Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Теорема. Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов.
Пусть дан знакопеременный ряд (2.3). Если сходится ряд, составленный из модулей членов данного ряда, то сходится и сам знакопеременный ряд (2.3). Замечание: обратное утверждение несправедливо. Если сходится ряд (2.3), то это не означает, что будет сходиться ряд его модулей. Например, знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница, а ряд, составленный из модулей членов этого ряда. Расходится, так как он является гармоническим рядом. Абсолютная и условная сходимости числовых рядов Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из модулей его членов, сходится. Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится. В приведенном примере ряд является условно сходящимся, а ряд абсолютно сходится. Свойства абсолютно сходящихся рядов 1) Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму S, то ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму S, что и исходный ряд (Теорема Дирихле. Переместительное свойство). 2) Абсолютно сходящиеся ряды с суммами можно почленно складывать (вычитать). В результате получается абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна (или соответственно ). 3) Произведение двух абсолютно сходящихся рядов с суммами есть абсолютно сходящийся ряд с суммой . Под произведением двух рядов понимают ряд вида: Таким образом, абсолютно сходящиеся ряды суммируют, вычитают, перемножают как обычные ряды. Суммы таких рядов не зависят от порядка записи их членов. В случае условно сходящихся рядов перечисленные свойства не имеют места. Поэтому действия над рядами нельзя производить. Не убедившись в их абсолютной сходимости. Для установления абсолютной сходимости используют все признаки сходимости знакоположительных рядов, заменяя всюду общий член ряда его модулем. Степенные ряды Ряд, членами которого являются функции от х, называется функциональным: (14.4) Придавая х определенное значение , получаем числовой ряд: (14.5). Этот ряд может сходиться или расходиться. Если полученный ряд сходится, то точка называется точкой сходимости ряда (14.4), если же ряд расходится – точкой расходимости функционального ряда.
Совокупность числовых значений аргумента х, при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости ряда. В области сходимости функционального ряда его сумма является некоторой функцией от х: S=S(x). Определяется она в области сходимости равенством: . Среди функциональных рядов особую роль играет ряд, членами которого являются степенные функции аргумента х, т.е. степенной ряд имеет вид: (14.6), где - коэффициенты ряда действительные или комплексные числа, - действительные переменные. Степенной ряд, разложенный по степеням ,имеет вид: (14.7), где - некоторое постоянное число. Область сходимости степенного ряда содержит, по крайней мере, одну точку Теорема Абеля. Сходимость степенных рядов. Если степенной ряд сходится при , то он абсолютно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству . Следствие: Если степенной ряд расходится при , то он расходится и при всех х, удовлетворяющих неравенству .
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-12-15; просмотров: 40; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.220.66.151 (0.006 с.) |