Лекция 20. Производная и дифференциал функции нескольких переменных.

 

20.1. Частные производные.

    Определение. Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х, у) и зададим приращение Dх к переменной х. Тогда величина D_xz = f(x + Dx, y) – f(x, y) называется частным приращением функции по х.

 

    Можно записать

.

 

 

    Тогда  называется частной производной функции z = f(x, y) по х.

Обозначение:

 

    Аналогично определяется частная производная функции по у.

 

    Геометрическим смыслом частной производной (допустим ) является тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке N₀(x₀, y₀, z₀) к сечению поверхности плоскостью у = у₀.

 

 

20.2. Полное приращение и полный дифференциал.

    Определение. Для функции f(x, y) выражение Dz = f(x + Dx, y + Dy) – f(x, y) называется полным приращением.

 

    Если функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные, то

   

Применим теорему Лагранжа (см. Теорема Лагранжа) к выражениям, стоящим в квадратных скобках.

здесь

 

    Тогда получаем

 

Т.к. частные производные непрерывны, то можно записать равенства:

 

    Определение. Выражение  называется полным приращением функции f(x, y) в некоторой точке (х, у), где a₁ и a₂ – бесконечно малые функции при Dх ® 0 и Dу ® 0 соответственно.

    Определение: Полным дифференциалом функции z = f(x, y) называется главная линейная относительно Dх и Dу приращения функции Dz в точке (х, у).

 

    Для функции произвольного числа переменных:

 

    Пример. Найти полный дифференциал функции .

 

 

 

 

    Пример. Найти полный дифференциал функции

 

 

 

20.3. Геометрический смысл полного дифференциала.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

 

 

                       нормаль

 

                                          N

                                                   j      N₀

                                     

 

 

              касательная плоскость

 

 

    Пусть N и N₀ – точки данной поверхности. Проведем прямую NN₀. Плоскость, которая проходит через точку N₀, называется касательной плоскостью к поверхности, если угол между секущей NN₀ и этой плоскостью стремится к нулю, когда стремится к нулю расстояние NN₀.

 

    Определение. Нормалью к поверхности в точке N₀ называется прямая, проходящая через точку N₀ перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности.

 

    В какой – либо точке поверхность имеет, либо только одну касательную плоскость, либо не имеет ее вовсе.

 

    Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), где f(x, y) – функция, дифференцируемая в точке М₀(х₀, у₀), касательная плоскость в точке N₀(x₀,y_0,(x₀,y₀)) существует и имеет уравнение:

.

 

    Уравнение нормали к поверхности в этой точке:

    Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных f(x, y) в точке (х₀, у₀) является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х₀, у₀) к точке (х₀+Dх, у₀+Dу).

    Как видно, геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной.

 

    Пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

в точке М(1, 1, 1).

 

 

    Уравнение касательной плоскости:

 

    Уравнение нормали:

 

 

20.4. Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала.

 

    Пусть функция f(x, y) дифференцируема в точке (х, у). Найдем полное приращение этой функции:

    Если подставить в эту формулу выражение

то получим приближенную формулу:

 

    Пример. Вычислить приближенно значение , исходя из значения функции  при x = 1, y = 2, z = 1.

 

    Из заданного выражения определим Dx = 1,04 – 1 = 0,04, Dy = 1,99 – 2 = -0,01,

Dz = 1,02 – 1 = 0,02.

    Найдем значение функции u(x, y, z) =

Находим частные производные:

Полный дифференциал функции u равен:

 

 

 

    Точное значение этого выражения: 1,049275225687319176.

 

20.5. Частные производные высших порядков.

 

    Если функция f(x, y) определена в некоторой области D, то ее частные производные  и  тоже будут определены в той же области или ее части.

    Будем называть эти производные частными производными первого порядка.

Производные этих функций будут частными производными второго порядка.

 

Продолжая дифференцировать полученные равенства, получим частные производные более высоких порядков.

 

Определение. Частные производные вида и т.д. называются смешанными производными.

 

Теорема. Если функция f(x, y) и ее частные производные  определены и непрерывны в точке М(х, у) и ее окрестности, то верно соотношение:

.

    Т.е. частные производные высших порядков не зависят от порядка дифференцирования.

 

    Аналогично определяются дифференциалы высших порядков.

 

…………………

    Здесь n – символическая степень производной, на которую заменяется реальная степень после возведения в нее стоящего с скобках выражения.