Свойства определенного интеграла.

Свойство1. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла: если А= const, то

Доказательство.

Свойство2. Определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых.

Доказательство.

Свойство3. Если на отрезке [ a, b ], где а< b, функции f (x) и j(х) удовлетворяют условию то

Доказательство. Рассмотрим разность

Каждая разность

Сл-но, неотрицательно каждое слагаемое, неотрицательны вся сумма и весь предел.

Свойство4. Если m и М – наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a,b] и то

Доказательство. По условию

Подставляя 2 последние выражения в неравенство получаем исходное неравенство.

Свойство5 (теорема о среднем). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то на этом отрезке найдется такая точка что справедливо равенство:

Доказательство. Пусть a<b, m – наименьшее значение функции, М – наибольшее значение f(x) на отрезке [a,b]. Тогда получаем

 Отсюда где

Так как функция непрерывна на отрезке, то она принимает все промежуточные значения, заключенные между m и М. Следовательно, при некотором значении будет то есть

Примечание автора. Доказательство приведено и в одном из следующих вопросов.

Свойство6. Для любых трех чисел a,b,c справедливо равенство если все эти три интеграла существуют.

Доказательство. Допустим сначала, что и составим интегральную сумму для функции f(x) на отрезке [a,b].

Так как предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения отрезка, будем разбивать отрезок так, чтобы точка с была точкой деления. Тогда

Переходя к пределу при получим исходное соотношение.

Если на основании доказанного или

Поэтому имеем

Аналогично доказывается это свойство при любом взаимном расположении трех точек.

Свойство определенного интеграла – теорема о среднем. Обобщенная теорема о среднем.

Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то на этом отрезке найдется такая точка что справедливо равенство:

Доказательство. Пусть a<b, m – наименьшее значение функции, М – наибольшее значение f(x) на отрезке [a,b]. Тогда получаем

 Отсюда где

Так как функция непрерывна на отрезке, то она принимает все промежуточные значения, заключенные между m и М. Следовательно, при некотором значении будет то есть

Гео метрический смысл теоремы. Величина определенного интеграла при f(x) ³ 0 равна площади прямоугольника, имеющего высоту f (c) и основание (b – a).

Обобщенная теорема о среднем. Если функции f (x) и j (x) непрерывны на отрезке

[ a, b ], и функция j (х) знакопостоянна на нем, то на этом отрезке существует точка

e, такая, что