Геометрические приложения определенного интеграла

Определение площадей плоских фигур

Площадь плоской фигуры, ограниченной непрерывной кривой, уравнение которой в прямоугольных координатах имеет вид y=f(x), осью Ох и двумя прямыми х=а и х=b (a<b) находится по формуле:

Отрезок [a;b] следует разделить на части, в каждой из которых функция f(x) сохраняет один и тот же знак. При этом следует соблюдать такое правило знаков: площади, находящиеся над осью Ох, берутся со знаком плюс, а площади, расположенные под осью Ох, со знаком минус.

Если площадь ограничена двумя непрерывными кривыми, уравнения которых в прямоугольных координатах , причем всюду на отрезке [a;b]  и двумя прямыми х=а и х=b, то площадь определяется по формуле:

 и в этом случае надо соблюдать указанное правило знаков.

Примеры.

 Найти площадь, ограниченную осью Ох и параболами:

1)

Решение:

Найдем вершину параболы.

Найдем корни параболы:

Т.к. фигура находится под осью Ох, то перед определенным интегралом ставим знак минус при определении площади фигуры:

2)

Решение:

Найдем вершину параболы.

Найдем корни параболы:

Т.к. фигура находится под осью Ох, то перед определенным интегралом

ставим знак минус при определении площади фигуры:

 

Лекция 12

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы

 с бесконечными пределами интегрирования (I рода)

 Пусть функция  интегрируема на любом отрезке . Тогда несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования определяются следующим образом:

(3.1)

(3.2)

(3.3), где с – произвольное число (обычно с=0).

Несобственные интегралы I рода называются сходящимися, если существуют конечные пределы, стоящие в правых частях формул (3.1), (3.2), (3.3). Если же указанные пределы не существуют или бесконечны, то несобственные интегралы называются расходящимися.

Существуют три признака сходимости и расходимости несобственных интегралов I рода:

1. Если на промежутке непрерывные функции  и удовлетворяют условиям , то из сходимости интеграла  следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла  следует расходимость интеграла . Этот признак называется признаком сравнения.

2. Если при  и существует конечный предел , то интегралы  и  сходятся или расходятся одновременно. Этот признак называется предельным признаком сравнения.

3. Если сходится интеграл , то сходится и интеграл , который в этом случае называется абсолютно сходящимся.

Примеры.

Выяснить, сходятся ли интегралы:

1)

2)

Несобственные интегралы

 от неограниченных функций (II рода)

 Пусть функция  непрерывна на промежутке  и имеет разрыв II рода при x=b. Тогда несобственные интегралы от неограниченной функции определяются следующим образом:

(3.4)

Если предел, стоящий в правой части равенства (3.4) существует, то несобственный интеграл II рода называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Аналогично, если функция  имеет разрыв II рода в точке x=a, то полагают:

(3.5)

Если функция имеет разрыв II рода во внутренней точке , то     (3.6)

В этом случае интеграл называется сходящимся, если оба правые интегралы сходятся.

Существуют два признака сходимости и расходимости несобственных интегралов II рода:

1. Если на промежутке  функции  и непрерывны, при x=b имеют разрыв II рода и удовлетворяют условиям , то из сходимости интеграла  следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла  следует расходимость интеграла .

2. Пусть на промежутке  функции  и непрерывны и при x=b имеют разрыв II рода. Если существует конечный предел , то интегралы  и  сходятся или расходятся одновременно.

Примеры.

1)

2)

Лекция 13

Числовые ряды

Числовым рядом (или просто рядом) называется выражение вида:

(13.1)

где  - действительные или комплексные числа, называемые членами ряда;  - общий член ряда.

Ряд считается заданным, если известен общий член ряда , выраженный как функция его номера n:

= f(n) (1.2)

Сумма первых n членов ряда (13.1) называется частичной суммой ряда и обозначается:     (13.2)

Рассмотрим последовательность частичных сумм:

Если существует конечный предел  последовательности частичных сумм ряда (13.1), то этот предел называют суммой ряда (13.1) и говорят, что ряд сходится. Записывают сумму ряда так:

(13.3)

Если  не существует или , то ряд называют расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.

Рассмотрим некоторые важные свойства рядов:

1) Если ряд (1.1) сходится и его сумма S, то ряд

(13.4),

где с – произвольное число, также сходится и его сумма равна сS. Если же ряд (1.1) расходится и с≠0, то и ряд (13.4) расходится.

2) Если сходится ряд (13.1) и сходится ряд и их суммы равны S₁ и S₂ соответственно, то сходятся и ряды , причем сумма каждого ряда соответственно равна .

Следствия:

а) сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд;

б) сумма (разность) двух расходящихся рядов может быть сходящимся или расходящимся рядом.

3) Если к ряду (13.1) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (13.1) сходятся или расходятся одновременно.

Следствие: если ряд (13.1) сходится, то его остаток:

(13.5) стремиться к нулю при n→∞, т.е. .