Оценка погрешности приближенного процесса методом итерации

 

Если задана допустимая погрешность вычислений  и Х _i – вектор точных значений неизвестных линейной системы, а Х _i ^{( k )} – есть k приближение значений неизвестных, вычисленное методом итераций, то для оценки погрешности || Х _i - Х _i ^{( k )}|| £   метода применяется формула

 

                                .                            (3.8)

 

где || a || – одна из трех норм матрицы a, || b || – та же норма вектора b,    а k – число итераций, необходимое для достижения заданной точности.

При этом предполагается, что последовательное приближение Х _i ^{( j )} (где   j = 0, 1, 2, 3, …, k;   i = 1, 2, …, n) вычисляется точно, в нем отсутствуют погрешности округления.

 

Пример.  Методом последовательного приближения решить систему

 

1. Приведем данную систему к нормальному виду

 

 

;  .

 

2. Строим последовательные приближения.

 

Нулевое:

.                 

Первое:

 

.

 

 

Второе:

 

.

 

 

Третье:

.

 

С точностью 10^-1 получаем х ₁ = 3, х ₂ = 1, х ₃ = 1.

Итерационный процесс сходится, т.к.

 

;

 

 .

        Процесс итераций заведомо сходится, если элементы матрицы a удовлетворяют неравенству | a _ij | < 1/ n, где n - число неизвестных данной системы.

В нашем примере n = 3, | a _ji | < 1/3. Используя норму ,

|| a || ₂ = max (0,4; 0,325; 0,325)=0,421.

Соответствующая матрица || b ||₂ = (3,25 + 1,4 + 1,4) = 6,05.

Применяя формулу

 

при ε =10^-4, получим

 .

или ,  значит    итераций.

 

ЛЕКЦИЯ 4. МЕТОД ЗЕЙДЕЛЯ

 

Условия сходимости процесса Зейделя

 

Метод Зейделя представляет собой некоторую модификацию метода последовательных приближений. В методе Зейделя при вычислении (k + 1) приближения неизвестного x_i учитываются уже найденные ранее (k + 1) приближение неизвестных.

Пусть дана линейная система

                           (4.1)

Выбираем произвольно начальное приближение корней  и подставляем в первое уравнение системы (4.1)

 ,

полученное первое приближение подставляем во второе:

.

Полученные первые приближения х ₁⁽¹⁾ и х ₂⁽¹⁾ подставляем в третье уравнение системы (4.1)

и т. д.

.

Аналогично строим вторые и третьи итерации.

Таким образом, предполагая, что k приближение корней х ^k _i  известно, по методу Зейделя строим (k + 1) приближение

где k = 0, 1, 2, …, n.

 

 

Пример. Методом Зейделя решим систему:

1. Приведем систему к нормальному виду:

2. За нулевые значения возьмем соответствующие значения свободных членов

.

3. Строим итерации по методу Зейделя

 

Второе приближение

 

И т.д.

 

№ итерации
0	0,19	0,97	-0,14
1	0,2207	1,0703	-0,1915
2	0,2354	1,0988	-0,2118
3	0,2424	1,1088	-0,2196
4	0,2454	1,1124	-0,2226
5	0,2467	1,1138	-0,2237
6	0,2472	1,1143	-0,2241
7	0,2474	1,1145	-0,2243
8	0,2475	1,1145	-0,2243

 

Построенный процесс заканчивается, когда с заданной степенью точности получаем одинаковые значения в двух итерациях подряд.

 

;

 

Процесс Зейделя для линейной системы Х = b + a Х также, так и процесс последовательных приближений, сходится к единственному решению при любом выборе начального приближения, если какая-нибудь из норм матрицы a меньше единицы. То есть

либо

,

либо

.

 

Процесс Зейделя сходится к единственному решению быстрее процесса простой итерации.