Фільтрація рідин. Закон Дарсі.

Фільтрація рідин - це рух рідин у пористих середовищах.

Прикладами фільтрації є рух ґрунтових і міжпластових вод, рух води через фільтри при її очищенні на очисних спорудах, рух масел у фільтрах машин і механізмів.

Фільтраційний рух рідин може бути напірним і безнапірним.   

Рис.1.71. Схема затопленого гідравлічного стрибка.

Поверхня безнапірного фільтраційного потоку називається депресійною поверхнею, а крива лінія її перерізу вертикальною площиною називається кривою депресії (рис. 1.72).

При фільтрації рідини через пористе тіло власне рідина рухається через пори (порожнини), які мають місце між частками пористого середовища.

Пористе середовище характеризується коефіцієнтом пористості р, який визначається залежністю

p = ,                     (1.303)

де W _пор - об'єм пор;   W -  загальний об'єм пористого середовища.

Чим менші зерна пористого середовища, тим коефіцієнт пористості більше: так, для піску з част ками діаметром біля 1 мм р= 0,3, а для глини (частки менші) р = 0,5.

 

 

Рис.1.72. Схема фільтрації води через тіло земляної греблі:

РВБ – рівень верхнього б’єфа;

1 – гребля;

2 – крива дисперсії;

3 – дренажна призма.

Швидкість руху рідини в порах фільтраційного середовища (наприклад грунту) визначається залежністю

V _п = , (1.304)

де Q - витрата фільтраційного потоку; ω _п - площа пор у перерізі фільтраційного потоку.

У практичних розрахунках користуються умовною швидкістю V _ум, яка визначається залежністю

V_ум= ,                    (1.305)

де ω - загальна площа перерізу фільтраційного потоку.

Отже,

V = pV _п.                   (1.306)

Оскільки р< 1, то швидкість фільтрації завжди менше швидкості руху рідини в порах грунту.

Досліди, які були проведені французьким ученим-гідравліком Дарсі (1856р.) з піском і глиною, дозволили встановити, що швидкість фільтрації в умовах сталого руху описується залежністю, яка називається формулою Дарсі й має вигляд

V = K _ф I,                     (1.307)

де К_ф - коефіцієнт фільтрації, який залежить від виду середовища і температури рідини, наводиться в довідковій літературі.

Наприклад, К_{ф піску} =0,1...0,01 см/с; К_{ф глини} = 0,00001 см/с; I - гідравлічний (п'єзометричний) похил, який показує втрати напору на шляху фільтрації рідини, тобто I = h в/ l, де h в - втрата напору, l – довжина (шлях), на якому відбувається фільтрація.

Витрата фільтраційного потоку визначається залежністю

Q = К_фω I,                 (1.308)

де ω - площа поперечного перерізу фільтраційного потоку.

При турбулентній фільтрації швидкість фільтраційного потоку визначається залежністю

V = K _ф I^m,               (1.309)

де т - показник степеня, m = 0,5... 1.

Границі застосування формул Дарсі недостатньо вивчені. Але вважається, що при R_e = Vd / ν < 1...7 фільтрація ламінарна, а при R _е > 7 - турбулентна. Тут d - середній діаметр часток фунту.

Коефіцієнт фільтрації К_ф - це швидкість фільтрації рідини при похилі, який дорівнює одиниці, тобто І =1, має розмірність швидкості і визначається дослідним шляхом на установці Дарсі (рис. 1.73).

 

 

Рис.1.73. Схема установки Дарсі:

1 – завантажувальна ємкість; 2 – п’єзометри; 3 – вимірювальна посудина.

 

Коефіцієнт фільтрації при цьому визначається за формулою

K _ф = ,       (1.310)

де Q - витрата, Q = W / t, де W - об'єм рідини, яка надійшла в мірну посудину протягом часу t; ω - площа перерізу завантажувальної ємкості (для круглої ємкості ω=π d ² /4); I - гідравлічний похил, I = h в/ L, де h в - втрати напору, L — відстань між точками приєднання п'єзометрів.

За законами фільтрації надходять підземні води в шахтові колодязі та свердловини.

Вони бувають досконалими (рис. 1.74), якщо ними повністю пронизується (перетинається) водоносний пласт до водотривного пласта, і недосконалими, які частково врізаються у водоносний пласт. Після буріння свердловини в ній встановлюється природний (статичний) горизонт, або рівень води.

При відкачуванні води з колодязя в ньому встановиться рівень її нижче статичного. Вода в зоні, яка прилягає до колодязя, буде рухатися до колодязя по радіальних напрямках. У колодязі після відкачування води встановиться рівень, який називається динамічним. Різниця між статичним і динамічним рівнями води в колодязі називається глибиною відкачування S. Перехід рівня води у водоносному пласті поблизу колодязя від статичного до динамічного відбувається по лінії депресії.

Розглянемо роботу досконалого колодязя в безнапірному водоносному пласті. По мірі відкачування води з колодязя постійною витратою Q = соп st рівень води в ньому знизиться, але в той же час витрата води, яка надходить у колодязь (приток води), буде збільшуватися.

 

Рис. 1.74. Схема досконалого колодязя:

1 – свердловина; 2,3 – відповідно динамічний і статичний рівні води; 4 – лінія депресії; S – глибина відкачування.

Врешті-решт настане такий момент, коли витрата відкачування й надходження води вирівняються, тобто Q _відк = Q _прит. При цьому одержимо сталий рух води при глибині h ₀ (рис.1.74). Взагалі це явище буде характеризуватися таким чином: потік води у водоносному пласті зверху (у площі рисунка) обмежений депресійною кривою, і якщо її обертати навколо осі свердловини 0-0, то отримаємо депресійну вирву; горадіус колодязя; h ₀ - глибина води в колодязі; R ₀ - радіус депресійної кривої, або радіус впливу колодязя. На відстані R ₀ від осі колодязя 0-0 природний рівень води в пласті не знижуватиметься. Глибина води в цьому місці буде H ₀, яка дорівнює товщині водоносного пласта.

Витрати води 0, яку віддає колодязь, називається його дебітом(дебіт колодязя). Знайдемо дебіт колодязя (фільтраційну витрату води), керуючись вищеописаною картиною явища.

Тут маємо не плоску, а осьосиметричну задачу руху підземних вод. Для розв'язання її візьмемо переріз n-n, якому відповідає радіус R і глибина h, тоді Q =ω V, де ω = 2π rh.

Середня швидкість фільтрації V = K _ф I, де I = dh / dR.

Підставимо значення I, будемо мати V= K _ф dh / dR, а витрата Q =2 πrh · K _ф · dh / dr..

Розділимо змінні й отримаємо:

h · dh =      (1.311)

Проінтегрувавши це диференціальне рівняння в межах від r = r ₀ до        R = R ₀, одержимо:

або

,  (1.312)

звідки

.           (1.313)

Якщо перейти до десятинних логарифмів, то одержимо:

.        (1.314)

Останнє рівняння і є рівнянням дебіту колодязя.