Проективное определение конического сечения

 Определение конического сечения как центральной проекции окружности не является, увы, вполне «проективным». Во-первых, в этом определении задействована окружность. Определение же окружности как множества точек равноудаленных от центра не относится к проективной геометрии. Во-вторых, возникает естественный вопрос: является ли центральная проекция конического сечения также коническим сечением?

Действительно, рассмотрим проекцию окружности на какую-либо плоскость. Эту проекцию мы назвали коническим сечением (коникой). Теперь построим проекцию этой коники на другую плоскость. Является ли новая проекция также коническим сечением? Или, точнее говоря, можно ли рассматривать ее как центральную проекцию какой-нибудь подходящей окружности?

Для того, чтобы дать утвердительный ответ на этот вопрос, вспомним другое определение окружности. Возьмем на евклидовой плоскости две произвольные точки А и В. Окружностью назовем геометрическое место точек М таких, что направленный (!) угол ÐАМВ является постоянным и равным a. Направленный угол понадобился, чтобы, во первых, не говорить про углы a и 180° – a, а во-вторых, чтобы не удвоить окружность.

Если теперь взять на окружности четыре точки A, B, C, D, то для любой точки М, лежащей на окружности, сложное отношение прямых (MA MB, MC MD) будет одним и тем же. Это следует из того, что вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны, а сложное отношение четверки прямых выражается через синусы углов между ними.

 

 

Можно рассмотреть отображение пучка прямых, проходящих через точку М, на пучок прямых, проходящих через точку N. Соответственными прямыми будем считать те прямые, точка пересечения которых лежит на окружности. Это отображение является проективным, поскольку сложное отношение прямых сохраняется.

Теперь можно дать проективное определение конического сечения без использования окружности.

Рассмотрим на проективной плоскости два пучка прямых вместе с проективным отображением одного пучка на другой. Если отображение не является перспективным, то точки пересечения соответственных прямых двух пучков не лежат на одной прямой.

Оказывается, эти точки пересечения обязательно лежат на какой-нибудь конике. Более того, это можно считать ее определением. Назовем коникой множество точек пересечения соответствующих прямых двух пучков, между которыми установлено проективное соответствие.

Ясно, что данное определение включает в себя окружность, как частный случай и, кроме того совершенно очевидно, что центральная проекция коники снова является коникой, поскольку при проекции сложные отношения сохраняются.

Осталось показать, что это определение совпадает с исходным, а именно, каждая коника (в смысле нового определения) является центральной проекцией какой-либо подходящей окружности.

Заметим сначала, что поскольку в случае окружности отображение пучка на пучок попросту сохраняет углы между прямыми, то прямой, соединяющей вершины пучков, соответствует при отображении касательная к окружности. Если рассматривать общую прямую MN, как принадлежащую пучку с вершиной М, то ей соответствует касательная в точке N, и наоборот.

Таким образом, чтобы задать два пучка, порождающих окружность, нужно провести всего пять прямых. Разумеется, три прямые, проходящие через точку М, можно выбирать произвольным образом. Затем на одной из них выберем точку N и проведем через нее еще две прямые, так чтобы соответственные углы оказались равными (см. чертеж).

Получаем по три прямых в каждом пучке, поскольку прямая MN входит в оба пучка сразу. Этого как раз хватает, чтобы задать проективное отображение одного пучка на другой. Для любой прямой из одного пучка можно теперь построить ее образ в другом пучке.

Это уже было сделано ранее одним способом, когда отображение пучков было представлено в виде композиции двух перспективных отображений. Впоследствии мы рассмотрим и другой способ, хорошо работающий в данном конкретном случае.

Перейдем теперь к случаю произвольной коники. Рассмотрим проективное отображение пучка a с вершиной М на пучок b с вершиной N. Общую прямую MN назовем l. Если бы прямая l при отображении оставалась на месте, то по доказанной теореме точки пересечения соответственных прямых из двух пучков лежали бы на оси перспективы.

Поскольку мы рассматривем отображение, не являющееся перспективным, то прямая l является образом прямой m из пучка a, а ее образ – это прямая n из пучка b. (Для окружности прямые m и n были касательными в вершинах пучков, они же будут касательными и к конике.) Выберем еще в пучке a любую прямую а, а в пучке b – ее образ b. Точку пересечения прямых а и b назовем А. Проективное отображение полностью задается тремя парами соответственных элементов. В первом пучке возьмем прямые m, a, l, а в другом – их образы l, b, n.

Проведем через прямую n любую плоскость и построим в ней окружность, которая касается прямой n в точке N. Проведем касательную m ' к окружности, проходящую через точку пересечения прямых m и n. Точку касания обозначим М'. Через прямую a и точку М' проведем плоскость, пересекающую окружность в точках М' и А'. Точку S пересечения прямых АА' и ММ', лежащих в одной плоскости, сделаем центром проекции.

 

 

Рассмотрим проекцию плоскости окружности на исходную плоскость с центром S. Точки М', А', N переходят в точки М, А, N. В плоскости окружности можно рассмотреть проективное отображение пучка с вершиной М' на пучок с вершиной N. Точки пересечения соответственных пучков порождают окружность. Соответствующее отображение пучков задается соответствием троек прямых m ', a ', l ' и l ', b ', n. Эти прямые являются прообразами прямых m, a, l и l, b, n при центральной проекции. Значит, соответственные лучи пучков, порождающих окружность, переходят при проекции в соответственные лучи пучков, порождающих конику. Что и требовалось доказать.

 

 Теорема Паскаля

Из доказанной теоремы следует, что если взять два пучка прямых с вершинами на любом коническом сечении, и рассмотреть отображение одного пучка на другой, такое что соответственные прямые пересекаются в точках, лежащих на конике, то это отбражение будет проективным, то есть сложное отношение прямых будет сохраняться.

Можно сформулировать этот результат и по-другому:

Выберем на конике четыре неподвижные точки A, B, C, D и пятую подвижную точку М. Сложное отношение прямых М A, М B, М C, М D не зависит от выбора точки М.

Новое определение конического сечения ставит перед нами естественную задачу на построение. Возьмем два пучка с вершинами М и N. Чтобы задать проективное отображение, достаточно выбрать в каждом пучке тройку прямых: a₁, b₁, c₁ – в первом пучке и a₂, b₂, c₂ – во втором. Три точки пересечения соответствующих прямых А, В, С лежат на конике. Кроме того, коника должна проходить еще и через точки М и N.

Значит, взяв любые (!) пять точек общего положения М, N, А, В, С, можно построить единственную конику, проходящую через эти точки. Две из этих пяти точек будут вершинами пучков, и из каждой вершины проводим по три прямые через три оставшиеся точки. Таким образом проективное отображение одного пучка на другой становится полностью определенным. Вершинами пучков при этом можно выбирать любые две точки. Коника будет получаться та же самая. (почему?)

Таким образом, уже доказана очень сильная теорема.

Теорема

 

 

Фактически, имея пять исходных точек, мы можем постоить еще сколько угодно точек конического сечения. Действительно, взяв любую прямую из одного пучка, построим ее образ в другом пучке, тогда их точка пересечения будет лежать на искомой конике. Возвращаемся к уже известной задаче:

По данным четырем прямым a₁, b₁, c₁, d₁, проходящим через точку М, и трем прямым a₂, b₂, c₂, проходящим через точку N, построить прямую d₂ такую, чтобы выполнялось равенство (a₁ b₁, c₁ d₁) = (a₂ b₂, c₂ d₂).

Эта задача была полностью решена, когда мы давали определение проективного отображения пучков. Однако, решив ее другим способом, мы получим доказательство одной из самых замечательных теорем проективной геометрии – теорему Паскаля.

 

 

План построения будет следующим: сначала заменим сложное отношение прямых (a₁ b₁, c₁ d₁) сложным отношением точек, лежащих на одной прямой, потом спроецируем эти точки на другую прямую, и опять перейдем от точек к прямым a₂, b₂, c₂, d₂ с сохранением сложного отношения.

 

 

 Пусть прямые a₁, b₁, c₁, d₁ пересекают прямую АВ в точках A, B, C₁, D₁. Тогда   (a₁b₁, c₁d₁) = (AB,C₁D₁). Построим теперь центральную проекцию прямой АВ на прямую ВС. Центром проекции выберем точку S, в которой пересекаются прямые c₁ и a₂. Проекциями точек A, B, C₁, D₁ будут точки A₂, B, C, D₂. (AB, C₁D₁) = (A₂B, CD₂). Соединяя точки A₂, B, C, D₂ с точкой N, получаем три данные прямые a₂, b₂, c₂ и четвертую прямую d₂.

(a₂b₂, c₂d₂) = (A₂B, CD₂) = (AB, C₁D₁) = (a₁b₁, c₁d₁). Точка D пересечения прямых d₁ и d₂ лежит на конике.

Заметим, что в этом построении появляется всего одна прямая, которая не принадлежит двум исходным пучкам и не соединяет две исходные точки. Это прямая р, которая проходит через центр проекции S и соединяет точки D₁ и D₂.

 

Убирая с чертежа некоторые прямые и точки и вводя новые обозначения, получаем теорему Паскаля.

 

Теорема Паскаля

Пусть шесть точек АВ CDMN лежат на произвольном коническом сечении, тогда точки пересечения прямых AN и CM, AB и DM, В C и DN лежат на одной прямой.

 

Доказательство теоремы следует непосредственно из построения. Действительно, пять точек из шести данных полностью определяют конику. Проводя построение шестой точки, получаем прямую Паскаля. Это та самая прямая р, которая не проходит ни через одну из начальных пяти точек.

Паскаль доказал эту теорему, когда ему было всего 16 лет. Это случилось по крайней мере за 250 лет до того, как Штейнер сформулировал проективное определение коники. Нет сомнения, что доказательство Паскаля использовало только «классические» теоремы евклидовой геометрии.

Чтобы лучше разобраться с теоремой, рассмотрим щесть точек, лежащих на окружности. Соединяя их одну за другой, получим шестизвенную ломаную ABCMDN. Паскаль назвал ее «Hexagramma mysticum», мы назовем ее шестиугольником Паскаля.

Если эта ломаная ограничивает выпуклый шестиугольник, то пары отрезков AN и CM, AB и DM, ВC и DN являются его противоположными сторонами. В этом случае теорему Паскаля формулируют обычно так:

Точки пересечения противоположных сторон шестиугольника, вписанного в окружность (или коническое сечение), лежат на одной прямой.

Эту же формулировку можно оставить и для случая, когда ломаная не является выпуклой. «Противоположными сторонами шестиугольника» будем считать такие звенья ломаной, которые разделены ровно двумя другими звеньями с каждой стороны.

 

 

 

 

Здесь становится особенно хорошо видна связь между теоремой Паскаля и теоремой Паппа. В обеих теоремах речь идет о точках пересечения противоположных сторон шестиугольника. И в обеих теоремах эти точки лежат на одной прямой. И это, конечно же, не случайность.

Мы назвали коникой множество точек пересечения соответствующих прямых двух пучков, между которыми установлено проективное соответствие. Если эти пучки находятся в перспективном соответствии, то соответствующие прямые пересекаются на оси перспективы. Кроме того прямая, которая соединяет вершины пучков переходит сама в себя. Так что в этом случае под определение коники вполне подходят две пересекающиеся прямые.

Если давать определение конического сечения, как пересечения плоскости и конической поверхности, то рассмотрев плоскость, проходящую через вершину конуса, опять получим две пересекающиеся прямые. Естественно, поэтому, считать пересекающиеся прямые особым, «вырожденным» случаем коники. Теорема Паппа теперь становится частным случаем теоремы Паскаля.

 

Теорема Брианшона

Воспользуемся двойственностью точек и прямых на проективной плоскости, чтобы сформулировать теорему, двойственную теореме Паскаля. Брианшон сделал это почти через 150 лет после опубликования теоремы Паскаля. С тех пор во всех книгах по проективной геометрии эти две теоремы находятся рядом, иллюстрируя принцип двойственности.

Возьмем шестиугольник Паскаля, вписанный в коническое сечение, и применим к нему полярное преобразование. Коника останется на месте, а вершины шестиугольника перейдут в свои поляры, то есть касательные к конике. Стороны шестиугольника перейдут в свои полюса, то есть точки пересечения шести поляр. Точки пересечения противоположных сторон вписанного шестиугольника превратятся в прямые, соединяющие вершины описанного шестиугольника. Поскольку три исходные точки лежали на одной прямой, три соответствующие поляры будут проходить через одну точку.

 

Теорема Брианшона

Прямые, соединяющие противоположные вершины шестиугольника, стороны которого касаются конического сечения, пересекаются в одной точке.

 

 

 

Интересно теперь поставить такой вопрос: что является образом коники при полярном преобразовании? Действительно, точки переходят в прямые, прямые – в точки, а во что перейдет коника?

Совершим сначала полярное преобразование коники относительно себя самой. Каждая точка коники перейдет в свою поляру – касательную к конике. Получается, что коника, которая была множеством точек, станет теперь множеством прямых. Это множество называют оболочкой коники.

Рассмотрим два пучка, порождающие конику. Между ними установлено проективное соответствие. В результате полярного преобразования прямые каждого пучка перейдут в точки одной прямой. Между точками двух прямых также будет установлено проективное соответствие, поскольку полярное преобразование сохраняет сложное отношение.

Точки пересечения соответственных прямых превратятся в прямые, соединяющие соответственные точки. Как мы только что выяснили, эти прямые являются касательными к конике. Значит оболочку коники можно представить, как множество прямых, соединяющих пары соответственных точек при проективном отображении одной прямой на другую.

Принцип двойственности позволяет высказать и более общее утверждение.

Рассмотрим две прямые, между точками которых установлено проективное соответствие. Множество прямых, соединяющих соответственные точки, образует оболочку какой-либо коники.

Полное доказательство этой теоремы приводить не будем. Вдумчивый читатель может рассмотретьоболочку коники, как центральную проекцию оболочки окружности и доказать двойственный аналог соответствующей теоремы о пучках.

 

 

Теперь можно сформулировать еще один замечательный двойственный результат.

 

 

 

 

А также:

 

 

Рассмотрим теперь проективное отображение прямой а на прямую а', при котором бесконечно удаленная точка одной прямой перейдет в бесконечно удаленную точку другой прямой. Поскольку прямые, соединяющие соответственные точки, являются касательными к коническому сечению, то среди этих касательных будет и бесконечно удаленная прямая. Коника, касающаяся бесконечно удаленной прямой, называется параболой. Прямые а и а' – касательные. Обозначим точки касания М и N.

Возьмем теперь еще какую-нибудь касательную к параболе, которая соединяет соответственные точки В и В'. Пусть прямые а и а' пересекаются в точке S. При отображении одной прямой на другую точка М переходит в S, точка S – в N, точка В – в В', бесконечно удаленная точка Х_¥ – в бесконечно удаленную точку Х'_¥.

Значит, (MS, BX_¥) = (SN, B'Х'_¥). Но . Следовательно, , то есть касательная к параболе делит отрезки двух других касательных в одном и том же отношении (в противоположных направлениях).

Отложим теперь на сторонах какого-либо угла два отрезка, начиная от вершины, и поделим каждый на n равных частей. Соединяя точки, которые делят отрезки в одном и том же отношении (см. чертеж), получаем семейство касательных к параболе.

 

 

Задача о бабочке

Мы уже неоднократно сталкивались с тем, что проективная геометрия служит источником разнообразных сложных задач по планиметрии. Вот еще одна знаменитая задача про окружность, известная как «задача о бабочке».

Пусть хорды окружности АС, BD и KN пересекаются в точке М, а прямая KN пересекает прямые АВ и CD и точках Р и Q. Если точка М является серединой хорды КМ, то MP = MQ.

 

Все известные «школьные» решения этой задачи довольно сложны. Дело в том, что в основе ее лежит проективная теорема, поэтому использовать в решении такие свойства окружности, как равенство радиусов или равенство вписанных углов, напрямую не получается. Приходится изобретать неочевидные дополнительные построения и всячески «выкручиваться». Если же перевести задачу на «проективный язык», решение становится вполне прозрачным.

Вместо окружности возьмем произвольную конику. Точка М пусть будет не серединой хорды, а произвольной точкой на некоторой прямой. На нашем чертеже эта прямая пересекает конику, хотя это совсем не обязательно. Выберем на прямой l еще одну точку Р и проведем через нее какую-нибудь прямую, пересекающую конику в точках А и В. Теперь проведем прямые АМ и ВМ до пересечения с коникой в точках С и D. Пусть прямая CD пересекает прямую l в точке Q.

 

Оказывается, положение точки Q на прямой l определяется только коникой и точками М и Р. «Бабочка» ABCD может быть любой (!), лишь бы сторона АВ проходила через точку Р, а прямые АС и BD пересекались в точке М.

Чтобы убедиться в этом построим полный четырехвершинник с вершинами A, B, C, D, который позволяет провести поляру m точки М. Пусть эта поляра пересекает прямую l в точке К. Положение точки К на прямой l зависит только от коники и точки М.

На стороне четырехвершинника АD образовалась гармоническая четверка АD,XY. Ее проекцией на прямую l является четверка КМ,PQ. Значит, точка Q – это четвертая гармоническая к точкам М, К, Р, положение которых не зависит от «бабочки» ABCD.

Другими словами:

 

Пусть четыре прямые пучка с вершиной М пересекают конику в точках АВ, CD, А'В', C' D', прямые А D и A' D' пересекаются в точке Р, прямые ВС и В'С' – в точке Q. Тогда точки Р, Q, М лежат на одной прямой.

Это утверждение можно также вывести, используя теорему Паскаля. Возвратимся теперь к задаче о бабочке.

Проведем через точку М серединный перпендикуляр к отрезку KN и построим «бабочку», симметричную исходной. Точки Р и Q пересечения соответственных сторон двух «бабочек», во-первых, симметричны относительно проведенной оси, а во-вторых, лежат на одной прямой с точкой М. Отсюда сразу же получаем утверждение задачи.