Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Раздел «математический анализ»
Часть II
Москва 2010 Лекция 1 Дифференциал функции Пусть функции определена на промежутке и дифференцируема в некоторой окрестности точки . Тогда существует конечная производная . На основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функций можно записать: , - бесконечно малая величина при , откуда . Таким образом, приращение функции состоит из двух слагаемых: 1) линейного слагаемого относительно ; 2) нелинейного слагаемого – бесконечно малой более высокого порядка, чем . Дифференциалом функции называется главная линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной: Пример 1.1. Найти приращение и дифференциал функции при . Решение. При имеем Различия между приращением функции и ее дифференциалом всего 0,02 (или 0,5%). Пример 1.2. Найти дифференциал функции . Решение. Отсюда следует важный вывод: дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной. Поэтому формулу для дифференцирования функции можно записать в виде , откуда можно записать и формулу для производной: . Геометрический смысл дифференциала: дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в данной точке, когда х получает приращение . Свойства дифференциала: 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. где Свойство 6 называется инвариантностью формулы дифференциала. Понятие первообразной функции Функция F (x) называется первообразной функцией (или просто первообразной) функции f (x) на интервале (a; b), если в любой точке x интервала (a; b) функция F (x) дифференцируема и имеет производную F ′(x), равную f (x), или дифференциал F ′(x) dx = f (x) dx. Если функция F (x) является первообразной функции f (x) на интервале (a; b), то, очевидно, и функция F (x)+ C, где С – любое постоянное число, также является первообразной функции f (x) на интервале (a; b). Естественно возникает вопрос о том, как связаны между собой различные первообразные одной и той же функции f (x). Ответ на этот вопрос дает следующая теорема. Теорема 1. Если F 1 (x) и F 2 (x) – любые две первообразные функции f (x) на интервале (a; b), то всюду на этом интервале F 1 (x) - F 2 (x) = C, где C - некоторая постоянная.
Следствие. Если функция F (x) является одной из первообразных функции f (x) на интервале (a; b), то любая первообразная Ф(х) функции f (x) на этом интервале имеет вид Ф(х)= F (x)+ C, где C - некоторая постоянная. Неопределенный интеграл Совокупность всех первообразных функции f (x) на интервале (a; b) называется неопределенным интегралом от функции f (x) на этом интервале и обозначается формулой: (1.1) В формуле (1.1) знак называется знаком интеграла, выражение f (x) dx -подынтегральным выражением, сама функция f (x) – подынтегральной функцией, переменная х – переменной интегрирования. Подчеркнем, что если первообразная функции f (x) на интервале (a; b) (а стало быть, и неопределенный интеграл от этой функции) существует, то в формуле (1.1) подынтегральное выражение f (x) dx равно дифференциалу dF (x) любой из первообразных F (x) функции f (x). На вопрос о существовании у функции f (x) первообразной и неопределенного интеграла отвечает следующая теорема. Теорема 2 (Теорема Коши). У любой непрерывной на интервале (a; b) функции f (x) существует на этом интервале первообразная и неопределенный интеграл. Операция нахождения неопределенного интеграла от функции f (x) называется интегрированием этой функции. Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство “параллельных” кривых y = F (x)+ C. Каждому значению С соответствует определенная кривая семейства. График каждой первообразной называется интегральной кривой.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-12-15; просмотров: 46; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.149.242.118 (0.007 с.) |