Первообразная и неопределенный интеграл.

Первообразная и неопределенный интеграл.

Первообразная. Функция F(x) называется первообразной от функции f(x) на отрезке [a,b], если во всех точках выполняется равенство F¢(x) = f(x).

Так как С-произвольная постоянная, у любой функции бесчисленное множество первообразных.

Теорема. Если F₁(x) и F₂(x) – 2 первообразные от функции f(x) на отрезке [a,b], то разность между ними равна постоянному числу.

Доказательство. Пусть F¢₁(x) = f(x) и F¢₂(x) = f(x). Таким образом F¢₁(x) = F¢₂(x). Рассмотрим производную разности

(F₁(x) – F₂(x))¢ = F¢₁(x) - F¢₂(x) = 0.

Производная разности двух функций равна нулю, следовательно, эти функции отличаются друг от друга на константу, ч. т. д.

Следствие. Если для данной функции f(x) найдена какая-нибудь одна первообразная F(x), то любая другая первообразная для f(x) имеет вид F(x)+C.

Неопределенный интеграл. Если функция F(x) является первообразной для f(x), то выражение F(x)+C называется неопределенным интегралом от функции f(x).

Таким образом,

f(x) – подынтегральная функция, f(x) dx – подынтегральное выражение.

Из определения неопределенного интеграла следует:

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. если F ¢ (x) = f (x), то и

2.Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная

с точностью до постоянного слагаемого.

 

Свойства неопределенного интеграла.

Теорема1. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов.

Доказательство. Найдем производные от левой и правой части равенства. Так как они равны, по теореме о том, что любая функция, стоящая в левой части, отличается от любой функции, стоящей в правой части, на постоянное слагаемое.

Теорема2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. если а=const, тогда

Доказательство. Найдем производные от левой и правой частей -

Они равны. Как и в теореме1, разность двух функций – есть постоянная.

___

При вычислении неопределенных интегралов полезно знать следующие правила:

1.

2.

3.

 

Определенный интеграл.

Определенный интеграл. Если при любых разбиениях отрезка [ a, b ] таких, что и при любом выборе точек на отрезках [хi-1, xi] интегральная сумма стремится к одному и тому же пределу S, то этот предел называют определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [ a, b ] и обозначают

Число а – нижний предел, число b – верхний предел. Отрезок [a,b] – отрезок интегрирования, х – переменная интегрирования.

Функция называется интегрируемой на отрезке [a,b], если для функции f(x) существует предел

Если построить график подынтегральной функции y=f(x), то в случае интеграл будет численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х=а, х=b и осью Ох. В этом и заключается геометрический смысл.

Примечание автора. Обязательна графическая иллюстрация.

Формула Ньютона-Лейбница.

Примечание автора. Необходимо отметить, что ни у Ньютона, ни у Лейбница не было такой формулы в точном виде. Важно именно то, что именно Лейбниц и Ньютон впервые установили связь между интегрированием и дифференцированием, позволяющую создать правило для вычисления определенных интегралов.

Доказательство. Пусть F(x) – некоторая первообразная от f(x). Функция есть также первообразная от f(x). Две любые первообразные от данной функции отличаются на константу С. Тогда получаем

Это равенство при соответствующем выборе С* справедливо при всех значениях х, т.е. является тождеством. Для определения постоянного С* положим в этом тождестве х=а, тогда

Следовательно, Полагая х=b, получаем формулу Ньютона-Лейбница.

Также отметим, что разность не зависит от выбора первообразной F, так как константа при вычитании все равно уничтожается.

Интеграл ошибок.

Интеграл определяется формулой:

Укажем некоторые свойства функции Ф(х):

1.Функция определена при всех значениях х.

2. Ф(0)=0.

3.

4. Функция монотонно возрастает на

5. Функция нечетная,

График функции.

Примечание автора. Обязательна графическая иллюстрация.

 

 

Составлены подробные таблицы значений этой функции.

Интегральный логарифм.

Специальная функция, определяемая интегралом Этот интеграл не выражается в конечной форме через элементарные функции. Если то интеграл понимается в смысле

Он был введен в матем. анализ Эйлером.

Известно, что для больших положительных функций, растет как

Формула прямоугольников

Дана непрерывная функция на отрезке [a,b]. Требуется вычислить определенный интеграл Разделим отрезок на n равных частей длины точками Обозначим через значения f(x) в этих точках,т.е.

Составим суммы:

Каждая из этих сумм – интегральная сумма для f(x) на отрезке [a,b] и поэтому приближенно вычисляет интеграл.

или

Суть метода прямоугольников для отрезка [a,b] проиллюстрирована на рисунке, при этом площадь под кривой f(x) заменена суммой площадей заштрихованных прямоугольников.

Примечание. Чем больше число шагов n, тем незначительнее ошибка при вычислении интеграла.

 

Формула трапеций.

Эта формула является более точной по сравнению с формулой прямоугольников, что объясняется заменой ступенчатой линии на вписанную ломаную.

 

 

               y₁  у₂                                у_n

 

              a         x₁ x₂     b                          x

 

Геометрически площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей вписанных трапеций.

Площади вписанных трапеций вычисляются по формулам:

После приведения подобных слагаемых получаем формулу трапеций:

Число n выбирается произвольно. Чем больше оно будет, тем меньше будет шаг тем с большей точностью вычисляется значение интеграла.

 

Выбор числа шагов при заданной точности.

Вычислить приближенное значение с заданной точностью означает, что выполняется неравенство: - приближенное значение, - заданная погрешность.

При вычислениях интеграла погрешность учитывается следующим образом: М – наибольшее значение модуля второй производной на заданном отрезке.  

 

 

Методы рационализации.

Подстановка Эйлера.

Рассмотрим интеграл  где .Такой интеграл приводится к интегралу от рациональной функции нового переменного с помощью следующих подстановок Эйлера.

Первая подстановка Эйлера.

Если a>0, то полагаем:

 Возьмем для определенности знак +. Получаем , откуда

, т.е. оказывается рациональной функцией от t. Так как ,x,dx выражаются рационально через t,то преобразуется в интеграл от рациональной функции от t.

Вторая подстановка Эйлера.

Если с>0, то полагаем:  Берем для определенности знак +. . Отсюда .Т.к. dx и тоже выражаются рационально через t то, подставляя значения х,  и dx в интеграл мы сведем его к интегралу от рациональной функции от t.

Третья подстановка Эйлера.

Пусть и  – действительные корни трехчлена .Полагаем: =  Так как = ,то  Отсюда .Т.к. dx и  тоже рационально зависят от t, то данный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции от t.

Замечание1. Третья подстановка Э.применима не только при а<0,но и при a>0-лишь бы многочлен имел 2 действительных корня.

Замечание 2. Заметим, что для приведения интеграла к интегралу от рациональной функции достаточно первой и третьей подстановок Э. Рассмотрим трехчлен .Если ,то корни трехчлена действительны, и применима 3 подстановка Эйлера. Если , то в этом случае и, трехчлен имеет знак, совпадающий со знаком a. Чтобы  был действительным, нужно, чтобы 3член был положительным, a>0.В этом случае применима первая подстановка.

 

Гамма-функция.

Определение. Функция на промежутке

Интеграл, определяющий гамма-функцию, несобственный по бесконечному промежутку. При подынтегральная функция терпит разрыв при

Теорема. Гамма-функция определена и непрерывна для любых

Доказательство. Разобьем интеграл на сумму двух интегралов:

Рассмотрим Для любого существует что Тогда для любого  и для любого x из окрестности выполняется неравенство

Функция интегрируема на этом отрезке. Следовательно, для любого  интеграл сходится и функция  непрерывна при любом

Рассмотрим Из формулы Тэйлора с остаточным членом в форме Лагранжа:

При  для любого  Подберем n так, чтобы  Значит при справедливо неравенство

Функция  интегрируема на отрезке. Следовательно, при любом интеграл сходится и функция непрерывна при любом

____

Имеют место следующие утверждения:

1. При любом неотрицательном х

Доказывается интегрированием по частям.

2.

3. При любом натуральном n

4.

Теорема (признак Коши).

Теорема. Если в ряде с положительными членами величина  имеет предел при , т.е. то:

1. ряд сходится, при l<1,

2. ряд расходится при l>1.

Доказательство. 1. Пусть l <1. Рассмотрим q, при котором

Начиная с некоторого N () выполняется неравенство

Отсюда следует, что или для всех

Рассмотрим 2 ряда:

Второй ряд сходится, так как его члены образуют убывающую геометрическую прогрессию.

2. Пусть l >1. С некоторого n = N будет иметь место неравенство или

Ряд расходится, так как его общий член не стремится к нулю (все члены больше 1).

Замечание. Как и в признаке Даламбера случай требует дополнительного исследования. Среди рядов, удовлетворяющих этому условию, могут встретиться как сходящиеся, так и расходящиеся ряды.

 

27. Теорема (признак Даламбера).

Теорема. Если в ряде с положительными членами отношение последующего члена к предыдущему при имеет предел, т.е. то:

1.ряд сходится, при l<1,

2. ряд расходится при l>1,

3. теорема не дает ответа при l=1.

Доказательство. 1. Пусть l <1. Рассмотрим q, при котором

Начиная с некоторого N () выполняется неравенство

Действительно, так как величина стремится к то разность между ними равняется

Начиная с любого N, получаем систему неравенств:

Складывая таким образом члены последовательности, приходим к выводу, что перед нами геометрическая прогрессия со знаменателем

2. Пусть l >1. Из равенства следует, что при будет иметь место неравенство Это означает, что члены ряда возрастают, поэтому ряд расходится.

Замечание1. Ряд будет расходиться и том случае, когда Это следует из неравенства

Замечание2. Если но отношение то  Ряд расходится.

 

Доказательство.

Примечание автора. Необходимы 2 графические иллюстрации.

Из первого графика очевидно

Из второго - откуда

Рассмотрим первый случай (сходится). Предположим, что интеграл сходится , то есть имеет конечное значение. Частичная сумма остается ограниченной при всех значениях n. Но при увеличении n она возрастает, так как все члены положительны. Следовательно, ряд сходится.

Рассмотрим второй случай (расходится). Предположим, что Это значит, что при возрастании n неограниченно возрастает интеграл Тогда в силу неограниченно возрастает. Следовательно, ряд расходится.

Замечание. Ни признак Даламбера, ни признак Коши не решают вопроса о сходимости этого ряда, так как предел равен единице.

 

Степенные ряды.

Определение. Степенной ряд – функциональный ряд вида

где - постоянные числа (коэффициенты ряда).

Область сходимости степенного ряда всегда является некоторый интервал, который, в частности, может вырождаться в точку.

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится (расходится) при некотором значении то он абсолютно сходится (расходится) при всяком значении х, для которого

Доказательство. Так как, по предположению, числовой ряд сходится то общий член при Это значит, что существует такое положительное число М, что все члены по абсолютной величине меньше М.

Перепишем ряд в следующем виде:

Рассмотрим ряд из абсолютных величин его членов:

Члены этого ряда меньше соответствующих членов ряда

При последний ряд представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем и, следовательно, сходится. Отсюда сходится и

Это значит, что ряды  и сходятся абсолютно.

___

Нетрудно будет доказать и второй случай (когда ряд расходящийся).

Доказательство. Пусть в некоторой точке ряд  расходится. Тогда он будет расходиться в любой точке, удовлетворяющей условию

___

Теорема Абеля позволяет судить о расположении точек сходимости и расходимости степенного ряда. Если - точка сходимости, то весь интервал заполнен точками абсолютной сходимости и наоборот.

 

Теорема (о строении области сходимости степенного ряда). Областью сходимости степенного ряда является интервал с центром в начале координат.

Определение. Интервал сходимости степенного ряда – интервал от –R до +R, что для всякой точки х, лежащей внутри, ряд сходится, и притом абсолютно, а для точек вне интервала – ряд расходится. Число R – радиус сходимости ряда.

Отметим, что у некоторых рядом интервал сходимости вырождается в точку (R=0), у других охватывает всю ось Ох

Теорема. Степенной ряд мажорируем на любом отрезке целиком лежащем внутри интервала сходимости.

Определение. Ряд называется мажорируемым, если каждый его член по абсолютной величине не больше соотвествующего члена некоторого сходящегося числового ряда с положительными членами.

Доказательство. По условию а потому ряд (с положительными членами) сходится. Но при члены ряда по абсолютной величине не больше соответствующих членов ряда

Следовательно, ряд мажорируем на отрезке

Следствие1. На всяком отрезке, целиком лежащем внутри интервала сходимости, сумма степенного ряда есть непрерывная функция.

Это связано с тем, что члены ряда – непрерывные функции от х. Тогда и сумма этого ряда есть непрерывная функция.

Следствие2. Если пределы интегрирования лежат внутри интервала сходимости, то интеграл от суммы ряда равен сумме интегралов от членов ряда. Так как область интегрирования можно заключить в отрезок

 

Признак Коши.

1Определим К.

2Выберем q.

3Возьмем минимальное  Для любого n

4Определим минимальное m (натуральное), чтобы

5Возьмем

Сумма n0 членов даст сумму ряда с точностью

Признак Даламбера.

1Определим D.

2Выберем q.

3Возьмем минимальное  Для любого

4Определим минимальное m (натуральное), чтобы

5Возьмем

Сумма n0 членов даст сумму ряда с точностью

P. S. В методическом пособии по курсу «мат. анализ» рассмотрены только эти 2 способа.

 

 

Уравнение Бесселя.

УБ - дифференциальное уравнение вида:

Решение этого уравнения, следует искать не в форме степенного ряда, а в виде произведения некоторой степени х на степенной ряд:

Перепишем выражение в виде  и найдем его производные:

Приравняв коэффициенты при х, получаем систему уравнений. Решив ее, находим  при

Поэтому

Общее решение уравнения

 функция Бесселя первого рода р-го порядка, решение у1,умноженное на некоторую константу.

 функция Бесселя первого рода р-го порядка, решение у2,умноженное на некоторую константу.

При целом положительном  бесселева функция определяется, как

Частное решение ищется в форме

Это есть функции Бесселя второго рода n -го порядка.

Первообразная и неопределенный интеграл.

Первообразная. Функция F(x) называется первообразной от функции f(x) на отрезке [a,b], если во всех точках выполняется равенство F¢(x) = f(x).

Так как С-произвольная постоянная, у любой функции бесчисленное множество первообразных.

Теорема. Если F₁(x) и F₂(x) – 2 первообразные от функции f(x) на отрезке [a,b], то разность между ними равна постоянному числу.

Доказательство. Пусть F¢₁(x) = f(x) и F¢₂(x) = f(x). Таким образом F¢₁(x) = F¢₂(x). Рассмотрим производную разности

(F₁(x) – F₂(x))¢ = F¢₁(x) - F¢₂(x) = 0.

Производная разности двух функций равна нулю, следовательно, эти функции отличаются друг от друга на константу, ч. т. д.

Следствие. Если для данной функции f(x) найдена какая-нибудь одна первообразная F(x), то любая другая первообразная для f(x) имеет вид F(x)+C.

Неопределенный интеграл. Если функция F(x) является первообразной для f(x), то выражение F(x)+C называется неопределенным интегралом от функции f(x).

Таким образом,

f(x) – подынтегральная функция, f(x) dx – подынтегральное выражение.

Из определения неопределенного интеграла следует:

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. если F ¢ (x) = f (x), то и

2.Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная

с точностью до постоянного слагаемого.