Интеграл, зависящий от параметра.

Определение. Функция называется интегралом, зависящим от параметра  

При изменении параметра меняется значение интеграла. Это и доказывает, что интеграл, зависящий от параметра – функция.

Доказательство. Предположим, что и есть непрерывные функции. Найдем производную по параметру х.

А это и есть

Или все это можно представить в другой форме – формула Лейбница  

Гамма-функция.

Определение. Функция на промежутке

Интеграл, определяющий гамма-функцию, несобственный по бесконечному промежутку. При подынтегральная функция терпит разрыв при

Теорема. Гамма-функция определена и непрерывна для любых

Доказательство. Разобьем интеграл на сумму двух интегралов:

Рассмотрим Для любого существует что Тогда для любого  и для любого x из окрестности выполняется неравенство

Функция интегрируема на этом отрезке. Следовательно, для любого  интеграл сходится и функция  непрерывна при любом

Рассмотрим Из формулы Тэйлора с остаточным членом в форме Лагранжа:

При  для любого  Подберем n так, чтобы  Значит при справедливо неравенство

Функция  интегрируема на отрезке. Следовательно, при любом интеграл сходится и функция непрерывна при любом

____

Имеют место следующие утверждения:

1. При любом неотрицательном х

Доказывается интегрированием по частям.

2.

3. При любом натуральном n

4.

Нахождение площади в декартовых координатах.

Если на отрезке [ a, b ] функция то площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой осью Ох и прямыми х=а, х=b.  

Если

Если функция меняет знак на отрезке, то интеграл по всему отрезку разбиваем на сумму интегралов по частичным отрезкам.

Примечание автора. Обязательны 2 графические иллюстрации.

Если нужно вычислить площадь области, ограниченной кривыми х=а, х= b, будем иметь:  

Кривая может быть задана уравнениями в параметрической форме

Нахождение площади в полярных координатах.

Площадь криволинейного сектора, ограниченного лучами графиком функции

Примечание автора. Обязательна графическая иллюстрация.

 

Нахождение объема тела вращения.

Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг Ох криволинейной трапеции, ограниченной кривой осью Ох и прямыми

В этом случае сечение тела плоскостью, перперндикулярной к оси абсцисс, есть круг.

Таким образом, применяя общую формулу для вычисления объема тела вращения получаем:   

Примечание автора. Обязательна графическая иллюстрация.

Нахождение длины дуги в декартовых и поляных координатах.