Разложение функций в ряд Тэйлора.

Формула Тэйлора выглядит следующим образом:

Для разложения какой-либо функции находятся последовательные производные и подставляются в известную формулу.

Отметим также, что каково бы ни было х, остаточный член при

Пример.

Находим последовательные производные.

       Подставляя значения, получаем:

36. Ряд Тэйлора для функций

1.

Находим последовательные производные.

Подставляя выражения в формулу Тэйлора получаем:

Таким образом, взяв достаточное число членов, мы можем вычислить значение функции с любой степенью точности.

2.

Находим последовательные производные.

Подставляя значения, получаем:

3.

Аналогично разложению синуса, получаем:

 

37. Ряд Тэйлора для функций

1.

m – произвольное постоянное число.

Здесь оценка остаточного члена представляет некоторые трудности. Поэтому применим несколько другой способ, нежели для разложения функций синуса и косинуса.

Заметим, что удовлетворяет дифференциальному уравнению  и условию

Найдем степенной ряд, сумма которого удовлетворяет уравнению и условию.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х в разных частях равенства:

Для коэффициентов получаем выражения:

Получаем итоговую формулу:

Если m – целое положительное число, то начиная с определенного члена, все коэффициенты равны нулю и ряд превращается в многочлен.

Если m – дробное или целое отрицательное, имеем бесконечный ряд.

2.

Интегрируя равенство в пределах от 0 до х, получаем:

 или

Это равенство справедливо в интервале

Выведем формулу для выведения натуральных логарифмов любых целых чисел.

Положим, что

Тогда

Полагая  получаем

Итак, подставляя разные значения n, получаем натуральные логарифмы любых чисел.

Пример.

 

Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов. Функция Бесселя.

Пусть требуется найти решение дифференц.уравнения 2го порядка  удовлетворяющее начальным условиям . Допустим, что решение у=f(x) существует и представимо в виде ряда Тейлора:

Нам нужно найти , т.е. значения производных от частного решения при .

Дифференцируя обе части первоначального уравнения по х получаем:  и подставляя значение в правую часть, найдем:

 и  при x=x0.

Для тех значений х, для которых этот ряд сходится, он представляет решение уравнения.

Уравнение Бесселя.

УБ - дифференциальное уравнение вида:

Решение этого уравнения, следует искать не в форме степенного ряда, а в виде произведения некоторой степени х на степенной ряд:

Перепишем выражение в виде  и найдем его производные:

Приравняв коэффициенты при х, получаем систему уравнений. Решив ее, находим  при

Поэтому

Общее решение уравнения

 функция Бесселя первого рода р-го порядка, решение у1,умноженное на некоторую константу.

 функция Бесселя первого рода р-го порядка, решение у2,умноженное на некоторую константу.

При целом положительном  бесселева функция определяется, как

Частное решение ищется в форме

Это есть функции Бесселя второго рода n -го порядка.