Лекция 21. Экстремум функции нескольких переменных.

 

21.1. Необходимое и достаточное условие экстремума.

 

    Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М₀(х₀, у₀) верно неравенство

то точка М₀ называется точкой максимума.

    Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М₀(х₀, у₀) верно неравенство

то точка М₀ называется точкой минимума.

    Теорема. (Необходимые условия экстремума).

Если функция f(x,y) в точке (х₀, у₀) имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производные первого порядка равны нулю , либо хотя бы одна из них не существует.

    Эту точку (х₀, у₀) будем называть критической точкой.

 

    Теорема. (Достаточные условия экстремума).

    Пусть в окрестности критической точки (х₀, у₀) функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Рассмотрим выражение:

1) Если D(x₀, y₀) > 0, то в точке (х₀, у₀) функция f(x, y) имеет экстремум, если

 - максимум, если  - минимум.

2) Если D(x₀, y₀) < 0, то в точке (х₀, у₀) функция f(x, y) не имеет экстремума

В случае, если D = 0, вывод о наличии экстремума сделать нельзя.

        

 

21.2. Условный экстремум.

 

    Условный экстремум находится, когда переменные х и у, входящие в функцию u = f(x, y), не являются независимыми, т.е. существует некоторое соотношение

j(х, у) = 0, которое называется уравнением связи.

    Тогда из переменных х и у только одна будет независимой, т.к. другая может быть выражена через нее из уравнения связи.

    Тогда u = f(x, y(x)).

В точках экстремума:

                                                        =0                                               (1)

Кроме того:

                                                                                                                   (2)

Умножим равенство (2) на число l и сложим с равенством (1).

 

 

 

    Для выполнения этого условия во всех точках найдем неопределенный коэффициент l так, чтобы выполнялась система трех уравнений:

    Полученная система уравнений является необходимыми условиями условного экстремума. Однако это условие не является достаточным. Поэтому при нахождении критических точек требуется их дополнительное исследование на экстремум.

    Выражение u = f(x, y) + lj(x, y) называется функцией Лагранжа.

    Пример. Найти экстремум функции f(x, y) = xy, если уравнение связи:

2x + 3y – 5 = 0

 

    Таким образом, функция имеет экстремум в точке .

Использование функции Лагранжа для нахождения точек экстремума функции называется также методом множителей Лагранжа.

Выше мы рассмотрели функцию двух переменных, однако, все рассуждения относительно условного экстремума могут быть распространены на функции большего числа переменных.

 

 

21.3. Производная по направлению.

 

 

Рассмотрим функцию u(x, y, z) в точке М(x, y, z) и точке М₁(x + Dx, y + Dy, z + Dz).

 Проведем через точки М и М₁ вектор . Углы наклона этого вектора к направлению координатных осей х, у, z обозначим соответственно a, b, g. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора .

    Расстояние между точками М и М₁ на векторе  обозначим DS.

        

 

    Высказанные выше предположения, проиллюстрируем на рисунке:

                                                        z

 

                                                                         M                   

 

 

                                                                     

                                                                 

                                                                                                         M₁

                                                                           

                                                                                        

                                                                                                                          y

 

                           x

 

    Далее предположим, что функция u(x, y, z) непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным х, у и z. Тогда правомерно записать следующее выражение:

 

,

 

где величины e₁, e₂, e₃ – бесконечно малые при .

    Из геометрических соображений очевидно:

 

 

    Таким образом, приведенные выше равенства могут быть представлены следующим образом:

 

;

 

 

 

    Заметим, что величина s является скалярной. Она лишь определяет направление вектора .

    Из этого уравнения следует следующее определение:

 

 

    Определение: Предел   называется производной функции u (x, y, z) по направлению вектора   в точке с координатами (x, y, z).

 

    Поясним значение изложенных выше равенств на примере.

 

 

    Пример. Вычислить производную функции z = x² + y²x в точке А(1, 2) по направлению вектора . В (3, 0).

 

    Решение. Прежде всего необходимо определить координаты вектора .

 

=(3-1; 0-2) = (2; -2) = 2 .

Далее определяем модуль этого вектора:

 

=

Находим частные производные функции z в общем виде:

 

Значения этих величин в точке А:

 

Для нахождения направляющих косинусов вектора  производим следующие преобразования:

=

За величину  принимается произвольный вектор, направленный вдоль заданного вектора, т.е. определяющего направление дифференцирования.

Отсюда получаем значения направляющих косинусов вектора :

cosa = ;      cosb = -

 

Окончательно получаем:  - значение производной заданной функции по направлению вектора .

 

21.4. Градиент.

 

    Определение: Если в некоторой области D задана функция u = u(x, y, z) и некоторый вектор, проекции которого на координатные оси равны значениям функции u в соответствующей точке

,

то этот вектор называется градиентом функции u.

 

 

    При этом говорят, что в области D задано поле градиентов.

 

21.5. Связь градиента с производной по направлению.

 

    Теорема: Пусть задана функция u = u (x, y, z) и поле градиентов

.

Тогда производная  по направлению некоторого вектора  равняется проекции вектора gradu на вектор .

 

 

    Доказательство: Рассмотрим единичный вектор  и некоторую функцию u = u(x, y, z) и найдем скалярное произведение векторов  и gradu.

    Выражение, стоящее в правой части этого равенства является производной функции u по направлению s.

    Т.е. . Если угол между векторами gradu и  обозначить через j, то скалярное произведение можно записать в виде произведения модулей этих векторов на косинус угла между ними. С учетом того, что вектор  единичный, т.е. его модуль равен единице, можно записать:

    Выражение, стоящее в правой части этого равенства и является проекцией вектора grad u на вектор .

 

Теорема доказана.

 

    Для иллюстрации геометрического и физического смысла градиента скажем, что градиент – вектор, показывающий направление наискорейшего изменения некоторого скалярного поля u в какой- либо точке. В физике существуют такие понятия как градиент температуры, градиент давления и т.п. Т.е. направление градиента есть направление наиболее быстрого роста функции.

    С точки зрения геометрического представления градиент перпендикулярен поверхности уровня функции.

 

 

22.1. Основные определения.

    Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности  называется числовым рядом.

При этом числа  будем называть членами ряда, а u_n – общим членом ряда.

 

    Определение. Суммы , n = 1, 2, … называются частными (частичными) суммами ряда.

    Таким образом, возможно рассматривать последовательности частичных сумм ряда S ₁, S ₂, …, S_n, …

    Определение. Ряд  называется сходящимся, если сходится последовательность его частных сумм. Сумма сходящегося ряда – предел последовательности его частных сумм.

 

    Определение. Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакой суммы.

 

22.2. Свойства рядов.

        

    1) Сходимость или расходимость ряда не нарушится если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда.

    2) Рассмотрим два ряда  и , где С – постоянное число.

    Теорема. Если ряд сходится и его сумма равна S, то ряд тоже сходится, и его сумма равна С S. (C ¹ 0)

 

    3) Рассмотрим два ряда и . Суммой или разностью этих рядов будет называться ряд , где элементы получены в результате сложения (вычитания) исходных элементов с одинаковыми номерами.

    Теорема. Если ряды и сходятся и их суммы равны соответственно S и s, то ряд  тоже сходится и его сумма равна S + s.

Разность двух сходящихся рядов также будет сходящимся рядом.

Сумма сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом.

О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя.

    При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и нахождение суммы ряда.

 

 

22.3. Критерий Коши.

(необходимые и достаточные условия сходимости ряда)

 

    Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого  существовал такой номер N, что при n > N и любом p > 0, где р – целое число, выполнялось бы неравенство:

.

 

    Доказательство. (необходимость)

Пусть , тогда для любого числа найдется номер N такой, что неравенство

 выполняется при n>N. При n>N и любом целом p>0 выполняется также неравенство . Учитывая оба неравенства, получаем:

Необходимость доказана. Доказательство достаточности рассматривать не будем.

    Сформулируем критерий Коши для ряда.

 

    Для того, чтобы ряд был сходящимся необходимо и достаточно, чтобы для любого  существовал номер N такой, что при n > N и любом p >0 выполнялось бы неравенство

.

 

    Однако, на практике использовать непосредственно критерий Коши не очень удобно. Поэтому как правило используются более простые признаки сходимости:

 

    1) Если ряд сходится, то необходимо, чтобы общий член u_n стремился к нулю. Однако, это условие не является достаточным. Можно говорить только о том, что если общий член не стремится к нулю, то ряд точно расходится. Например, так называемый гармонический ряд  является расходящимся, хотя его общий член и стремится к нулю.

 

    Пример. Исследовать сходимость ряда

Найдем  - необходимый признак сходимости не выполняется, значит ряд расходится.

 

    2) Если ряд сходится, то последовательность его частных сумм ограничена.

Однако, этот признак также не является достаточным.

Например, ряд 1-1+1-1+1-1+ … +(-1)ⁿ⁺¹+… расходится, т.к. расходится последовательность его частных сумм в силу того, что

    Однако, при этом последовательность частных сумм ограничена, т.к.  при любом n.

 

 

22.4. Ряды с неотрицательными членами.

 

    При изучении знакопостоянных рядов ограничимся рассмотрением рядов с неотрицательными членами, т.к. при простом умножении на –1 из этих рядов можно получить ряды с отрицательными членами.

 

    Теорема. Для сходимости ряда с неотрицательными членами необходимо и достаточно, чтобы частные суммы ряда были ограничены.