одной проективной прямой одна лежит между двумя другими, как нельзя, например, сказать это о трех точках окружности.

Значит, на проективной плоскости нельзя определить такие фигуры как отрезок или даже треугольник. Можно, конечно, провести три прямые, которые пересекутся в трех разных точках. Такую фигуру называют трехсторонником или трехвершинником. Но если попытаться выделить на чертеже «внутреннюю область», ограниченную этими прямыми, то при центральном проецировании эта область может перестать быть «треугольником» в привычном смысле слова, как это видно на рисунке 8.

 

 

 

Различие между «треугольниками» на рисунках 9 и 10 состоит в том, что один из них пересекает «бесконечно удаленную прямую». С проективной точки зрения никакой разницы между ними нет. Значит три прямые, не проходящие через одну точку, делят проективную плоскость на четыре части. Каждую из этих частей можно было бы назвать, скажем, «проективным треугольником», но в дальнейшем это нигде не пригодится.

 

 

На первый взгляд, проективных свойств у фигур не так уж и много. Например, если три прямые проходят через одну точку, то это свойство (конкурентность прямых) сохранится в любой центральной проекции. Также, очевидно будет сохраняться расположение точек на одной прямой (коллинеарность точек). В дальнейшем увидим, что другие проективные свойства фигур сводятся к этим двум основным – коллинеарности и конкурентности. Кажется, что проективная геометрия гораздо беднее обычной евклидовой геометрии. Однако это совсем не так, в чем мы вскоре убедимся.

Определив проективную плоскость, путем пополнения евклидовой плоскости бесконечно удаленной прямой, будем теперь действовать следующим образом: рассуждения и доказательства будем проводить на евклидовой плоскости, используя расстояния, углы и все известные теоремы евклидовой геометрии. Если же удастся обнаружить какое-либо проективное свойство, не зависящее от углов, расстояний, отношений отрезков и т. п. будем переходить на проективную плоскость.

 

Сложное отношение

Как известно, при параллельной проекции сохраняется отношение отрезков, лежащих на одной прямой. При центральной проекции отношения отрезков не сохраняются. Однако, существует некоторая числовая величина, зависящая от отношений длин отрезков, но остающаяся неизменной при центральной проекции. Эта величина носит название сложного (или ангармонического) отношения четырех точек.

 

Рассмотрим сначала четыре точки А, В, М, Р, лежащие на одной прямой. Величину     назовем сложным отношением точек А, В и М, Р и будем обозначать (АВ,МР).

Несложно запомнить, что оно получается как «отношение отношений». Для того, чтобы его получить, надо записать сначала в каком отношении делит отрезок АВ точка М, то есть , потом сделать то же самое для точки Р, то есть записать  и, наконец разделить одно на другое.

Отношения  и  будем записывать с учетом направления отрезков, то есть считать их положительными, если векторы АМ и МВ направлены в одну сторону, и отрицательными в противном случае. Например, на приведенном чертеже , , так что (АВ,МР)=  > 0.

Теперь рассмотрим центральную проекцию с центром О, при которой точки А, В, М, Р перейдут в точки А', В', М', Р'. Покажем, что при этом (АВ,МР) = (А'В', М'Р'). Для доказательства проведем через точки В и В' прямые, параллельные АА'. Обозначим точки пересечения этих прямых с прямыми ОМ и ОР как Х, Х' и Y,Y'. Используя параллельность прямых ОА, BY, B'Y', напишем несколько пропорций.

;                      

;         

Учитывая, что , получаем (АВ,МР) = (А'В', М'Р'). Поскольку для любой прямой, пересекающей четверку прямых a, b, m, p, сложное отношение четырех точек будет одним и тем же, эту же величину называют также сложным отношением четырех прямых. Несложно показать, что его можно выразить через синусы углов между прямыми, а именно . Для этого достаточно выразить отношение (АВ,МР) через отношение площадей треугольников ОАМ, ОМВ, ОАР, ОРВ, а площади – через синусы углов и отрезки ОА, ОВ, ОМ, ОР.

Важнейшее свойство сложного отношения состоит в том, что если задать на прямой три любые точки А, В, М и взять любое число k, то точка Р такая, что (АВ,МР) = k, определяется однозначно. Естественно, точка Р может оказаться бесконечно удаленной.

Проще всего убедиться в этом, взяв на прямой систему координат с началом в точке А и единичным отрезком АВ. Пусть точка М имеет координату m (m ≠ 0, m ≠ 1), тогда координата х точки Р находится из линейного уравнения.

Если знаменатель дроби не равен нулю, то вычисленное значение х однозначно определяет положение точки Р на прямой. Если же знаменатель оказывается равным нулю (это произойдет, если ), то будем считать, что точка Р – это бесконечно удаленная точка проективной прямой.

В наших рассуждениях мы считали, что ни одна из точек А, В, М не является бесконечно удаленной. Если же это не так, то перед тем как проводить доказательство построим такую центральную проекцию исходной прямой, чтобы все три точки присутствовали на чертеже «в явном виде». Теперь все доказательство существования точки Р можно повторить для новой прямой, а потом спроецировать точку Р обратно на исходную прямую. Сложное отношение (АВ,МР) при этом не изменится.

Кроме того, будем считать, что если точка М, например, является бесконечно удаленной, то .

Точно таким же образом ясно, что если взять три любые прямые a, b, m, проходящие через одну точку, и взять любое число k, то прямая р такая, что (ab, mp) = k, определяется однозначно.

В дальнейшем нам понадобится только то, что три точки (три прямые) и данное значение сложного отношения однозначно определяют положение четвертой точки на прямой (четвертой прямой в пучке). Находить положение этой точки (прямой) будем с помощью геометрических построений, без использования каких-либо координат и уравнений.

 

Проективные отображения

Рассмотрим две четверки точек, каждая из которых лежит на одной прямой. Если сложные отношения этих четверок не равны между собой, то, очевидно, нельзя построить центральную проекцию, которая одну четверку точек переводит в другую.

 Однако, из равенства двух сложных отношений еще не следует, что одна четверка точек обязательно является проекцией другой. Из этого следует лишь, что найдется промежуточная четверка, которая является проекцией как первой, так и второй четверки точек. Чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, решим следующую важную задачу.

 

Задача

Дана четверка точек А,В,М,Р, лежащих на одной прямой m и тройка точек А',В',М', лежащих на прямой m'. Построить на прямой m' точку Р' такую, что
 (АВ,МР) = (А'В',М'Р').

Заметим прежде всего, что такая точка Р существует и однозначно определена. Построим ее с помощью центральной проекции.

Пусть прямые АВ' и А'В пересекаются в точке В₀, а прямые АМ' и А'М в точке М₀. Построим прямую В₀М₀.

Теперь спроецируем на эту прямую точки А,В,М,Р из центра А'. Получим точки
А₀,В₀,М₀,Р₀, которые в свою очередь спроецируем на прямую А'В' из центра А, получая точки А',В',М',Р'.

Поскольку при центральной проекции сохраняется сложное отношение четырех точек, то (АВ,МР) = (А₀В₀,М₀Р₀) = (А'В',М'Р').

 

Любая из двенадцати точек, участвующих в построении может оказаться бесконечно удаленной точкой проективной плоскости. Тогда выполняя соответствующие построения на листе бумаги, мы, например, вместо того, чтобы провести прямую через точки А и В, построим прямую, проходящую через точку А параллельно прямой l, содержащей бесконечно удаленную точку В.

Из разобранной задачи следует важный результат. Рассмотрим какое-нибудь отображение прямой m на прямую m ', про которое известно только то, что оно сохраняет сложное отношение. То есть, если точки А,В,М,Р переходят в точки А',В',М',Р', то
(АВ,МР) = (А'В',М'Р'). Такое отображение будем называть проективным отображением.

Выберем на одной прямой произвольные точки А,В,М, а на другой – их образы А',В',М'. Применим построение предыдущей задачи и рассмотрим композицию двух центральных проекций. Первая – проекция прямой m на прямую В₀М₀ с центром А', вторая – проекция В₀М₀ на m ' с центром А'.

При этом окажется во-первых, что для любой точки Р на прямой m однозначно определен ее образ Р' на прямой m '. А во-вторых, построенное отображение сохраняет сложное отношение, как композиция двух центральных проекций. Следовательно, верна теорема.

 

Теорема

Любое проективное отображение одной прямой на другую однозначно задается тремя точками на одной прямой и их образами на другой прямой.

Любое проективное отображение одной прямой на другую либо является центральной проекцией, либо представимо в виде композиции двух центральных проекций.

 Для данного проективного отображения одной прямой на другую легко определить является ли оно просто центральной проекцией или композицией двух проекций. А именно: проективное отображение одной прямой на другую является центральной проекцией в том и только в том случае, когда точка пересечения прямых переходит сама в себя.

 То, что при центральной проекции точка пересечения прямых остается на месте, не вызывает сомнений. Обратное утверждение следует из того, что для задания отображения нужны три точки. Пусть прямые пересекаются в точке А. Выберем еще две пары точек В, В' и С, С'. Тогда центр проекции определяется, как точка пересечения прямых ВВ' и СС'.

Теорема Дезарга

Применим теперь свойства сложного отношения и центральной проекции для доказательства содержательных теорем. Выберем на произвольной прямой тройку точек А,В,С и построим два проективных отображения этой прямой на другую прямую. Если при этом окажется, что точки А,В,С перейдут при каждом из отображений в одни и те же точки А',В',С', то эти два отображения будут совпадать. То есть, применив эти отображения к любой точке Р на исходной прямой, получим в результате одну и ту же точку Р' на другой прямой.

В качестве проективных отображений естественно попытаться рассмотреть центральные проекции одной прямой на другую.

Если три прямые m, m', m₀ проходят через точку А, то при любой проекции одной прямой на другую точка А перейдет сама в себя. Выберем на прямой m точки В и С и рассмотрим центральную проекцию m на m' с центром О. Точки А,В,С перейдут в точки А,В',С'.

Теперь выберем любой другой центр О₁ и спроецируем m на m₀. Точки А,В,С перейдут в точки А,В₀,С₀. Пусть прямая В'В₀ пересекает прямую ОО₁ в точке О₂. Центральная проекция m₀ на m' с центром О₂ переводит тройку точек А, В₀,С₀ в тройку А,В',С'.

 

Получается, что проекция с центром О и композиция проекций с центрами О₁ и О₂ переводят точки А,В,С в одни и те же точки А,В',С'. Значит, применяя их к любой точке Р на прямой m, мы получим одну и ту же точку Р' на прямой m'.

 

Полученный результат носит название теоремы Дезарга в честь архитектора Жерара Дезарга, который первым сформулировал ее в середине XVII века.

 

Теорема Дезарга

Если прямые АА', ВВ', СС' конкурентны (проходят через одну точку), то точки пересечения прямых АВ и А'В', ВС и В'С', СА и С'А' коллинеарны (лежат на одной прямой).

 

 

 

Доказать теорему Дезарга можно, и не используя аппарат проективной геометрии. Действительно, пусть треугольники АВС и А'В'С' не лежат в одной плоскости, тогда пары их соответственных сторон лежат в плоскостях граней трехгранного угла с вершиной О, и, следовательно пересекаются не только на плоском изображении, но и в пространстве. Эти точки пересечения лежат на одной прямой ­– линии пересечения плоскостей АВС и А'В'С'.

Ясно, что плоский чертеж мы можем рассматривать, как проекцию соответствующей трехмерной конструкции, откуда и следует утверждение теоремы.

Очень интересный прием можно использовать при доказательстве обратной теоремы.

Если точки пересечения прямых АВ и А'В', ВС и В'С', СА и С'А' коллинеарны, то прямые АА', ВВ', СС' конкурентны.

Для доказательства применим теорему Дезарга к трем парам точек АВ, QR, А'В'.

 

По условию обратной теоремы эти прямые пересекаются в точке Р. Значит точки пересечения прямых AR и BQ, А'R и В'Q, АА' и ВВ' лежат на одной прямой. Или другими словами, прямыеАА', ВВ', СС' проходят через одну точку.

Принцип двойственности

Обратная теорема доказана однократным применением прямой теоремы. И это не просто красивая случайность. В формулировке прямой и обратной теорем Дезарга речь идет о десяти точках и десяти прямых. На каждой прямой лежат по три точки, а через каждую точку проходят три прямые.

Значит, в теореме Дезарга можно «поменять местами» точки и прямые. Действительно, будем вместо слов «точка лежит на прямой» и «прямая проходит через точку» использовать слова «точка и прямая инцидентны». Если теперь записать формулировку теоремы, используя этот искусственный оборот, то в получившемся тексте слова «точка» и «прямая» можно менять местами. В результате такой «лингвистической» процедуры прямая теорема Дезарга превратится в обратную.

  Оказывается, в проективной геометрии такое же «преобразование» можно применить к тексту любой теоремы. Ведь на проективной плоскости, в отличие от евклидовой, нет параллельных прямых. Любые две прямые имеют общую точку. И, конечно же, через любые две точки проходит единственная прямая.

Другими словами «любым двум прямым инцидентна одна общая точка», «любым двум точкам инцидентна одна общая прямая». Здесь мы отказываемся от представления, что «прямая состоит из точек». Будем считать, что на проективной плоскости есть два класса объектов – класс точек и класс прямых. Объекты двух разных классов могут находиться в отношении «инцидентности».

Поскольку в проективной геометрии нет ни расстояний, ни углов, ни площадей, все теоремы относятся только к инцидентности точек и прямых. В условии и заключении участвуют в основном коллинеарные тройки точек (три точки инцидентны одной прямой) и конкурентные тройки прямых (три прямые инцидентны одной точке).

Таким образом, если доказана какая-либо теорема проективной геометрии, то можно считать доказанной и двойственную ей теорему, которая получается из нее, если поменять местами точки и прямые. В качестве важного примера построим теорему двойственную теореме о проективном отображении одной прямой на другую.

Вместо точек, лежащих на одной прямой (как говорили в XIX веке «ряда точек»), рассмотрим пучок прямых, проходящих через одну точку (в ХХ веке и то и другое назвали «одномерным многообразием»). Назовем отображение одного пучка на другой проективным отображением, если оно сохраняет сложное отношение четырех прямых.

 Обратите внимание, мы говорим об отображении, которое каждой прямой одного пучка ставит в соответствие прямую другого пучка. При этом мы отказываемся от представления, что «прямая состоит из точек». Про «судьбу отдельной точки» в таком отображении вообще нет смысла говорить.

 Простейший пример – перспективное отображение одного пучка на другой. Оно двойственно центральной проекции одной прямой на другую. При центральной проекции прямые, соединяющие соответственные точки, проходят через центр проекции, точку S. Точно так же, при перспективном отображении пучков точки пересечения соответственных прямых лежат на оси перспективы, прямой s.

		(АВ,CD) = (A'B', C'D')				(а b,cd) = (a'b', c'd')

 

 

Сформулируем и докажем двойственную теорему

 

 

Будем, фактически, решать следующую задачу:

Даны четыре прямые a, b, m, p, принадлежащие одному пучку и три прямые a', b', m', принадлежащие другому пучку. Построить такую прямую р', что (ab, mр) = (ab, mр).

Интересно проследить, как при доказательстве двойственной теоремы точки и прямые меняются местами. Если при доказательстве первой теоремы на каждой из прямых были выбраны по три точки и затем рассматривались соединяющие их прямые, то теперь выберем в каждом пучке по три прямые и рассмотрим точки их пересечения.

Проведем прямую b₀ через точки пересечения ab' и a' b и прямую m₀ через точки пересечения am' и a' m. Прямые b₀ и m₀ определяют пучок (так же как две точки определяют прямую). Этот пучок оказывается перспективен и первому пучку с осью a', и второму – с осью a. Теперь для любой прямой р можно сначала построить ее образ р₀ в промежуточном пучке, а потом и образ р' прямой р₀ в другом пучке. При этом отображение первого пучка на второй представлено в виде композиции двух перспективных отображений.

 

 

Так же, как и для отображения одной прямой на другую, оказывается верным утверждение: проективное отображение одного пучка на другой является перспективным, в том и только в том случае, когда прямая, соединяющая вершины пучков, переходит сама в себя.

Доказательство полностью повторяет двойственный аналог для двух прямых. При этом вместо «общей точки двух прямых» будем говорить об «общей прямой двух пучков», вместо центра проекции появится ось перспективы и т. п. Для лучшего понимания принципа двойственности полезно провести подобные рассуждения самостоятельно.

Интересно, что так преобразовать можно не только «лингвистически» текст теоремы, но и «геометрически» проективную плоскость. То есть, существует такое преобразование проективной плоскости, которое переводит точки в прямые, прямые – в точки, и при этом точке пересечения двух прямых соответствует прямая, проходящая через две точки. Однако, устроено оно совсем не просто, поэтому мы познакомимся с ним немного позже.

 

Теорема Паппа

Воспользуемся свойствами сложного отношения точек и прямых для доказательства еще одной теоремы.

Рассмотрим центральную проекцию прямой АВ на прямую А'В, с центром в точке S. Точка В остается на месте, точки А, D и С переходят в точки А', D' и С'. При этом сложные отношения (АВ,СD) и (А'В,С'D') равны между собой. Проведем через точку В произвольную прямую, пересекающую прямые SA и SC в точках М и N.

 

Прямые МА', МВ, МС', MD' образуют четверку с тем же сложным отношением, что и точки А', В, С', D'. (МА' МВ, МС' MD') = (А'В,С'D') = (АВ,СD). Пересечем прямые этого пучка прямой АС' и рассмотрим перспективное отображение пучка с вершиной М на пучок с вершиной N и осью перспективы АС'.

Прямая МА' перейдет в прямую NA, прямая МС' – в NС, прямая МВ – сама в себя. Образом прямой MD' будет прямая пучка с вершиной N, проходящая через точку К пересечения оси перспективы АС' и прямой MD'. Сложное отношение прямых сохраняется. (NA NB, NC NK) = (МА' МВ, МС' MD').

Прямые NA, NB, NC, NK пересекают прямую АВ в точках А, В, С, D₁, и сложное отношение точек пересечения равно сложному отношению прямых пучка.

(АВ,СD₁) = (NA NB, NC NK) = (МА' МВ, МС' MD') = (А'В,С'D') = (АВ,СD)

Это значит, что точка D совпадает с точкой D₁. Убирая с чертежа некоторые точки и прямые и вводя новые обозначения, получаем теорему Паппа.

 

Теорема Паппа

Пусть X, Y, Z и X ', Y ', Z ' – коллинеарные тройки точек. Прямые XY ' и X ' Y пересекаются в точке А, прямые YZ ' и Y ' Z – в точке В, прямые ZX ' и Z ' X – в точке С. Тогда точки А,В,С коллинеарны.

 

 

Перед нами замечательный пример проективной теоремы. В условии даны две коллинеарные тройки точек, и в заключении получаем еще одну коллинеарную тройку. Исходные тройки точек можно располагать на прямых в любом порядке, получая разнообразные, непохожие друг на друга чертежи, но точки А,В,С обязательно будут лежать на одной прямой.

 

Всего в рассмотренную конфигурацию входят девять точек и девять прямых. На каждой прямой лежат по три точки, через каждую точку проходят три прямые. Попытка воспользоваться принципом двойственности и обменять местами точки и прямые приведет лишь к тому, что мы получим эквивалентную формулировку той же самой теоремы.

Пусть x, y, z и x', y', z' – две тройки конкурентных прямых. Соединим точки пересечения прямых x, y' и x', y прямой а, точки пересечения y, z' и y', z – прямой b, точки пересечения z, x' и z', x – прямой c. Тогда прямые a, b, c конкурентны.

Построив чертеж к двойственной теореме, увидим ту же самую конструкцию из девяти прямых и девяти точек.

Интересно, что в теореме Паппа речь идет о «дважды дезарговых» трехвершинниках. Рассмотрим два трехвершинника, образованных прямыми XY', YZ', ZX' и X'Y, Y'Z, Z'X. Назовем их KLM и PQR. Точки пересечения сторон KL и QR, LM и PQ, MK и PR – это точки X, Y, Z, лежащие на одной прямой. Точно так же точки пересечения сторон KL и PR, LM и QR, MK и PQ – это точки X', Y', Z', лежащие на одной прямой. Теорема Паппа утверждает, что эти трехвершинники являются даже «трижды дезарговыми», то есть точки пересечения сторон KL и PQ, LM и PR, MK и RQ также лежат на одной прямой.

 

 

 

Кажется очень естественной попытка доказать теорему Паппа, используя теорему Дезарга. Однако, Гильберт в своей знаменитой книге «Основания геометрии» показал, что попытки получить доказательство теоремы Паппа, только применяя к различным парам трехвершинников на чертеже теорему Дезарга, не могут привести к успеху. Теорема Паппа оказывается в каком-то смысле «глубже» теоремы Дезарга. Обратный ход оказывается вполне возможным. Теорему Дезарга можно доказать, используя теорему Паппа. Разумеется, речь идет о «проективных» доказательствах без использования пропорций, отношений или, тем более, расстояний между точками..

Теорема Паппа знаменита прежде всего тем, что это первая проективная теорема. Папп сформулировал и доказал ее примерно за полторы тысячи лет до возникновения проективной геометрии. При этом он не рассматривал ни проекций, ни сложных отношений.

Попробуйте сами доказать теорему Паппа, используя только теоремы школьного курса евклидовой геометрии. Нет сомнений, что на этом пути вас ожидают определенные трудности. Для этого, видимо, придется многократно применять к различным треугольникам теорему Менелая или теорему Чевы. Возможно есть и другие пути доказательства. Кто знает?... Не зря же Папп был назван последним великим геометром античности.

Гармоническая четверка

Рассмотрим две пары точек, лежащих на одной прямой, таких, что (АВ,МР) = –1 или, другими словами, пары точек АВ и МР разделяют друг друга, и . Говорят, что точки А, В, М, Р образуют гармоническую четверку, или, что пары точек АВ и МР гармонически разделяют друг друга. Построим гармоническую четверку точек, пользуясь только центральной проекцией.

Точку М можно выбрать произвольно на прямой АВ, тогда положение точки Р однозначно определяется следующим построением.

Через произвольную точку К проведем прямые КА, КВ, КМ. На прямой КМ возьмем произвольную точку L. Прямые AL и BL пересекают прямые КА и КВ в точках А' и В'. Прямая А'В' пересекает АВ в искомой точке Р.

Действительно, (АВ,МР) = (А'В',М'Р'), поскольку четверка точек А'В',М'Р' соответствует четверке АВ,МР при проекции с центром К.

Аналогично (А'В',М'Р') = (ВА,МР), так как четверке А'В',М'Р' при проекции с центром L соответствует четверка ВА,МР.

(АВ,МР) = (ВА,МР), то есть  и, при этом пары точек АВ и МР разделяют друг друга. Это и означает, что пары точек А, В и М, Р (а вместе с ними и А', В' и М', Р) образуют гармоническую четверку. Заметим, что положение точки Р на прямой АВ определяется только точками А, В, М, и не зависит от выбора вспомогательных точек К и L.

Заметим, кстати, что если точка М – середина отрезка АВ, то АВ║ А'В', а точка Р становится бесконечно удаленной.

Обычно приведенное построение описывают следующим образом:

Возьмем на проективной плоскости четыре точки общего положения и соединим их шестью прямыми – каждую с каждой. Получится конфигурация, которую называют полным четырехвершинником.

Шесть прямых дадут еще три новых точки пересечения в дополнение к уже имеющимся четырем. Соединим эти три точки еще тремя прямыми. Их называют диагоналями четырехвершинника. Каждая из диагоналей пересекает стороны четырехвершинника в четырех точках. И каждая из этих четверок – гармоническая.

Однако это еще не все. На каждой стороне исходного четырехвершинника также образуются гармонические четверки (почему?). Таким образом, на чертеже всего тринадцать точек, девять прямых, и девять гармонических четверок – по одной на каждой прямой.

Таким образом гармоническая четверка определена только через инцидентность точек и прямых, чисто проективным образом. Действительно, при любой центральной проекции одной плоскости на другую четырехвершинник останется четырехвершинником, а гармоническая четверка – гармонической четверкой.

Из доказательства следует, что если выбрать на прямой три любые точки и достроить этот чертеж до полного четырехвершинника, то положение четвертой точки определяется однозначно, независимо от того, какой именно четырехвершинник был построен. Интересно, что это можно доказать, опираясь лишь на теорему Дезарга, не используя сложных отношений.

Придется при этом применить теорему Дезарга по крайней мере три раза к трем парам трехвершинников, так что полученное доказательство будет немного длиннее. Однако таким образом можно определить гармоническую четверку, не только не привлекая понятия длины отрезка, но даже и отношения длин.

Правда, в доказательстве теоремы Дезарга было использовано то же самое сложное отношение, но этого можно избежать, если с самого начала строить проективную геометрию, как аксиоматическую теорию (где одной из аксиом будет являться утверждение, знакомое нам, как теорема Паппа), вообще не используя понятия евклидовой геометрии. Однако, такой путь изложения вряд ли подходит для первого знакомства. Исторически все обстояло наоборот.

Сначала проективная геометрия возникла, как продолжение классической геометрии Евклида. Потом – в конце XIX века в работах Штейнера и Штаудта она была изложена, как независимая теория со своей системой аксиом, отличающихся от аксиом евклидовой геометрии. И, наконец, в начале ХХ века Кэли и Клейн из материала проективной геометрии построили евклидову и неевклидовы геометрии. Однако подробный рассказ об этом уводит далеко за рамки статьи.

 

Полюс и поляра

Рассмотрев точки, гармонически сопряженные относительно концов диаметра, естественно попытаться рассмотреть точки, гармонически сопряженные относительно концов произвольной хорды. Возьмем произвольную точку А внутри или снаружи окружности и проведем через нее все прямые, пересекающие окружность. Будем для каждой хорды МР строить точку В так, чтобы точки АВ,МР образовали гармоническую четверку.

Докажем, что геометрическое место точек В является некоторой прямой. Эта прямая называется полярой точки А. Для доказательства рассмотрим два случая: 1) точка А расположена вне окружности, 2) точка А расположена внутри окружности.

 

Интересно, что несмотря на различия между чертежами, текст доказательства практически не меняется.

Проведем через точку А диаметр и построим точку С, которая вместе с точкой А гармонически разделяет концы диаметра. Проведем через точку С перпендикуляр р к диаметру и покажем, что любая прямая, проходящая через точку А, пересекает этот перпендикуляр в такой точке В, а окружность в таких точках М, Р, что АВ,МР – гармоническая четверка.

По предыдущей задаче прямые МС и МА пересекают окружность в точках D и Р, симметричных относительно диаметра. Отсюда следует, что прямая СА является биссектрисой угла С в треугольнике МРС. В случае (1) – это внешний угол, в случае (2) – внутренний. Прямая р, перпендикулярная диаметру, является биссектрисой смежного угла. Биссектрисы СА и СВ пересекают основание треугольника СМР в точках А и В, следовательно, АВ, МР – гармоническая четверка.

Прямая р называется полярой точки А. Точка А называется полюсом прямой р. Если полюс лежит внутри окружности, то поляра не пересекает окружность, если полюс лежит вне окружности, то поляра перес