Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Формулы Крамера для решения системы линейных уравнений
Пусть дана система линейных уравнений (для простоты возьмем систему 4-го порядка) (2.1)
Введем специальные обозначения, где D – определитель системы
; ; ; ; (2.2) .
Если D ¹ 0, то система является определенной, т.е. имеет единственное решение в виде соотношений, которые и называются формулами Крамера
; ; ; , (2.3)
2.2. Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса)
Элементарными преобразованиями называются следующие 3 типа преобразований: 1. Перестановка двух уравнений системы. 2. Умножение обеих частей уравнений системы на любое число неравное нулю. 3. Прибавление (вычитание) к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое число, отличное от нуля. Пусть дана система
(2.4)
Будем исключать неизвестное x 1 из всех уравнений системы (2.4), кроме первого. Назовем x 1 – ведущим неизвестным, а коэффициент a 11 – ведущим коэффициентом. Разделив первое уравнение на a 11 (это возможно если a 11 ¹ 0), получим:
. Обозначим
; ; ; ; и вообще
, (j > 0), тогда
или
. (2.5)
Дальнейшее решение системы уравнений (2.4) методом Гаусса представляет собой ряд последовательных шагов: 1. Для исключения неизвестного вычтем из второго уравнения системы (2.4) уравнение (2.5), умноженное на a 21:
− ___________________________________________________________
Обозначим
.
Перепишем полученное уравнение в виде
.
2. Из третьего уравнения системы (2.4) вычтем уравнение (2.5) умноженное на – ________________________________________________________
Обозначим .
Перепишем полученное уравнение в виде
.
3. Из четвертого уравнения системы (2.4) вычитаем уравнение (2.5), умноженное на . Применив аналогичные преобразования, получим следующее уравнение: ,
где .
В результате элементарных преобразований имеем систему 3-х уравнений с тремя неизвестными, эквивалентную системе (2.4):
(2.6) ,
где коэффициент вычисляется по формуле
.
Разделив далее коэффициент первого уравнения системы (2.4) на ведущий коэффициент , получим первое уравнение системы в виде:
,
обозначим , где j > 2, тогда первое уравнение системы (2.4) примет вид:
или
.
Исключая теперь из всех уравнений системы (2.4), кроме первого, мы получим систему двух уравнений с двумя неизвестными:
, (2.7)
где , . Разделив коэффициенты первого уравнения системы (2.7) на ведущий коэффициент и ведущий коэффициент получим
, (2.8) где , j > 3, то есть .
Исключив теперь х 3, аналогичным путем из системы (2.8), находим:
, (2.9) где
, ; отсюда
. (2.10)
Остальные неизвестные системы последовательно определяются из уравнений (2.5, 2.8, 2.9, 2.10):
; ; ; .
Таким образом, процесс решения системы линейных уравнений по методу Гаусса сводится к построению эквивалентной системы уравнений (2.5, 2.8, 2.9, 2.10, …). Метод Гаусса применим при условии, что все ведущие коэффициенты отличны от нуля. Для удовлетворения данных условий вычисления проводятся по схеме единственного деления.
ЛЕКЦИЯ 3. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ Приближенные методы решения систем линейных уравнений позволяют получать значения корней системы с заданной точностью в виде предела последовательности некоторых векторов. Процесс повторения такой последовательности называется итерационным (повторяющимся). Эффективность применения приближенных методов зависит от удачного выбора начального вектора и быстроты сходимости процесса. Мы рассмотрим два метода - метод последовательных приближений и метод Зейделя.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-08-16; просмотров: 71; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.135.217.228 (0.017 с.) |