Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ:  Археология Биология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия ЭкологияТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву 
Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Решение уравнения методом Рунге-Кутта
Приведем сначала удобную схему вычислений по методу Рунге-Кутта, сведя ее в табл.4, и опишем порядок заполнения этой таблицы. Схема метода Рунге-Кутта: Таблица 4
Порядок заполнения таблицы
1. Записываем в первой строке таблицы данные значения х 0 ,у 0. 2. Вычисляем f (х 0 ,у 0), умножаем на h и заносим в таблицу в качестве K 1(0). 3. Записываем во второй строке таблицы 4. Вычисляем 5. Записываем в третьей строке таблицы 6. Вычисляем 7. Записываем в четвертой строке таблицы х 0 + h, у 0 + K 3(0). 8. Вычисляем 9. В столбец Δ у записываем числа K 1(0), 2 K 2 (0), 2 K 3(0), K 4(0). 10. Суммируем числа, стоящие в столбце Δ у, делим на 6 и заносим в таблицу в качестве Δ у 0. 11. Вычисляем у 1 = у 0 + Δ у 0. Затем все вычисления повторяются в том же порядке, принимая за начальную точку (х 1, у 1). Заметим, что если f (x, y) являются достаточно сложной функцией, то рекомендуется вычисление правой части дифференциального уравнения включать в табл.4 или, если эти вычисления громоздки, записывать их в отдельную таблицу. Итак, решим исходное уравнение методом Рунге-Кутта. Приближенные значения у 1, у 2 ,..,у 5решения этого уравнения будем вычислять по формулам (10.14)–(10.16), где При i = 0. 1. Записываем в первой строке х 0 = 0,0, у 0 = 1,0000. 2. Вычисляем f (х 0 ,у 0) = 1,0000; тогда K 1(0) = 0,2 ∙1,0000 = 0,2000. 3. Записываем во второй строке 4. Вычисляем 5. Записываем в третьей строке 6. Вычисляем 7. Записываем в четвертой строке х 0 + h = 0,2; у 0 + K 3(0) = 1,1817. 8. Вычисляем f (х 0+ h, у 0+ K 3(0)) = 0,8432; тогда K 4(0) = 0,1686. 9. В столбец Δ у записываем числа K 1(0), 2 K 2 (0), 2 K 3(0), K 4(0). 10. Вычисляем 11. Получаем у 1 = у 0 + Δ у 0 = 1,1832. Таблица 5
Значения х 1 = 0,1, у 1 = 1,1832 заносим в строку, помеченную индексом i = 1, и снова проводим вычисления по формулам (10.14)–(10.16).
Аналитическое решение заданного уравнения Уравнение у' – у = -2ху -1 есть уравнение Бернулли. Проинтегрируем его методом Бернулли, для чего положим у = uv, где u и v две неизвестные функции. Тогда исходное уравнение преобразуется к следующему:
u ' v – v ' u – uv = -2 x (uv) -1
или u(v'–v)+ u'v = -2x(uv) -1. (*)
Функцию v выберем из условия v' – v = 0, причем возьмем частное решение этого дифференциального уравнения v = е х. Подставив v в уравнение (*), получаем u' ех = -2хu -1 е -х, а это – уравнение с разделяющими переменными. Решая его, находим u2 = с + 2хе -2х + е- 2х. Так как решение исходного уравнения есть произведения функций u и v, то получаем При начальном условии у (0) = 1 получим
Таким образом, искомое частное решение имеет вид
Сравнение точного решения и приближенных решений исходного дифференциального уравнения Таблица 6
Контрольная работа №7 Пусть дано:
Для выбора шага интегрирования вычислим решение в точке х = 0,1 с шагом h = 0,1(табл.7) и с шагом h = 0,05 (табл.8). Таблица 7
В таблицах
Таблица 8
Так как полученные результаты совпадают в пределах заданной точности, вычисления продолжим с шагом h = 0,1 и с шагом h = 0,2. Результаты вычислений помещены в табл.9 и табл.10 соответственно.
Таблица 9
Таблица 10
Сравнение результатов расчета, полученных с шагом h = 0,1 и с шагом h = 0,2, показывает, что с точностью до ε = 10-3 можно принять у (0,2) ≈ 0,014158 и что в дальнейшем шаг расчета следовало бы снова удвоить.
Контрольная работа №8 Пусть дано:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Последнее изменение этой страницы: 2021-08-16; просмотров: 72; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.138.85.238 (0.02 с.) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
, 
.
, умножаем на h и заносим в таблицу в качестве K 2 (0).
.
, умножаем на h и заносим в таблицу в качестве K 3(0).
, умножаем на h и заносим в таблицу в качестве K 4(0).
, в порядке, указанном в приведенной выше схеме. Результаты вычислений помещаем в табл.5, заполняя ее в указанном выше порядке.
, 
= 0,9182; тогда K 2 (0) = 0,1836.
.
= 0,1832.
.
.
.
; у (0) = 0; x 
[0,0,2]; 
.
.
; у (0) = у' (0) = 1; [0;0,3]; h = 0,1.
