Раздел 1. Спектральное представление сигналов

Предварительная обработка

Для верной оценки амплитудно-временных параметров биомедицинского сигнала необходимо наличие «чистого» сигнала, то есть освобожденного от наложенных на исходный сигнал помех. Поэтому устранение влияния помех, действующих на БМС, является одной из основных задач предварительной обработки. Как правило, при этом необходимо сохранить временную форму обрабатываемых сигналов, а это требует применения на этапе предварительной обработки только линейных операций преобразования сигналов.

Выделение информативных параметров

Под информативным параметром понимают величину, характеризующую то свойство измерительного сигнала, которое значимо для решения соответствующей задачи. Значения информативных параметров оценивают по определенной количественной шкале.

Например, для электрокардиосигнала информативными параметрами могут быть:

· длительности кардиоциклов,

· амплитудно-временные параметры зубцов и сегментов ЭКС,

· показатели формы зубцов и сегментов.

Значения информативных параметров служат исходными данными для дальнейшей обработки сигналов сообщений.

Математическая обработка выделенных информативных

Параметров

Математическая обработка выделенных информативных параметров дает возможность получить углубленную оценку состояния исследуемого объекта. Например, математическая обработка последовательности длительностей кардиоциклов позволяет оценить адаптационные возможности организма. При этом выполняется как статистическая обработка, так и спектральный анализ исходных последовательностей.

Математическая обработка информативных параметров может заключаться в сравнении по определенным решающим правилам полученных значений со значениями, принятыми за норму или за предельно допустимые, для принятия соответствующего решения по результатам испытаний или для принятия диагностических решений.

Успех выполнения каждого последующего этапа зависит от качества выполнения предыдущего этапа. Любой из представленных этапов обработки сигналов сообщений является сложной технической задачей.

Детерминированные и случайные сигналы

Перейдем к рассмотрению сигналов. Сигналы делят на детерминированные и случайные.

Сигналы, которые точно определены в любые моменты времени, называют детерминированными сигналами. Если значения некоторых параметров сигнала заранее предсказать невозможно, то сигнал будет случайным. Случайные изменения параметра могут вызываться либо передаваемым сообщением, либо действием каких-то мешающих факторов. В последнем случае говорят о действии помех на передаваемое сообщение.

Параметры сигнала, изменяемые во времени в соответствии с передаваемым сообщением, то есть значимые для решения соответствующей задачи, называют информативными параметрами. У электрических сигналов информативными параметрами могут быть амплитуды, частота, фаза.

Информацию могут нести только случайные сигналы. Детерминированный сигнал никакой информации не несет, поскольку его поведение заранее известно. Однако, использование детерминированных сигналов удобно при изучении процессов, связанных с преобразованием и передачей сигналов, несущих информацию, и устройств, осуществляющих эти преобразования.

Модели сигналов

При изучении общих свойств сигналов мы отвлекаемся от их конкретной физической природы, содержания и назначения и заменяем сигналы моделями. Модель – это выбранный способ описания объекта, процесса или явления, отражающий существенные с точки зрения решаемой задачи факторы. В качестве моделей электрических сигналов используют математические модели.

Рассмотрим формы представления детерминированных сигналов. По форме представления детерминированные сигналы делят на непрерывные, дискретные и дискретно-непрерывные.

Непрерывный сигнал. Если число возможных значений параметра бесконечно, то сигнал считают непрерывным по этому параметру.

Дискретный сигнал. Сигнал называют дискретным по данному параметру, если число значений, которое может принимать этот параметр, конечно.

Дискретно-непрерывный сигнал. Сигнал, дискретный по одному параметру и непрерывный по другому, называют дискретно-непрерывным.

В соответствии с перечисленными формами представления детерминированных сигналов существуют следующие разновидности их математических моделей.

1. Непрерывная функция непрерывного аргумента. Например, непрерывная функция времени u(t) (рисунок 1.1).

2. Непрерывная функция дискретного аргумента. Например, функция, значения которой отсчитываются только в определенные моменты времени u(kT), где k=0, 1,2,…, T – время между отсчетами (рисунок 1.2).

3. Дискретная функция непрерывного аргумента. Например, функция времени, квантованная по уровню U_m(t), где m=0, 1, 2, …, M, M – возможное число уровней (рисунок 1.3).

4. Дискретная функция дискретного аргумента. Например, функция принимает одно из конечного множества М возможных значений (уровней) в определенные (дискретные) моменты времени U_m(kT) (рисунок 1.4).

 

 

Полиномы Лежандра

Полиномы Лежандра L_n (x) отрогональны на отрезке [–1, 1] с единичной весовой функцией h (x)=1. Они могут быть определены на основе рекурентного соотношения

,                       (2.3)

при этом L ₀(x)=1, L ₁(x)= x.

Нормирующий множитель (квадрат нормы)

.

На рисунке 2.1 показаны первые четыре полинома Лежандра, вычисленные на основе (3). Упорядочение осуществляется по степени полинома.

Рисунок 2.1 – Полиномы Лежандра

Вычисление спектральных коэффициентов производится по формуле, аналогичной формуле (1.6) из темы 1:

.                        (2.4)

Если сигнал, подлежащий исследованию, представлен в виде дискретных во времени отсчетов, то целесообразно использовать дискретные полиномы Лежандра. Аргументом при этом является последовательность натуральных чисел 0, 1, 2,…, k,…, Km, где Km – номер последнего отсчета.

В общем виде дискретный полином Лежандра степени n определяется на Кm +1 равноотстоящих отсчетов выражением

,                          (2.5)

где  – число сочетаний из А элементов по В элементов, n =0, 1, 2, ….

Полиномы (2.5) ортогональны на отрезке [0, Km ] с единичной весовой функцией.

 

Нормирующий множитель (квадрат нормы) определяется как

.                                 (2.6)

Спектральные коэффициенты определяются в этом случае выражением

.                           (2.7)

Функции Уолша

Система функций Уолша впервые была описана математиком Уолшем (Walsh J.) в 1923 г.

Система функций Уолша , i =0, 1, 2,…, 0≤θ<1 является расширением системы функций Радемахера:

,                                       (2.8)

где ,

до полной системы и определяется как

,                                      (2.9) 

где i =0, 1, 2,…, 2 ⁿ –1,

значение j -го разряда в записи числа i в коде Грея.

Функции Уолша – кусочно-непрерывные ступенчатые функции, принимающие на области определения два дискретных значения: +1 и –1.

Упорядочение функций Уолша возможно несколькими способами.

Упорядочение по Уолшу. В данном случае упорядочение осуществляется по числу пересечений нулевого уровня.

Упорядочение по Пэли. Это наиболее удобное с точки зрения программной и особенно аппаратной реализации упорядочение.

В этом случае номер функции Уолша, представленный в двоичном коде, определяет номера перемножаемых функций Радемахера:

,                                       (2.10)

где i_j – значение j -го разряда в двоичном представлении числа i.

Например, для функции pal ₅(θ) соответствующий двоичный код – 101, и . На рисунке 2.2 приведены первые четыре функции Уолша, упорядоченные по Пэли.

 

Рисунок 2.2 – Функции Уолша, упорядоченные по Пэли

 

Вычисление спектральных коэффициентов в базисе функций Уолша производится как

.                                (2.11)

Функции Хаара

Полная, ортонормированная система на интервале 0 ≤ Θ < 1.

    m – номер группы, i – номер функции в группе.

                                                                                (2.12)

                                                  (2.13)

                            (2.14)

, .

Вычисление спектральных коэффициентов в базисе функций Хаара производится как

                                       (2.15)

     На рисунке 2.3 приведены первые восемь функций Хаара.

 

Рисунок 2.3 – Функции Хаара

 

В инженерных расчетах для упорядочения базисных функций желательно использовать один индекс. В этом случае приведенные выше восемь функций Хаара можно упорядочить следующим образом: Har₀(Θ), Har₁(θ), Har₂(θ),…, Har_i(θ),…, Har₇(θ). Изменение порядка индексации функций требует иного их описания.

,                              (2.16)

где i = 1,2,… – номер базисной функции;

n _c – номер старшего ненулевого разряда в двоичном представлении числа i, младший разряд имеет номер 0;

 – функция Радемахера порядка n _c+1;

;

 - величина i по модулю , то есть остаток от деления числа i на модуль.

При таком представлении спектральные коэффициенты в базисе функций Хаара определяются следующим образом:

                                            (2.17)

В базисных функциях Уолша и Хаара параметр θ физически соответствует относительному времени. Для конкретного участка исследуемого сигнала, расположенного на интервале времени от t ₀ до t ₀+ Т с, где Т с – длительность рассматриваемого участка, θ определяется следующим образом:

,                                          (2.18)

где t _x – текущее время, t ₀£ t _x< t ₀+ T c.

Сигнал на участке относительного времени 0£θ<1 можно представить в базисе функций Хаара в виде

                        .                                    (2.19)

 

Тема 3. Частотная форма представления сигналов. Спектр периодического сигнала. Распределение энергии в спектре периодического сигнала.

Пример применения равенства Парсеваля

Рассмотрим пример использования приведенных выше соотношений (4.17) и (4.18) для определения практической ширины спектра одиночного сигнала и практической его длительности. Знание практической ширины спектра сигнала необходимо при рассмотрении вопросов дискретизации этого сигнала. Знание практической длительности сигнала позволяет ограничить время исследования этого сигнала.

Пусть сигнал описывается экспоненциальной функцией

.

 

Практическая ширина спектра

Используя прямое преобразование Фурье (см. выражение (4.3), найдем спектральную характеристику этого сигнала.

.

Для определения действительной и мнимой составляющих спектральной характеристики умножим числитель и знаменатель полученного выражения на один и тот же сомножитель (1– j Ωτ).

.

Отсюда определим квадрат модуля спектральной характеристики, используя выражение (4.10),

.

Вычислим интеграл от квадрата модуля спектральной характеристики правой части выражения (4.17)

.

Интеграл от квадрата модуля спектральной характеристики левой части выражения (4.17)

.

Подставляя эти значения в уравнение (4.17), получим

                        .

Отсюда, задаваясь коэффициентом h, по соответствующим таблицам определим произведение Ω_Сτ. Переходя от круговой частоты к линейной, получим практическую ширину спектра сигнала в Гц

                                 .

Например, при h=0.98 получим Ω_Сτ=30. Если принять τ=1с, то практическая ширина спектра экспоненциального сигнала при выбранных условиях примерно составит F_С=5 Гц.

Теорема В. А. Котельникова

Сигнал, описываемый функцией с ограниченным спектром, полностью определяется своими значениями, отсчитанными через интервалы времени

,                                        (5.2)

где F _{С макс} –максимальная частота в спектре сигнала.

Для измерительных сигналов, к которым относятся и биомедицинские сигналы, F _{С макс} определяет ширину спектра сигнала.

Если непрерывный сигнал существенно отличается от нуля только на интервале времени Т _С и имеет спектр, ограниченный F _{С макс}, то он может быть представлен конечным числом отсчетов

.                                    (5.3)

Длительность существования сигнала Т _С может быть интервалом времени между включением и выключением устройства или практической длительностью одиночного сигнала, определение которой мы рассмотрели выше на примере экспоненциального одиночного импульса.

Если T _C>>Δ t, то можно принять m ≈2 F _{C макс} Т _С.

Краткая информация о Владимире Александровиче Котельникове.

Теорему доказал в 1933 г. в возрасте 25 лет.

С 1953 г. академик АН СССР, с 1970 г. ее вице-призидент.

С 1954 г. директор института радиотехники и электроники АН СССР.

С 1980 г. председатель совета «Интеркосмос».

Лауреат многих Ленинских и государственных премий.

Ряд Котельникова

Подставим значение спектральных коэффициентов  из (5.8) в (5.6). Получим:

Полученное выражение для S () подставим в формулу (5.4).

.

Так как сумма определяется в пределах от –∞ до +∞, то можно поменять знаки при k.

.

После вычисления интеграла получим

.

Таким образом, непрерывный сигнал U(t) представляется совокупностью дискретных отсчетов

     .                         (5.9)

Выражение (5.9) является аналитической формой записи теоремы Котельникова и называется рядом Котельникова.

Учитывая соотношения

; ,

можно из выражения (5.9) получить следующие формы записи ряда Котельникова

,                           (5.10)

.                   (5.11)

Таким образом, любая непрерывная функция времени , обладающая ограниченным спектром, может быть представлена в виде бесконечной суммы, каждое слагаемое которой есть произведение отсчета исходной функции в дискретные моменты времени  на множитель типа . Этот множитель называют функцией отсчетов. Спектральная характеристика функции отсчетов (рисунок 5.2) ограничена по частоте значениями ±Ω_С и постоянна внутри этой полосы частот.

Рисунок 5.2 – Спектральная характеристика функции отсчетов

Методы построения ацп

     При реализации аналого-цифрового преобразования наиболее распространены следующие методы:

     1) параллельный,

     2) весовой (разрядного уравновешивания или последовательного приближения),

     3) числовой (метод последовательного счета).

     Параллельный способ преобразования

 Если необходимо реализовать n -разрядное двоичное число, то потребуется  компараторов напряжения и столько же источников опорных уровней (рисунок 6.6).

Рисунок 6.6 – АЦП параллельного действия

АЦП последовательного счета

 Одна из возможных реализаций данного типа АЦП приведена на рисунке 6.9.          

 

Рисунок 6.9 – АЦП последовательного счета

Временные диаграммы, поясняющие работу АЦП последовательного счета, приведены на рисунке 6.10.

Рисунок 6.10 – Временные диаграммы

     Пусковой импульс («Пуск» на рисунке 6.10) переводит триггер в состояние 1. С прямого выхода триггера Q разрешается прохождение тактовых импульсов (ТИ)  через схему И (&) на счетчик.

     Выходной код со счетчика поступает на ЦАП. На ЦАП с каждым тактом нарастает уровень выходного сигнала на 1 шаг квантования ∆ U. Пока сигнал с выхода ЦАП не достигнет Ux, компаратор находится в состоянии «0» и триггер остается в состоянии «1». Как только сигнал ЦАП достигнет Ux компаратор переходит в состояние «1», сбрасывает триггер в «0», и тактовые импульсы на вход схемы И (&) не проходят. Процесс счета останавливается.

     Определим время преобразования:

      - предельное время преобразования.

     n – разрядность кода, в который преобразуется входной сигнал.

     При  

Кодовое расстояние

     Возможность корректирующих кодов по исправлению и обнаружению ошибок определяется кодовым расстоянием.

Кодовым расстоянием d называется минимальное количество разрядов в которых одна кодовая комбинация отличается от другой кодовой комбинации.

Для конкретного кода кодовым расстоянием данного кода называется минимальное число элементов, которыми одна кодовая комбинация данного кода отличается от другой кодовой комбинации того же кода.

Иногда кодовое расстояние называется хемминговым расстоянием (по имени Ричарда Хемминга, основателя помехоустойчивых кодов).

У простого двоичного кода d =1. Каким должно быть кодовое расстояние у кодов, обнаруживающих ошибки, и у кодов, исправляющих ошибки?

В общем случае для обеспечения возможности исправления всех ошибок кратности до t включительно при декодировании по методу максимального правдоподобия каждая из ошибок должна приводить к запрещенной кодовой комбинации, входящее в группу таких комбинаций, соответствующих исходной кодовой комбинации.

Пусть имеется n -разрядный двоичный код. Выберем 2 кодовые комбинации  и , которые будем считать разрешенными (рисунок 7.1). Каждой разрешенной кодовой комбинации соответствует свое подмножество запрещенных кодовых комбинаций с одиночными ошибками. Число их равно C _n¹, а кодовое расстояние относительно исходной кодовой комбинации d =1. Графически это представляется окружностью с радиусом d =1.

Рисунок 7.1 – Определение кодового расстояния

Аналогично, подмножество запрещенных кодовых комбинаций с двойной ошибкой имеет кодовое расстояние относительно исходной d =2, а число их равно C _n². И так далее до ошибок кратности t включительно.

Для того чтобы при приеме восстановить именно  кодовую комбинацию необходимо, чтобы набор ее запрещенных кодовых комбинаций не пересекался с набором запрещенных кодовых комбинаций .

Для исправления ошибок кратности t кодовое расстояние должно удовлетворять условию: .

Для исправления ошибки кратности s кодовое расстояние должно быть:

.

     Если код должен исправлять ошибки кратности t и обнаруживать ошибки кратности s, то кодовое расстояние должно быть не менее

     Помехоустойчивые коды делятся на два больших класса:

1. Блоковые коды;

2. Непрерывные коды.

Для блоковых кодов к каждой исходной комбинации добавляется блок избыточных символов и получается новая комбинация (рисунок 7.2).

Рисунок 7.2 – Построение блокового кода

     Различают разделимые и неразделимые блоковые коды. В разделимых блоковых кодах k символов являются информативными, а r - проверочными.

     Такие коды обозначают как (n, k) – коды.

     Для неразделимых кодов разделить символы на информативные и проверочные невозможно (см. далее корреляционный код).

     Непрерывными кодами называются коды, в которых введение избыточных символов в кодируемую последовательность осуществляется непрерывно, без разделения ее на независимые блоки.

ПРОСТЕЙШИЕ ИЗБЫТОЧНЫЕ КОДЫ

Код с четным числом единиц. Код с четным числом единиц образуется из исходного k -элементного кода добавлением еще одного элемента, нуля или единицы, таким образом, чтобы количество единиц в новой кодовой комбинации было четным. Для определения дополнительного элемента все элементы исходной кодовой комбинации складывают по модулю 2:

0 1 1 1 0 1 1 0 = 1,

0 0 1 1 0 1 1 0 = 0.

Таким образом, число элементов в новой кодовой комбинации n = k + r = k +1. Избыточность кода с четным числом единиц

                                           .                                          (7.5)

     Этот код имеет кодовое расстояние d=2 и обнаруживает все нечетные ошибки.

     Корреляционный код

     При построении корреляционного кода каждый элемент исходного кода преобразуется в 2 элемента:

     1 à 10,

     0 à 01.

Таким образом, корреляционный код относится к непрерывным кодам.

     Если исходная комбинация содержит k элементов, то новая кодовая комбинация – n =2 k. Избыточность корреляционного кода R =0,5.

Помехоустойчивость корреляционного кода обеспечивается тем, что появление необнаруживаемой ошибки возможно возможно только в случае, когда два рядом стоящих элемента, соответствующих одному элементу исходной кодовой комбинации будут одновременно искажены, то есть 1à0, а 0à1. Вероятность этого события

              Р _НО= р ².

В корреляционном коде в линию связи всегда передается одинаковое число 0 и 1, что обеспечивает эффективное использование ее пропускной способности.

КОД ХЕММИНГА

     Код Хемминга относится к блоковым кодам. Наиболее простой код, исправляющий ошибки кратности t =1, имеет кодовое расстояние d =3.

     Принцип построения:

     1) На передающей стороне к k информационным символам добавляется r проверочных символов. Значения проверочных символов (0 или 1) определяются путем проверок на четность. В проверку на четность включают определенные элементы кодовых комбинаций, образующие проверочную группу. Сформированный n -разрядный код, состоящий из k информационных и r проверочных элементов, передается в линию связи.

     2) На приемной стороне в тех же проверочных группах производится r проверок на четность.

     3) Проверочные группы строятся таким образом, чтобы записи результатов каждой проверки  в двоичной форме давало бы r -разрядное двоичное число , указывающее номер разряда (в исчислении с основанием 10) искаженного элемента. Это выражение называют синдромом ошибки.

     Для того чтобы обнаружить и исправить все ошибки кратности 1, число проверочных символов выбирается из соотношения . Добавление слагаемого +1 соответствует случаю отсутствия ошибок.

Число элементов помехоустойчивой кодовой комбинации определяется из решения уравнения относительно n:

                                           .                                              (7.6)

Изначально известно число k. Определив n из уравнения (7.6), получим число проверочных разрядов r в новых кодовых комбинациях (таблица 7.1).

 

Таблица 7.1 – Соотношение числа информационных и проверочных разрядов

k	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
n	5	6	7	9	10	11	12	13	14	15	17
r	3	3	3	4	4	4	4	4	4	4	5

 

ГРУППОВОГО КОДА ХЕМИМНГА

     Рассмотрим пример реализации кода Хемминга для случая k =7, r =4, n =11 (рисунок 7.3).

На передающей стороне из символов каждой из исходных кодовых комбинаций (С1,…, С7) с помощью сумматоров по модулю 2 без переноса (исключающее ИЛИ при двух входных переменных) формируются на основе проверок (7.7),…, (7.10) с учетом (7.11) проверочные элементы b 1,…, b 4. Для компенсации задержек сигнала в элементах формирования проверочных символов символы исходной кодовой комбинации и проверочные символы записываются в регистр. Выдача символов сформированной помехоустойчивой кодовой комбинации в линию связи может осуществляться в последовательном или параллельном коде по команде «Чтение».

На приемной стороне переданный кодированный сигнал записывается в регистр памяти. Сигналы с разрядных выходов регистра участвуют в выполнении проверок на четность по тем же правилам (7.7),…, (7.10) и с помощью такой же схемы, с помощью которой формировались проверочные символы, только у каждого сумматора по модулю 2 будет на один вход больше. На этот вход подается соответствующий проверочный символ. В результате формируется синдром ошибки S₁S₂S₃S₄, то есть r-разрядное двоичное число, указывающее на позиционный номер искаженного элемента. Синдром ошибки поступает на входы полного дешифратора (ДШ) и декодируется. На выходе дешифратора имеем позиционный код, то есть единица появляется только на одном из выходов. Номер этого выхода и соответствует номеру искаженного элемента кодовой комбинации. Присутствие «1» на выходе с номером «0» соответствует отсутствию ошибки при передаче (синдром ошибки равен 0000). Для исправления ощибок в принятых кодовых комбинациях используются сумматоры по модулю два. На первые входы каждого сумматора подается соответствующий разрядный символ, а вторые входы соединены с соответствующими выходами дешифрратора. Если из линии связи на вход сумматора по модулю 2 элемент пришел с ошибкой, например «1» вместо «0», то на второй вход этого сумматора по модулю 2 с соответствующего выхода дешифратора также придет «1», и на выходе сумматора по модулю 2 сигнал будет равен «0», то есть именно такой, какой он был на передающей стороне до линии связи.

 

Рисунок 7.3 – Пример технической реализации кода Хемминга

 

Функция отсчета

Для каждого отсчета формируется функция отсчета, то есть реакция устройства восстановления на один отсчет. Для построения функции отсчета берется один отсчет сигнала, а все отсчеты слева и справа от него приравниваются нулю. Через n +1 отсчетов проводят полином n -й степени. Построения производят n +1 раз. Именно столь раз можно провести отличающийся от нуля полином через n +1 отсчетов. 

Например, функция отсчета для полинома первой степени имеет вид равнобедренного треугольника. Результат построения получается с задержкой, так как построения возможны только после поступления последнего из n +1 отсчетов. При линейной интерполяции задержка равна периоду дискретизации (рисунок 8.2).

Рисунок 8.2 – Функции отсчетов

     Интервал на котором значения интерполирующего многочлена присваиваются значениям интерполирующей функции называется интервалом соответствия. Интервалы соответствия обозначат буквой l и нумеруют числами от 0 до n – 1: l =0, 1,…, n –1.

Для линейной интерполяции l =0. Для полинома 2-го порядка l =0, 1.

     Задержка восстановленного сигнала определяется номером интервала соответствия.

     Для полинома 2 степени задержка может быть равна как периоду дискретизации (при l =0), так и двум периодам дискретизации (при l =1).

В общем виде время задержки определяется по формуле:

,                            (8.2)

  Пример построения интерполирующей функции на основе интерполирующего полинома второй степени

     Пусть есть последовательность дискретных отсчетов .

Полином второй степени имеет вид:

                                (8.3)

На каждом интервале интерполяции, включающем два периода дискретизации, полином вида (8.3) проводится через три соседних отсчета (рисунок 8.3). При этом на каждом интервале интерполяции надо рассчитывать свои коэффициенты А, В, С.

Для нахождения коэффициентов полинома необходимо решить систему из трех уравнений:

                (8.4)

В результате решения (8.4) получим выражения для определения коэффициентов:

 

Рисунок 8.3 – Построение интерполирующей функции второго порядка

         

Интерполирующий многочлен Лагранжа

     В качестве интерполирующего полинома при скользящем интерполировании часто применяется многочлен Лагранжа n -ной степени:

,   (8.5)

где l – интервал соответствия,

l =0, 1, 2,…, n -1; n – степень полинома,

 – значения отсчетов внутри интервала интерполяции,

t _k – начало интервала интерполяции,

i =0, 1,…, n – порядковый номер отсчета восстанавливаемой функции,                  

 – относительное время внутри интервала интерполяции,

,                               (8.6)

 - произвольный момент времени внутри интервала интерполяции.

Многочлен Лагранжа первой степени:

Индивидуальное задание. Вывести самостоятельно многочлены Лагранжа второй степени для l =0 и l =1 из общего выражения (8.5).

 

Погрешность интерполяции

     Ограничение степени интерполирующего полинома приводит к погрешности интерполяции. В случае использования интерполирующего полинома Лагранжа максимальная погрешность интерполяции определяется остаточным членом для многочлена Лагранжа степени n:

                (8.7)

где  - максимум n +1 производной восстанавливаемого сигнала.

     В точках, совпадающих с отсчетами () погрешность интерполяции равна нулю, . При  погрешность не равна нулю, .

Пусть  – допустимая приведенная погрешность восстановления.

Зная диапазон изменения сигнала U _макс, определим абсолютную допустимую погрешность     .

Очевидно, что при восстановлении непрерывного сигнала должно выполняться условие: . С учетом (8.7) это условие можно представить в виде

.   (8.8)

Здесь введено новое обозначение периода дискретизации - Т _опр, то есть период опроса. Очевидно, что чем меньше период опроса, тем точнее может быть восстановлен непрерывный сигнал по дискретным отсчетам. Задавшись допустимой погрешностью восстановления, из (8.8) можно определить предельно допустимое максимальное значение периода опроса

.                                  (8.9)

Выражение (8.9) справедливо для погрешностей восстановления .

В этом случае для интерполяции с использованием полиномов Лагранжа нулевого, первого и второго порядков, называемую также ступенчатой, линейной и параболической интерполяцией, справедливы выражения:

,                           (8.10)

,                              (8.11)

.                           (8.12)

     Последнее выражение справедливо как для l =0, так и для l =1.