Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ:  Археология Биология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия ЭкологияТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву 
Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта⇐ ПредыдущаяСтр 11 из 11
С помощью подстановки у' = z, у'' = z ' заменим исходное дифференциальное уравнение системой уравнений: с начальными условиями у (0) = 1, z (0) = 1. Таким образом,
f 1(x, y, z) = z, f 2(x, y, z)= 3 z –2 y + x.
Шагом интегрирования h = 0,1 разобьем отрезок [0;0,3] на три равных части точками х 0= 0, х 1= 0,1, х 2 = 0,2, х 3 = 0,3. Для вычисления приближенных значений у 1, у 2, у 3 и z 1, z 2, z 3 решения системы (**) воспользуемся формулами (10.17). Результаты вычислений помещены в табл.11. Заполнение таблицы ведется в следующем порядке. При i = 0:
1. Записываем в первой строке х 0 = 0, у 0 = 1, z 0 = 1. 2. Вычисляем f 1(x 0, y 0, z 0)= z 0 = 1, f 2(x 0, y 0, z 0) = 3 z 0 –2 y 0 + x 0 = 1, тогда К 1(0) = 0,1∙1 = 0,1; l 1(0) = 0,1∙1 = 0,1. 3. Записываем во второй строке
4. Вычисляем
тогда 5. Записываем в третьей строке
6. Вычисляем
тогда 7. Записываем в четвертой строке
8. Вычисляем
тогда 9. В столбцы 10. Вычислим
11. Получаем Значения
Таблица 11
Аналитические решения заданного уравнения Дано у'' – 3 у' + 2 у = х, у (0) = у' (0) = 1. (***)
Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Найдем общее решение уон этого уравнения, которое равно сумме какого-либо частного решения учн неоднородного уравнения и общего решения у∞ соответствующего однородного уравнения
уон = у∞ + учн.
Запишем соответствующее однородное уравнение
у'' – 3 у' + 2 у = 0,
его характеристическое уравнение k 2 – 3 k + 2 = 0 имеет корни k 1 = 2, k 2 = 1. Поэтому у∞ = с 1 е 2 х + с 2 е 2 х .
Для определения частного решения неоднородного уравнения (***) воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Так как правая часть уравнения (***) является многочленом первой степени и число ά + β i = 0 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение имеет вид: учн = Ах + В. Чтобы определить значения коэффициентов А и В, находим производные
учн = А, учн = 0,
подставляем учн, учн, учн в уравнение (19)
-3 А +2 Ах + 2 В = х
и, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему
из которой находим
Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, для чего продифференцируем общее решение и подставим начальные условия в общее решение и его производную, в результате получим систему
решая которую, найдем
3. Сравним значения точного и приближенного решений заданного уравнения в точках х1, х2, х3. Это сравнение дано в табл.12. Таблица 12
ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Задание 1 Решить приближенно методом итерации и методом Зейделя. Сравнить ответы. Варианты задания:
Примечание. Для лучшей сходимости итерационного процесса необходимо преобразовать уравнения, выделив наибольшие диагональные элементы при неизвестных. Для этого необходимо или переобозначить неизвестные (циклическая перестановка) или переставить уравнения.
Задание 2 Решить систему линейных уравнений Варианты задания:
Задание 3 Найти все действительные корни уравнения
Варианты задания:
Задание 4 Построить кубическую сплайн-функцию для функции Варианты задания:
Задание 5
Вычислить приближенно
Варианты задания
Задание 6 Численно решить дифференциальное уравнение у' = f (x, y) с начальным условием у 0 = у (х 0) на отрезке [ x 0, b ] с шагом h = 0,2 методом Эйлера, модифицированным методом Эйлера и методом Рунге-Кутта. Найти аналитическое решение у = у (х) заданного уравнения и сравнить значения точного и приближенных решений в точке x = b. Вычислить абсолютную и относительную погрешности в этой точке для каждого метода. Вычисления вести с четырьмя десятичными знаками.
Варианты задания
Задание 7 Методом Рунге-Кутта найти с точностью до ε = 10-3 решение дифференциального уравнения у = f (x, y) с начальным условием у (0) = 0 на отрезке [0;0,2].
Варианты задания
Задание 8 Методом Рунге-Кутта найти решение дифференциального уравнения y '' = f (x, y, z) c начальными условиями у (х 0) = у 0, Варианты задания
Задача для самостоятельного решения
Применяя метод сеток с шагом τ = h = π /18, найти решение уравнения Uxx = Utt; 0 ≤ x ≤ x; t ≥ 0, удовлетворяющее граничным (ГУ) U (0, t) = U (x, t) = 0 и начальным (НУ) U (x, 0) = x · (π - x); Ut (x, 0) = 0 условиямна первых трех временных уровнях. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ ПОДГОТОВКИ 1. Что является источниками погрешностей при численных вычислениях? 2. Назовите три основных группы погрешностей. 3. Что должен делать вычислитель при работе с приближенными величинами? 4. Основные трудности вычислений на компьютере? 5. Основные понятия о системе линейных уравнений? 6. Матричная запись систем линейных уравнений. 7. Что называется решением системы линейных алгебраических уравнений? 8. Записать решение системы линейных уравнений в матричной форме. 9. Формулы Крамера для решения системы линейных уравнений. 10. Какими элементарными преобразованиями пользуются при решении системы линейных уравнений метода Гаусса? 11. В чем заключается метод Гаусса? 12. Что называется пределом последовательности векторов? 13. Что называется пределом последовательности квадратных матриц? 14. Что является решением системы линейных алгебраических уравнений приближенными методами?
15. Какие приближенные методы вы знаете? 16. Что называется системой линейных уравнений приведенной к нормальному виду? 17. Что такое итерационный процесс? 18. Что принимается за нулевое приближение в методе простой итерации? 19. Условия сходимости итерационного процесса.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Последнее изменение этой страницы: 2021-08-16; просмотров: 123; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.145.105.108 (0.102 с.) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(**)
, 
, 
.
.
, 
.
,
.
, 
, 
.
и 
записываем числа K 1(0), 2 K 2(0), 2 K 3(0), K 4(0) и 
соответственно.
заносим в строку, помеченную индексом i = 1, и снова проводим вычисления по формулам (10.17). В результате этих вычислений получаем следующую таблицу приближенных значений решения системы (**).
. Следовательно, 
и
.Таким образом, получили аналитическое решение заданного уравнения, удовлетворяющего данным начальным условиям
- абсолютная погрешность
, заданную в матричной форме, методом итерации, предварительно найдя значения неизвестных одним из прямых методов.
с точностью 
комбинированным методом и методом итерации. Сравнить число шагов, необходимое для достижения одинаковой точности этими методами. Вычисления вести с одним запасным знаком.
, заданной таблично на отрезке 
.
с точностью ε = 10- 3, воспользовавшись той из формул приближенного интегрирования, которая потребует меньшего объема вычислений. Вычислить определенный интеграл точно и сравнить с приближенным его значением.
[1,2]
на отрезке [0;0,3] и с шагом h = 0,1. Найти аналитическое решение у (х) = у заданного уравнения и составить таблицу точного и приближенного решений заданного уравнения во всех точках х 1, х 2, х 3. Все вычисления вести с шестью десятичными знаками.
(0)=1
