Выбор значений и позиций проверочных элементов

Если ошибок нет, то синдром ошибки имеет значение 00…00. При ошибке в первом разряде 00…01.

     Для первой проверки:

                                                                   (7.7)

     То есть в первую проверку должны входить все элементы кодовой комбинации, в первом (младшем) разряде содержится 1. Если , то один из элементов искажен.

     Аналогично, во вторую проверочную группу должны входить все элементы кодовой комбинации, во втором разряде которых содержится 1.

                               (7.8)

 Если S₂=1, то один из элементов искажен:

     Третья проверочная группа содержит элементы, принимающие значение 1 в третьем разряде новой кодовой комбинации:

                          (7.9)

     Четвертая проверочная группа содержит элементы, принимающие значение 1 в четвертом разряде новой кодовой комбинации:

                                                                          (7.10)

     Проверочные элементы каждой кодовой комбинации должны входить только в одну проверку. Таким образом, проверочными должны быть символы, расположенные в 1-м, 2-м, 4-м, 8-м и т. д. разрядах полученной кодовой комбинации.

     Обозначим проверочные символы как  . Тогда

                   ; ; ; .                         (7.11)

     Пример:

1000011 – исходная кодовая комбинация (младший разряд слева), k =7.

 По таблице 7.1 найдем число проверочных символов r =4. Помехоустойчивая кодовая комбинация должна содержать n = k + r =11  элементов (разрядов) а ₁ а ₂ а ₃ а ₄ а ₅ а ₆ а ₇ а ₈ а ₉ а ₁₀ а ₁₁ а ₁₂ (а ₁ – младший разряд). Выполнив проверку на четность по описанным выше правилам, определим значения проверочных элементов:

;

;

;

.

Получится новая кодовая комбинация 01100000011, содержащая информационные биты и проверочные биты.

     Пусть принят код 01101000011, то есть ошибка в бите .

     Проверочные группы на приемной стороне:

;

;

;

;

Таким образом, синдром ошибки

, то есть ошибка в бите .

 

ИСПРАВЛЯЮЩАЯ СПОСОБНОСТЬ КОДА ХЕММИНГА

Если имеется n символов, то вероятность правильного приема этих символов равна , где р – вероятность искажения одного символа.

     Вероятность появления однократной ошибки .

     Вероятность ошибочного приема кодовой комбинации:

;

;

.

     Для исправления ошибки кратности больше 1 необходимо выполнение условия , где t – кратность ошибки.

     Эти выражения справедливы при .

 

ТЕХНИЧЕСКИЕ СРЕДСТВА КОДИРОВАНИЯ И ДЕКОДИРОВАНИЯ

ГРУППОВОГО КОДА ХЕМИМНГА

     Рассмотрим пример реализации кода Хемминга для случая k =7, r =4, n =11 (рисунок 7.3).

На передающей стороне из символов каждой из исходных кодовых комбинаций (С1,…, С7) с помощью сумматоров по модулю 2 без переноса (исключающее ИЛИ при двух входных переменных) формируются на основе проверок (7.7),…, (7.10) с учетом (7.11) проверочные элементы b 1,…, b 4. Для компенсации задержек сигнала в элементах формирования проверочных символов символы исходной кодовой комбинации и проверочные символы записываются в регистр. Выдача символов сформированной помехоустойчивой кодовой комбинации в линию связи может осуществляться в последовательном или параллельном коде по команде «Чтение».

На приемной стороне переданный кодированный сигнал записывается в регистр памяти. Сигналы с разрядных выходов регистра участвуют в выполнении проверок на четность по тем же правилам (7.7),…, (7.10) и с помощью такой же схемы, с помощью которой формировались проверочные символы, только у каждого сумматора по модулю 2 будет на один вход больше. На этот вход подается соответствующий проверочный символ. В результате формируется синдром ошибки S₁S₂S₃S₄, то есть r-разрядное двоичное число, указывающее на позиционный номер искаженного элемента. Синдром ошибки поступает на входы полного дешифратора (ДШ) и декодируется. На выходе дешифратора имеем позиционный код, то есть единица появляется только на одном из выходов. Номер этого выхода и соответствует номеру искаженного элемента кодовой комбинации. Присутствие «1» на выходе с номером «0» соответствует отсутствию ошибки при передаче (синдром ошибки равен 0000). Для исправления ощибок в принятых кодовых комбинациях используются сумматоры по модулю два. На первые входы каждого сумматора подается соответствующий разрядный символ, а вторые входы соединены с соответствующими выходами дешифрратора. Если из линии связи на вход сумматора по модулю 2 элемент пришел с ошибкой, например «1» вместо «0», то на второй вход этого сумматора по модулю 2 с соответствующего выхода дешифратора также придет «1», и на выходе сумматора по модулю 2 сигнал будет равен «0», то есть именно такой, какой он был на передающей стороне до линии связи.

 

Рисунок 7.3 – Пример технической реализации кода Хемминга