II. Оценка коэффициентов парной линейной регрессии

Предполагают, что связь между x и y линейна, т. е. . Здесь имеется в виду то, что существует связь для переменных генеральной совокупности.

Однако наличие существующих возмущений, учтенных и неучтенных фактов, а также, принимая во внимание изменчивость статистических наблюдений параметров, на практике имеют:

В этой связи задача может быть сформулирована следующим образом — по имеющимся наблюдениям факторов  оценить параметры , обеспечивая при этом min величины критерия Q.

В то же время, если а является оценкой параметра , а b — параметр , то оцениваемое уравнение регрессии будет преобразовано в вид:

      

При этом рассмотрим процедуру оценивания а и b парной линейной регрессией.

В соответствии с МНК критерий близости будет выражен:

Для данной функции двух независимых переменных необходимое условие существования экстремума, т. е.:

В точке стационарности частные производные должны обращаться в 0.

Представленную систему представим в более удобной для анализа форме:

                                         (1)

                                      (2)

Проанализируем соотношение вида (1).

Обе части уравнения разделим на n.

С учётом того, что

уравнение (1) можно представить в виде:

или в более удобном виде:

                                                    (3)

Таким образом линия регрессии проходит через точку со средними значениями x и y .

Вполне очевидно, что из (3) соотношения имеют:

 — оценка свободного члена линии регрессии        (4)

Тогда для нахождения значения параметра b необходимо а из соотношения (4) подставить в выражение (2).

Записывая это выражение в более удобном для анализа виде, имеют:

Определяя из последнего соотношения b, имеют:

                                                    (5)

Соотношения (4) и (5) позволяют получить параметры а и b линии регрессии. При этом, будет решена первая задача исследования, а именно задача спецификации уравнения регрессии.

 

 

Уравнения задачи спецификации:

Оценка адекватности математической модели

 

Необходимо иметь ввиду, что пока количественно не будут оценены параметры регрессии и не будет выполнена процедура проверки сделанных оценок, форма линии регрессии остается гипотезой.

Оценка значений параметров выбранной формы уравнения регрессии называется процессом параметризации уравнения регрессии.

Однако следует иметь ввиду (на I этапе) необходимо выполнить анализ полученного уравнения регрессии.

Например, исследуя функцию спроса на телятину в одной из европейских стран, получено следующее уравнение регрессии: y = 1,2 – 1,3 ∙ x.

Полученное уравнение спроса на телятину как функция цены телятины показывает, если предположить, что при прочих равных условиях цена на телятину возрастет на 1%, то спрос на нее упадет на 1,3%.