Лекция 11. Исследование функций с помощью производной.

Доцент Митянок.

УО»ПОЛЕССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

            ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ 1курс(2 семестр).

Интегрирование биноминальных дифференциалов.

 

       Определение: Биноминальным дифференциалом называется выражение

x^m(a + bxⁿ) ^p dx

где m, n, и p – рациональные числа.

 

       Как было доказано академиком Чебышевым П.Л. (1821-1894), интеграл от биноминального дифференциала может быть выражен через элементарные функции только в следующих трех случаях:

 

1) Если р – целое число, то интеграл рационализируется с помощью подстановки

, где l - общий знаменатель m и n.

 

2) Если   - целое число, то интеграл рационализируется подстановкой

, где s – знаменатель числа р.

 

 

3) Если  - целое число, то используется подстановка , где s – знаменатель числа р.

 

       Однако, наибольшее практическое значение имеют интегралы от функций, рациональных относительно аргумента и квадратного корня из квадратного трехчлена.

       На рассмотрении этих интегралов остановимся более подробно.

 

 

Интегралы вида .

 

       Существует несколько способов интегрирования такого рода функций. В зависимости от вида выражения, стоящего под знаком радикала, предпочтительно применять тот или иной способ.

       Как известно, квадратный трехчлен путем выделения полного квадрата может быть приведен к виду:

       Таким образом, интеграл приводится к одному из трех типов:

1)

2)

3)

 

 

Способ. Тригонометрическая подстановка.

 

 

       Теорема: Интеграл вида  подстановкой  или

 сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или cost.

Пример:

 

 

       Теорема: Интеграл вида  подстановкой  или  сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint и cost.

 

       Пример:

       Теорема: Интеграл вида  подстановкой  или  сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или cost.

       Пример:

 

 

 

2 способ. Подстановки Эйлера. (1707-1783)

 

1) Если а>0, то интеграл вида  рационализируется подстановкой

.

 

2) Если a<0 и c>0, то интеграл вида  рационализируется подстановкой .

 

3) Если a<0, а подкоренное выражение раскладывается на действительные множители a(x – x₁)(x – x₂), то интеграл вида  рационализируется подстановкой .

 

Отметим, что подстановки Эйлера неудобны для практического использования,

т.к. даже при несложных подынтегральных функциях приводят к весьма громоздким вычислениям. Эти подстановки представляют скорее теоретический интерес.

 

Лекция 24. Степенные ряды.

24.1. Понятие степенного ряда.

    На практике часто применяется разложение функций в степенной ряд.

 

    Определение. Степенным рядом называется ряд вида

.

Для исследования на сходимость степенных рядов удобно использовать признак Даламбера.

 

    Пример. Исследовать на сходимость ряд

Применяем признак Даламбера:

.

Получаем, что этот ряд сходится при и расходится при .

Теперь определим сходимость в граничных точках 1 и –1.

При х = 1:  ряд сходится по признаку Лейбница (см. Признак Лейбница).

При х = -1:  ряд расходится (гармонический ряд).

 

Теоремы Абеля.

(Нильс Хенрик Абель (1802 – 1829) – норвежский математик)

    Теорема. Если степенной ряд  сходится при x = x ₁, то он сходится и притом абсолютно для всех .

 

    Доказательство. По условию теоремы, так как члены ряда ограничены, то

где k - некоторое постоянное число. Справедливо следующее неравенство:

Из этого неравенства видно, что при x < x ₁ численные величины членов нашего ряда будут меньше (во всяком случае не больше) соответствующих членов ряда правой части записанного выше неравенства, которые образуют геометрическую прогрессию. Знаменатель этой прогрессии  по условию теоремы меньше единицы, следовательно, эта прогрессия представляет собой сходящийся ряд.

Поэтому на основании признака сравнения делаем вывод, что ряд  сходится, а значит ряд  сходится абсолютно.

 

Таким образом, если степенной ряд сходится в точке х₁, то он абсолютно сходится в любой точке интервала длины 2  с центром в точке х = 0.

 

Следствие. Если при х = х₁ ряд расходится, то он расходится для всех .

 

Таким образом, для каждого степенного ряда существует такое положительное число R, что при всех х таких, что  ряд абсолютно сходится, а при всех ряд расходится. При этом число R называется радиусом сходимости. Интервал (-R, R) называется интервалом сходимости.

Отметим, что этот интервал может быть как замкнутым с одной или двух сторон, так и не замкнутым.

Радиус сходимости может быть найден по формуле:

    Пример. Найти область сходимости ряда

Находим радиус сходимости .

Следовательно, данный ряд сходится при любом значении х. Общий член этого ряда стремится к нулю.

 

    Теорема. Если степенной ряд  сходится для положительного значения х=х₁, то он сходится равномерно в любом промежутке внутри .

 

 

24.2. Действия со степенными рядами.

 

Доцент Митянок.

УО»ПОЛЕССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

            ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ 1курс(2 семестр).

Лекция 11. Исследование функций с помощью производной.

11.1. Возрастание и убывание функций.

    Теорема. 1) Если функция f (x) имеет производную на отрезке [ a, b ] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f ¢ (x) ³ 0.

                         2) Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ] и дифференцируема на промежутке (а, b), причем f ¢ (x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [ a, b ].

 

    Доказательство.

1) Если функция f(x) возрастает, то f(x + Dx) > f(x) при Dx>0 и f(x + Dx) < f(x) при Dх<0,

тогда:

 

2) Пусть f¢(x)>0 для любых точек х₁ и х₂, принадлежащих отрезку [a, b], причем x₁<x₂.

        

    Тогда по теореме Лагранжа: f(x₂) – f(x₁) = f¢(e)(x₂ – x₁), x₁ < e < x₂

По условию f¢(e)>0, следовательно, f(x₂) – f(x₁) >0, т.е. функция f(x) возрастает.

 

Теорема доказана.

 

    Аналогично можно сделать вывод о том, что если функция f(x) убывает на отрезке [a, b], то f¢(x)£0 на этом отрезке. Если f¢(x)<0 в промежутке (a, b), то f(x) убывает на отрезке [a, b].

    Конечно, данное утверждение справедливо, если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b).

 

    Доказанную выше теорему можно проиллюстрировать геометрически:

 

    y                                                   y

 

                j       j                                                                             j        j

                                          x                                                    x

 

 

11.2. Точки экстремума.

 

    Определение. Функция f(x) имеет в точке х₁ максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х₁. Функция f(x) имеет в точке х₂ минимум, если f(x₂ +Dx) > f(x₂) при любом Dх (Dх может быть и отрицательным).

 

    Очевидно, что функция, определенная на отрезке может иметь максимум и минимум только в точках, находящихся внутри этого отрезка. Нельзя также путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением на отрезке – это понятия принципиально различные.

 

    Определение. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

 

    Теорема. (необходимое условие существования экстремума) Если функция f (x) дифференцируема в точке х = х₁ и точка х₁ является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.

 

    Доказательство. Предположим, что функция f(x) имеет в точке х = х₁ максимум.

    Тогда при достаточно малых положительных Dх>0 верно неравенство:

, т.е.

    Тогда

    По определению:

 

Т.е. если Dх®0, но Dх<0, то f¢(x₁) ³ 0, а если Dх®0, но Dх>0, то f¢(x₁) £ 0.

 

    А возможно это только в том случае, если при Dх®0 f¢(x₁) = 0.

 

Для случая, если функция f(x) имеет в точке х₂ минимум теорема доказывается аналогично.

Теорема доказана.

 

Следствие. Обратное утверждение неверно. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум. Красноречивый пример этого – функция у = х³, производная которой в точке х = 0 равна нулю, однако в этой точке функция имеет только перегиб, а не максимум или минимум.

 

Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

 

Рассмотренная выше теорема дает нам необходимые условия существования экстремума, но этого недостаточно.

 

1. Пример: f(x) = ôxô                                          2. Пример: f(x) =   

 

              y                                                                        y

 

 

                                                                                                            x

 

                                          x

                                                       

1. В точке х = 0 функция имеет минимум, но не имеет производной.

2. В точке х = 0 функция не имеет ни максимума, ни минимума, ни                                                                                                     производной.

    Вообще говоря, функция f(x) может иметь экстремум в точках, где производная не существует или равна нулю.

    Теорема. (Достаточные условия существования экстремума)

    Пусть функция f (x) непрерывна в интервале (a, b), который содержит критическую точку х₁, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки х₁).

    Если при переходе через точку х₁ слева направо производная функции f ¢ (x) меняет знак с “+” на “-“, то в точке х = х₁ функция f (x) имеет максимум, а если производная меняет знак с “-“ на “+”- то функция имеет минимум.

 

    Доказательство.  

 

Пусть

 

По теореме Лагранжа:      f (x) – f (x ₁) = f ¢ (e)(x – x ₁), где x < e < x₁.

 

    Тогда: 1) Если х < x₁, то e < x₁; f¢(e)>0; f¢(e)(x – x₁)<0, следовательно

 

f(x) – f(x₁)<0 или f(x) < f(x₁).

 

              2) Если х > x₁, то e > x₁ f¢(e)<0; f¢(e)(x – x₁)<0, следовательно

 

f(x) – f(x₁)<0 или f(x) < f(x₁).

Т. к. ответы совпадают, то можно сказать, что f(x) < f(x₁) в любых точках вблизи х₁, т.е. х₁ – точка максимума.

 

    Доказательство теоремы для точки минимума производится аналогично.

 

Теорема доказана.

 

На основе вышесказанного можно выработать единый порядок действий при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:

 

1) Найти критические точки функции.

2) Найти значения функции в критических точках.

3) Найти значения функции на концах отрезка.

4) Выбрать среди полученных значений наибольшее и наименьшее.

 

 

11.3. Исследование функции на экстремум с помощью

производных высших порядков.

 

    Пусть в точке х = х₁ f¢(x₁) = 0 и f¢¢(x₁) существует и непрерывна в некоторой окрестности точки х₁.

 

    Теорема. Если f ¢ (x ₁) = 0, то функция f (x) в точке х = х₁ имеет максимум, если f ¢¢ (x ₁)<0 и минимум, если f ¢¢ (x ₁)>0.

 

    Доказательство.

 

    Пусть f¢(x₁) = 0 и f¢¢(x₁)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f¢¢(x₁) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х₁.

Т.к. f¢¢(x) = (f¢(x))¢ < 0, то f¢(x) убывает на отрезке, содержащем точку х₁, но f¢(x₁)=0, т.е. f¢(x) > 0 при х<x₁ и f¢(x) < 0 при x>x₁. Это и означает, что при переходе через точку х = х₁ производная f¢(x) меняет знак с “+” на “-“, т.е. в этой точке функция f(x) имеет максимум.

 

Для случая минимума функции теорема доказывается аналогично.

 

Если f¢¢(x) = 0, то характер критической точки неизвестен. Для его определения требуется дальнейшее исследование.

 

11.4. Выпуклость и вогнутость кривой.

Точки перегиба.

 

    Определение. Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная выпуклостью вверх, называется выпуклой, а кривая, обращенная выпуклостью вниз – называется вогнутой.

 

                                          у

 

                                                                                                  x

 

    На рисунке показана иллюстрация приведенного выше определения.

 

    Теорема 1. Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f (x) отрицательна, то кривая y = f (x) обращена выпуклостью вверх (выпукла).

 

    Доказательство. Пусть х₀ Î (a, b). Проведем касательную к кривой в этой точке.

    Уравнение кривой: y = f(x);

    Уравнение касательной:

Следует доказать, что .

 

По теореме Лагранжа для f(x) – f(x₀): , x₀ < c < x.

 

 

По теореме Лагранжа для

 

Пусть х > x₀ тогда x₀ < c₁ < c < x. Т.к. x – x₀ > 0 и c – x₀ > 0, и кроме того по условию

, следовательно, .

 

Пусть x < x₀ тогда x < c < c₁ < x₀ и x – x₀ < 0, c – x₀ < 0, т.к. по условию то

.

 

    Аналогично доказывается, что если f¢¢(x) > 0 на интервале (a, b), то кривая y=f(x) вогнута на интервале (a, b).

 

Теорема доказана.

 

    Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.

 

    Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.

 

    Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением y = f (x). Если вторая производная f ¢¢ (a) = 0 или f ¢¢ (a) не существует и при переходе через точку х = а f ¢¢ (x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.

 

    Доказательство. 1) Пусть f¢¢(x) < 0 при х < a и f¢¢(x) > 0 при x > a. Тогда при

x < a кривая выпукла, а при x > a кривая вогнута, т.е. точка х = а – точка перегиба.

 

2) Пусть f¢¢(x) > 0 при x < b и f¢¢(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x > b – выпуклостью вверх. Тогда x = b – точка перегиба.

 

Теорема доказана.

 

 

11.5. Асимптоты.

    При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.

 

    Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.

 

    Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты могут быть прямые и наклонные. Исследование функций на наличие асимптот имеет большое значение и позволяет более точно определить характер функции и поведение графика кривой.

 

    Вообще говоря, кривая, неограниченно приближаясь к своей асимптоте, может и пересекать ее, причем не в одной точке, как показано на приведенном ниже графике функции . Ее наклонная асимптота у = х.

 

   

 

    Рассмотрим подробнее методы нахождения асимптот кривых.

 

Вертикальные асимптоты.

 

    Из определения асимптоты следует, что если  или  или , то прямая х = а – асимптота кривой y = f(x).

 

    Например, для функции  прямая х = 5 является вертикальной асимптотой.

 

Наклонные асимптоты.

 

    Предположим, что кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту y = kx + b.

 

 

M

 

                                                   j

 

                                                                   N        

                                                   j                   P

                                                                          

                                                                       Q

    Обозначим точку пересечения кривой и перпендикуляра к асимптоте – М, Р – точка пересечения этого перпендикуляра с асимптотой. Угол между асимптотой и осью Ох обозначим j. Перпендикуляр МQ к оси Ох пересекает асимптоту в точке N.

 

    Тогда MQ = y – ордината точки кривой, NQ =  - ордината точки N на асимптоте.

 

    По условию: , ÐNMP = j, .

Угол j - постоянный и не равный 90⁰, тогда

 

 

Тогда .

 

Итак, прямая y = kx + b – асимптота кривой. Для точного определения этой прямой необходимо найти способ вычисления коэффициентов k и b.

 

    В полученном выражении выносим за скобки х:

 

Т.к. х®¥, то , т.к. b = const, то .

 

Тогда , следовательно,  

 

.

 

Т.к. , то , следовательно,

 

 

    Отметим, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при k =0.

 

    Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

 

1) Вертикальные асимптоты: y®+¥ x®0-0: y®-¥ x®0+0, следовательно, х = 0- вертикальная асимптота.

 

2) Наклонные асимптоты:

 

 

Таким образом, прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой.

 

 

Построим график функции:

 

 

    Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

 

Прямые х = 3 и х = -3 являются вертикальными асимптотами кривой.

 

Найдем наклонные асимптоты:

y = 0 – горизонтальная асимптота.

 

 

        

 

Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

 

Прямая х = -2 является вертикальной асимптотой кривой.

 

Найдем наклонные асимптоты.

 

 

Итого, прямая у = х – 4 является наклонной асимптотой.

 

 

11.6. Общая схема исследования функций

 

    Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:

 

1) Область существования функции.

Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.

2) Точки разрыва. (Если они имеются).

3) Интервалы возрастания и убывания.

4) Точки максимума и минимума.

5) Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.

6) Области выпуклости и вогнутости.

7) Точки перегиба.(Если они имеются).

8) Асимптоты.(Если они имеются).

9) Построение графика.

 

Применение этой схемы рассмотрим на примере.

 

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

 

Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥).

В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой.

Областью значений данной функции является интервал (-¥; ¥).

Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1.

Находим критические точки.

Найдем производную функции

 

Критические точки: x = 0; x = - ; x = ; x = -1; x = 1.

 

Найдем вторую производную функции

.

 

    Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.

 

-¥ < x < - , y¢¢ < 0, кривая выпуклая

-  < x < -1,  y¢¢ < 0, кривая выпуклая

-1 < x < 0,       y¢¢ > 0, кривая вогнутая

 0 < x < 1,        y¢¢ < 0, кривая выпуклая

 1 < x < ,    y¢¢ > 0, кривая вогнутая

 < x < ¥,   y¢¢ > 0, кривая вогнутая

 

Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.

 

-¥ < x < - , y¢ > 0, функция возрастает

-  < x < -1,  y¢ < 0, функция убывает

-1 < x < 0,       y¢ < 0, функция убывает

 0 < x < 1,        y¢ < 0, функция убывает

 1 < x < ,    y¢ < 0, функция убывает

 < x < ¥,   y¢¢ > 0, функция возрастает

 

    Видно, что точка х = -  является точкой максимума, а точка х =  является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно 3 /2 и -3 /2.

 

    Про вертикальные асимптоты было уже сказано выше. Теперь найдем наклонные асимптоты.

 

    Итого, уравнение наклонной асимптоты – y = x.

 

Построим график функции:

 

 

    Ниже рассмотрим несколько примеров исследования методами дифференциального исчисления различных типов функций.

 

 

    Пример: Методами дифференциального исчисления исследовать функцию  и построить ее график.

 

1. Областью определения данной функции являются все действительные числа (-¥; ¥).

2. Функция является функцией общего вида в смысле четности и нечетности.

3. Точки пересечения с координатными осями: c осью Оу: x = 0; y = 1;

                                                       с осью Ох: y = 0; x = 1;

4. Точки разрыва и асимптоты: Вертикальных асимптот нет.

Наклонные асимптоты: общее уравнение y = kx + b;

Итого: у = -х – наклонная асимптота.

 

5. Возрастание и убывание функции, точки экстремума.

. Видно, что у¢< 0 при любом х ¹ 0, следовательно, функция убывает на всей области определения и не имеет экстремумов. В точке х = 0 первая производная функции равна нулю, однако в этой точке убывание не сменяется на возрастание, следовательно, в точке х = 0 функция скорее всего имеет перегиб. Для нахождения точек перегиба, находим вторую производную функции.

 

y¢¢ = 0 при х =0 и y¢¢ = ¥ при х = 1.

Точки (0,1) и (1,0) являются точками перегиба, т.к. y¢¢(1-h) < 0; y¢¢(1+h) >0; y¢¢(-h) > 0; y¢¢(h) < 0 для любого h > 0.

 

6. Построим график функции.

 

 

    Пример: Исследовать функцию  и построить ее график.

 

1. Областью определения функции являются все значения х, кроме х = 0.

2. Функция является функцией общего вида в смысле четности и нечетности.

3. Точки пересечения с координатными осями: c осью Ох: y = 0; x =

                                                       с осью Оу: x = 0; y – не существует.

4. Точка х = 0 является точкой разрыва , следовательно, прямая х = 0 является вертикальной асимптотой.

Наклонные асимптоты ищем в виде: y = kx + b.

Наклонная асимптота у = х.

 

5. Находим точки экстремума функции.

; y¢ = 0 при х = 2, у¢ = ¥ при х = 0.

y¢ > 0 при х Î (-¥, 0) – функция возрастает, 

y¢ < 0 при х Î (0, 2) – функция убывает,

у¢ > 0 при х Î (2, ¥) – функция возрастает.

Таким образом, точка (2, 3) является точкой минимума.

Для определения характера выпуклости/вогнутости функции находим вторую производную.

 > 0 при любом х ¹ 0, следовательно, функция вогнутая на всей области определения.

 

6. Построим график функции.

 

 

 

    Пример: Исследовать функцию  и построить ее график.

 

1. Областью определения данной функции является промежуток х Î (-¥, ¥).

2. В смысле четности и нечетности функция является функцией общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат: с осью Оу: x = 0, y = 0;

 с осью Ох: y = 0, x = 0, x = 1.

4. Асимптоты кривой.

Вертикальных асимптот нет.

Попробуем найти наклонные асимптоты в виде y = kx + b.

 - наклонных асимптот не существует.

 

5. Находим точки экстремума.

Для нахождения критических точек следует решить уравнение 4х³ – 9х² +6х –1 = 0.

Для этого разложим данный многочлен третьей степени на множители.

Подбором можно определить, что одним из корней этого уравнения является число

х = 1. Тогда:

                                                4x³ – 9x² + 6x – 1 x - 1

                              ` 4x³ – 4x²           4x² – 5x + 1

                                                      - 5x² + 6x

                                                ` - 5x² + 5x

                                                          x - 1

                                            ` x - 1

                                                       0

 

Тогда можно записать (х – 1)(4х² – 5х + 1) = 0. Окончательно получаем две критические точки: x = 1 и x = ¼.

 

Примечание. Операции деления многочленов можно было избежать, если при нахождении производной воспользоваться формулой производной произведения:

 

Найдем вторую производную функции: 12x² – 18x + 6. Приравнивая к нулю, находим:

x = 1, x = ½.

 

Систематизируем полученную информацию в таблице:

 

 

	(-¥; ¼)	1/4	(¼; ½)	1/2	(½; 1)	1	(1; ¥)
f¢¢(x)	+	+	+	0	-	0	+
f¢(x)	-	0	+	+	+	0	+
f(x)	убывает вып. вниз	min	возрастает вып. вниз	перегиб	возрастает вып. вверх	перегиб	возрастает вып. вниз

 

 

6. Построим график функции.