Принцип двойственности для поляр

Рассмотрим две точки А и В, гармонически разделяющие концы хорды МР. Будем называть точки А и В сопряженными относительно окружности. Пусть прямые а и b – поляры точек А и В соответственно. Поляра точки А проходит через точку В, а поляра точки В проходит через точку А. Прямые а и b также будем называть сопряженными относительно окружности.

 

Может показаться, что уже доказана главная теорема о полярах:

 

Теорема (принцип двойственности )

Если поляра точки А проходит через точку В, то и поляра точки В проходит через точку А.

Увы, приведенное рассуждение нельзя считать доказательством. Дело в том, что прямая АВ может не пересекать окружность. В этом случае теорема также верна, но доказательство придется изменить.

Заметим, что поляра точки А проходит перпендикулярно прямой ОА через точку А', симметричную точке А относительно окружности, то есть . Это верно независимо от того, где лежит точка А, внутри или снаружи окружности.

Пусть В – произвольная точка на поляре а. Проведем из точки А перпендикуляр b к прямой ОВ и покажем, что прямая b является полярой точки В. Для этого достаточно показать, что прямая b пересекает ОВ в точке В', симметричной точке В относительно окружности, то есть что .

Это следует из подобия треугольников ОАВ' и ОВА'.

Значит, прямая b, проходящая через точку А, является полярой точки В. Это доказательство сохраняет силу при любом расположении точек А и В относительно окружности.

Переведя полученный результат на «школьный язык», без использования полюсов и поляр, получаем две достаточно сложные задачи.

 

Пусть А и В – две точки вне окружности. AP, AQ, BM, BN – касательные.

 

Легко видеть, что в одном случае прямые PQ и MN являются полярами точек А и В, а в другом случае прямые АВ и MN являются полярами точек С и В. Таким образом перед нами просто иллюстрации к доказанной теореме. Попробуйте решить эти задачи, используя только факты, известные из школьного курса геометрии. Это возможно, хотя и не очень просто.

 

Полярное преобразование

Ранее было замечено, что в проективной геометрии в формулировках теорем можно менять местами точки и прямые, сохраняя отношение «инцидентности». То есть вместо слов «прямая, проходящая через точку» подставлять в текст теоремы слова «точка, лежащая на прямой» и т.п. При этом некоторые теоремы вообще не изменяются, а некоторые переходят в другие, двойственные теоремы.

Теперь можно указать геометрическое преобразование плоскости, которое точки переводит в прямые, а прямые – в точки. При этом прямой, соединяющей две точки, соответствует точка пересечения двух прямых.

Зафиксируем на плоскости произвольную окружность и рассмотрим преобразование, которое каждой точке ставит в соответствие ее поляру, и каждой прямой – ее полюс относительно данной окружности. Это так называемое полярное преобразование.

Действительно, если поляры точек А и В проходят через точку М, то поляра точки М проходит через точки А и В. Это и значит, что при полярном преобразовании прямая m, соединяющая точки А и В, переходит в точку М пересечения поляр а и b.

Если же прямая m проходит через центр окружности, то поляры точек А и В параллельны или, другими словами, прямые а и b пересекаются в бесконечно удаленной точке. Следовательно, полюсом прямой, проходящей через центр окружности является бесконечно удаленная точка.

Полярой центра окружности является бесконечно удаленная прямая. Таким образом каждой точке проективной плоскости соответствует единственная прямая, а каждой прямой – единственная точка, а отношение инцидентности сохраняется.

Однако, это еще не все. Ранее мы определяли сложное отношение четырех точек, лежащих на одной прямой и сложное отношение пучка прямых, проходящих через одну точку.

Для точек .

Для прямых .

Если прямые a, b, m, p проходят через точки А, В, М, Р, то (АВ,МР) = (ab, mp).

Оказывается, полярное преобразование сохраняет сложное отношение.

Теорема

Если полюса А, В, М, Р лежат на одной прямой, то их поляры a, b, m, p проходят через одну точку и (АВ, МР) = (ab, mp).

 

Заметим, во-первых, что если точки А, В, М, Р лежат на одной прямой l, то их поляры a, b, m, p проходят через полюс L этой прямой.

Сложное отношение точек (АВ, МР) равно сложному отношению прямых (ОА ОВ, ОМ ОР), проходящих через точку О. Осталось заметить, что поляры a, b, m, p соответственно перпендикулярны прямым ОА, ОВ, ОМ, ОР и, следовательно, углы между полярами равны углам между этими прямыми.

Это и доказывает утверждение теоремы, поскольку сложное отношение четырех прямых выражается через синусы углов между ними.

 

 

Конические сечения

Внимательный читатель мог заметить, что приведенное определение полярного преобразования проективной плоскости не является, мягко говоря, вполне корректным. Главную роль в этом «определении» играет окружность. Но для проективной плоскости не определены понятия расстояния между точками и угла между прямыми. Ведь при центральной проекции не сохраняются ни углы ни расстояния.

Значит все рассуждения и доказательства, в которых встречаются биссектрисы, перпендикуляры, окружности, не могут быть использованы в проективной геометрии. Все, что мы можем себе позволить – это сложные отношения точек и прямых, в частности, гармонические четверки. И, прежде всего, необходимо найти проективный аналог окружности.

Рассмотрим центральную проекцию окружности на плоскость. Пучок прямых, осуществляющих проекцию, образует коническую поверхность.

 

След, который образует эта коническая поверхность при пересечении с плоскостью и есть центральная проекция окружности. Из евклидовой геометрии известно, что конические сечения бывают трех различных типов: эллипс, парабола, гипербола.

 

 

 

С проективной точки зрения никакой разницы между ними нет. Различие состоит лишь во взаимном расположении конического сечения (или, как часто говорят «коники») и бесконечно удаленной прямой. Эллипсом назовем коническое сечение, пересекающее бесконечно удаленную прямую, параболой – коническое сечение, касающееся бесконечно удаленной прямой, и гиперболой – если оно пересекает бесконечно удаленную прямую. Асимптоты гиперболы – это касательные в бесконечно удаленных точках.

Поскольку бесконечно удаленная прямая ничем не отличается от любой другой прямой проективной плоскости, то и различия между эллипсом, параболой и гиперболой на проективной плоскости нет.

Теперь дадим определение поляры точки относительно произвольного конического сечения. Поскольку при любой проекции гармоническая четверка остается гармонической четверкой, определение не претерпит существенных изменений.

Возьмем произвольную точку А на проективной плоскости и проведем через нее все прямые, пересекающие коническое сечение. Будем для каждой хорды МР строить точку В так, чтобы точки АВ,МР образовали гармоническую четверку. Все такие точки лежат на одной прямой, которая называется полярой точки А относительно конического сечения. Действительно, при центральной проекции окружность переходит в коническое сечение, гармоническая четверка – в гармоническую четверку, прямая – в прямую.

Для построения поляры можно было бы использовать касательную к коническому сечению, по крайней мере в том случае, когда полюс лежит вне коники, но мы поступим наоборот. Используем независимое построение поляры для того, чтобы провести касательные к коническому сечению.