Распределение энергии в спектре непериодического сигнала

Энергия сигнала u (t), выделяемая на резисторе с сопротивлением 1 Ом, определяется как

.                                        (4.14)

Выразим энергию сигнала u (t) через модуль его спектральной характеристики S (j Ω). Квадрат этого модуля представим в виде

,

где S (– j Ω) – функция, комплексно сопряженная с S (j Ω),

и проинтегрируем по частоте

.

Представим  комплексно-сопряженную спектральную характеристику   S (– j Ω) с помощью прямого интегрального преобразования Фурье (4.3) через сигнал u (t)

.

Поменяем порядок интегрирования и сравним в новом выражении сомножитель в квадратных скобках с (4.4)

.     (4.15)

Из сравнения (4.14) и (4.15) получим

.                 (4.16)

Соотношение (4.16) называют равенством Парсеваля или теоремой Рейли. Из этого соотношения следует, что энергию непериодического сигнала за время его существования можно определить, интегрируя квадрат модуля спектральной характеристики этого сигнала.

Каждое из бесконечно малых слагаемых  в выражении (4.16) представляет собой энергию, выделяемую спектральными составляющими сигнала, расположенными в полосе частот d Ω от Ω до Ω+ d Ω.

Величина   называется энергетической спектральной плотностью непериодического сигнала и характеризует распределение энергии по спектру непериодического сигнала.

Конечный во времени сигнал имеет бесконечный по протяженности спектр. Для таких сигналов равенство Парсеваля может быть использовано для определения практической ширины спектра непериодического сигнала.

Для сигналов, теоретически бесконечных во времени (например, экспоненциальных сигналов) на основе равенства Парсеваля можно определить практическую длительность сигнала.

При этом используются соответственно соотношения

,                                   (4.17)    

                  ,                                      (4.18)

где h - коэффициент, близкий к 1 (от 0.9 до 0.999 в зависимости от качества воспроизведения сигнала);

 Ω_С – практическая ширина спектра;

  Т _С – практическая длительность сигнала.

Естественно, отбрасывание части спектра выше частоты Ω_С приведет к искажению сигнала. Квадрат относительной погрешности представления непрерывного сигнала конечным числом спектральных составляющих определяется соотношением

              ,                                     (4.19)

где Е _х – энергия отброшенной части спектра,

Е _С – полная энергия сигнала.

Основные свойства преобразования Фурье

1. Преобразования Фурье линейны.

Если u (t) + u ₁(t) + u₂(t) +…, то S (j Ω) = S ₁(j Ω) + S ₂(j Ω) +…, то есть спектр суммы сигналов равен сумме спектров сигналов, образующих суммарный сигнал.

Если u ₁(t)= а u (t), где а =const, то S ₁(j Ω)= а S (j Ω), где S ₁(j Ω) и S (j Ω) – спектральные характеристики сигналов u ₁(t) и u (t).

2. Сдвиг сигналов во времени.

Пусть S (j Ω) – спектральная характеристика некоторого непериодического сигнала u (t). Очевидно, что сигнал u (t –Т) повторяет все значения сигнала u (t) со смещением во времени на интервал Т. Если Т>0, то функция u (t –Т) является запаздывающей по отношению к u (t), а при Т<0 – опережающей.

Спектральная характеристика S _Т (j Ω) сигнала u (t –Т) отличается от спектральной характеристики S (j Ω) сигнала u (t) только по фазе на величину Ω Т, а именно

.

3. Смещение спектра сигнала.

Применим преобразование Фурье к произведению .

Первый интеграл в правой части уравнения есть спектральная характеристика сигнала u (t) при частоте (Ω–ω₀), а второй – при частоте (Ω+ω₀). Пусть начальная фаза φ₀=0, то есть . Тогда

^,

где S (j Ω) – спектральная характеристика сигнала u (t).

Из последнего выражения следует, что при умножении произвольного сигнала u (t) на гармонический сигнал cos ω ₀ t спектр сигнала u (t) расщепляется на две части.

Это свойство лежит в основе модуляции сигналов.

Пример применения равенства Парсеваля

Рассмотрим пример использования приведенных выше соотношений (4.17) и (4.18) для определения практической ширины спектра одиночного сигнала и практической его длительности. Знание практической ширины спектра сигнала необходимо при рассмотрении вопросов дискретизации этого сигнала. Знание практической длительности сигнала позволяет ограничить время исследования этого сигнала.

Пусть сигнал описывается экспоненциальной функцией

.

 

Практическая ширина спектра

Используя прямое преобразование Фурье (см. выражение (4.3), найдем спектральную характеристику этого сигнала.

.

Для определения действительной и мнимой составляющих спектральной характеристики умножим числитель и знаменатель полученного выражения на один и тот же сомножитель (1– j Ωτ).

.

Отсюда определим квадрат модуля спектральной характеристики, используя выражение (4.10),

.

Вычислим интеграл от квадрата модуля спектральной характеристики правой части выражения (4.17)

.

Интеграл от квадрата модуля спектральной характеристики левой части выражения (4.17)

.

Подставляя эти значения в уравнение (4.17), получим

                        .

Отсюда, задаваясь коэффициентом h, по соответствующим таблицам определим произведение Ω_Сτ. Переходя от круговой частоты к линейной, получим практическую ширину спектра сигнала в Гц

                                 .

Например, при h=0.98 получим Ω_Сτ=30. Если принять τ=1с, то практическая ширина спектра экспоненциального сигнала при выбранных условиях примерно составит F_С=5 Гц.