Лекция 18. Приложения определенного интеграла.

18.1. Вычисление площадей плоских фигур.

 

у

 

 

                                  +           +

 

                      0 a             -         b                 x 

 

    Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x). Если график расположен ниже оси Ох, т.е. f(x) < 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) > 0, то площадь имеет знак “+”.

    Для нахождения суммарной площади используется формула .

Площадь фигуры, ограниченной некоторыми линиями может быть найдена с помощью определенных интегралов, если известны уравнения этих линий.

 

    Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x², x = 2.

 

 

    Искомая площадь (заштрихована на рисунке) может быть найдена по формуле:

(ед²)

 

18.2. Нахождение площади криволинейного сектора.

                                                                                              r = f(j)

 

 

                              b

 

                                                       

                                О         a                                       r

                                                                                                            

    Для нахождения площади криволинейного сектора введем полярную систему координат. Уравнение кривой, ограничивающей сектор в этой системе координат, имеет вид r = f(j), где r - длина радиус – вектора, соединяющего полюс с произвольной точкой кривой, а j - угол наклона этого радиус – вектора к полярной оси.

              Площадь криволинейного сектора может быть найдена по формуле

 

 

18.3. Вычисление длины дуги кривой.

 

                                          y                 y = f(x)

 

                        DS_i Dy_i

                                                                             Dx_i

 

 

                                                   a                                b       x

 

Длина ломаной линии, которая соответствует дуге, может быть найдена как .

Тогда длина дуги равна .

Из геометрических соображений:

В то же время

Тогда можно показать, что

Т.е.

Если уравнение кривой задано параметрически, то с учетом правил вычисления производной параметрически заданной, получаем

,

где х = j(t) и у = y(t).

    Если задана пространственная кривая, и х = j(t), у = y(t) и z = Z(t), то

 

 

    Если кривая задана в полярных координатах, то

, r = f(j).

 

    Пример: Найти длину окружности, заданной уравнением x² + y² = r².

 

1 способ.  Выразим из уравнения переменную у.

Найдем производную

Тогда

Тогда S = 2pr. Получили общеизвестную формулу длины окружности.

 

2 способ. Если представить заданное уравнение в полярной системе координат, то получим: r²cos²j + r²sin²j = r², т.е. функция r = f(j) = r,  тогда

 

 

18.4. Вычисление объемов тел.

 

Вычисление объема тела по известным площадям его параллельных сечений.

 

                                    Q(x_i-1)              

Q(x_i)

 

 

                       a            x_i-1            x_i                                   b                 x

 

    Пусть имеется тело объема V. Площадь любого поперечного сечения тела Q, известна как непрерывная функция Q = Q(x). Разобьем тело на “слои” поперечными сечениями, проходящими через точки х_i разбиения отрезка [a, b]. Т.к. на каком- либо промежуточном отрезке разбиения [x_i-1, x_i] функция Q(x) непрерывна, то принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Обозначим их соответственно M_i и m_i.

    Если на этих наибольшем и наименьшем сечениях построить цилиндры с образующими, параллельными оси х, то объемы этих цилиндров будут соответственно равны M_iDx_i и m_iDx_i здесь Dx_i = x_i - x_i-1.

    Произведя такие построения для всех отрезков разбиения, получим цилиндры, объемы которых равны соответственно  и .

    При стремлении к нулю шага разбиения l, эти суммы имеют общий предел:

Таким образом, объем тела может быть найден по формуле:

    Недостатком этой формулы является то, что для нахождения объема необходимо знать функцию Q(x), что весьма проблематично для сложных тел.

 

    Пример: Найти объем шара радиуса R.

                                                             y

 

 

 

                                                        R  y

 

                                          -R 0     x  R     x

 

 

В поперечных сечениях шара получаются окружности переменного радиуса у. В зависимости от текущей координаты х этот радиус выражается по формуле .

Тогда функция площадей сечений имеет вид: Q(x) = .

Получаем объем шара:

.

 

    Пример: Найти объем произвольной пирамиды с высотой Н и площадью основания S.

 

 

                                                   Q               S

 

                                                   x        H                 x

 

    При пересечении пирамиды плоскостями, перпендикулярными высоте, в сечении получаем фигуры, подобные основанию. Коэффициент подобия этих фигур равен отношению x/H, где х – расстояние от плоскости сечения до вершины пирамиды.

    Из геометрии известно, что отношение площадей подобных фигур равно коэффициенту подобия в квадрате, т.е.

Отсюда получаем функцию площадей сечений:

Находим объем пирамиды:

 

18.5. Объем тел вращения.

 

    Рассмотрим кривую, заданную уравнением y = f(x). Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим так называемое тело вращения.

 

                                                   y = f(x)

 

 

                                                                                         x

 

Т.к. каждое сечение тела плоскостью x = const представляет собой круг радиуса , то объем тела вращения может быть легко найден по полученной выше формуле:

 

 

18.6. Площадь поверхности тела вращения.

 

                                          М_i                B

 

                                 А

 

                                                                                    х

                                          x_i

 

 

    Определение: Площадью поверхности вращения кривой АВ вокруг данной оси называют предел, к которому стремятся площади поверхностей вращения ломаных, вписанных в кривую АВ, при стремлении к нулю наибольших из длин звеньев этих ломаных.

 

    Разобьем дугу АВ на n частей точками M₀, M₁, M₂, …, M_n. Координаты вершин полученной ломаной имеют координаты x_i и y_i. При вращении ломаной вокруг оси получим поверхность, состоящую из боковых поверхностей усеченных конусов, площадь которых равна DP_i. Эта площадь может быть найдена по формуле:

Здесь DS_i – длина каждой хорды.

Применяем теорему Лагранжа (см. Теорема Лагранжа) к отношению .

Получаем:

Тогда

     

Площадь поверхности, описанной ломаной равна:

Эта сумма не является интегральной, но можно показать, что