Из курсов “основы экономической теории”, “макроэкономика”, “микроэкономика” вам известно,что между различными экономическими показателями существует определенная зависимость.

Дн і пропетровс ь к

2014

Економетрика: конспект лекцій / Укл.: Г.Г.Швачич, М.С. Сазонова. – Дніпропетровськ: Національна металургійна академія України, 2014. – с.

        

Укладачі: Г.Г. Швачич, д.т.н., доц., зав. кафедри прикладної математики

                     та обчислювальної техніки;

 

                  М.С. Сазонова, к.ф.-м.н., доц. кафедри прикладної математики

         та обчислювальної техніки

 

Затверджено на засіданні кафедри

Протокол № від..2014 р.

 

Відповідальний за випуск: Г.Г. Швачич, д.т.н., доц., зав. кафедри прикладної математики та обчислювальної техніки.

 

 

ЗМІСТ

 

 

 

Предмет и задачи эконометрики

Эластичность функции

Понятие эластичности впервые было введено Аланом Маршаллом, в связи с анализом функции D.

Маршалл ставил следующую задачу, как изменится спрашиваемое количество D, если соответствующая цена P на некоторые блага изменится на 1 ед.

Рассмотрим представленную проблему математически: пусть величина y зависит от некоторого аргумента x, т. е. между ними будет существовать функциональная связь y = f (x). Вполне очевидно, что в силу этой функциональной связи изменение аргумента на всей величине Δ х, приведет к изменению величины y на Δ y.

Тогда возникает вопрос: — как измерить чувствительность функции y к изменению аргумента х.

Одним из методов измерения такой чувствительности служит производная функции:

Однако в экономике этот показатель неудобен, в связи с тем, что он зависит от единицы измерения.

В этой связи для изучения функции эластичности необходимо вводить безразмерную величину. Таким образом, в экономике исследуют связь не абсолютных, а относительных величин.

Поэтому от абсолютных изменений сопоставляемых при анализе величин Δ х, Δ y не обходимо перейти к относительным:  и  соответственно.

Итак, эластичность функции показывает предел отношений относительных изменений переменных х и y.

Другими словами, эластичность функции — это безразмерная величина, которая показывает возможность функции реагировать на изменение аргумента х. Если эластичность  функции y по переменной x обозначить , то используя определение эластичности, получаем:

Таким образом, эластичность — коэффициент пропорциональности между относительными изменениями аргумента и функции.

С точки зрения экономики эластичность означает: на какой процент изменится спрашиваемое количество, если цена изменится на 1%.

Виды эластичности спроса

1. Ценовая эластичность спроса - эластичность функции спроса D по переменной (цене) Р:

Вполне очевидно, что такая функция показывает, как изменится количество, если цена изменится на 1 единицу. Так как при возрастании цены спрос падает, эластичность функции D по Р будет функцией отрицательной:

Для простоты знак минус опускают и работают с абсолютным значением (модулем) коэффициента эластичности.

Если  — спрос называют эластичным.

С точки зрения экономики спрос называют эластичным, если степень изменения объёма спроса больше исходного изменения цены.  значительно больше 1 обычно имеют предметы роскоши.

Если  — говорят, что спрос неэластичен.

С точки зрения экономики это обстоятельство можно интерпретировать следующим образом — степень изменения объёма спроса меньше исходного изменения цены.

Неэластичный спрос характерен для благ низшего уровня (то, без чего человек не может обойтись),т.е. предметы первой необходимости.

Если  , т.е. при единичной эластичности, исходное изменение цены и ответная реакция спроса совпадают по относительной величине.

 

2. Перекрестная ценовая эластичность спроса -   перекрестная эластичность спроса по цене характеризует относительное изменение величины спроса на одно благо при изменении цены на другое благо.

Положительная перекрёстная эластичность характеризует отношения взаимозаменяемости товаров, отрицательная перекрёстная эластичность означает отношения взаимодополняемости данных товаров.

3. Эластичность спроса (D) по доходу (I)

Обозначим  - эластичность функции спроса D по доходу (I). Тогда:

.

Такая величина характеризует относительное изменение объёма спроса на товар, при изменении относительного дохода потребителя на этот товар.

Положительная эластичность спроса по доходу означает, что данный потребитель считает данный товар полноценным (нормальным, качественным) (и увеличивает его закупки при возрастании своего дохода), а отрицательная — неполноценным (товаром низшей категории, некачественным) (и при росте дохода сокращает его потребление).

С точки зрения экономики высокий коэффициент D по I указывает на большой вклад в экономический рост и экономика здесь имеет шансы на процветание и расширение в будущем (и наоборот, если коэффициент эластичности спроса по некоторой отрасли в соответствии со значением дохода отрицательный, то отрасль ожидает застой и перспектива сокращения производства).

Функция предложения (S)

Как и в случае спроса, предложение товара можно рассматривать как функцию, которая показывает зависимость количества поставляемого на рынок товара от цены, сложившейся на этом рынке.

Речь здесь не идет о разовых поставках на рынок. Как правило, здесь рассматривают потоки товаров, сложившиеся в результате функционирования рынка.

В таком случае функция S (P) называется функцией предложения S или просто предложением.

Итак, тогда под статистической функцией предложения рассматриваются однородные потоки товара на рынке.

Статистическая функция S — функция, в которой количество предлагаемого товара зависит от относительной цены на этот товар.

Аксиома S. Функция S является возрастающей функцией: при растущей цене величина предложения товара неограниченно увеличивается, при снижении цены величина S падает, неограниченно приближаясь к 0.

Модели функции S

                       

    ,                                          S (Р) = C + d Р, где

 с, d — параметры связи цены и величины предложения, определяемые на основе конкретных наблюдений и статистических вычислений (в частности, методом наименьших квадратов), d - всегда положительная величина

 

 

Эластичность предложения S по Р (ценовая эластичность) показывает на какую величину изменится объём предложения S товара при изменении его цены P на 1 единицу и определяется по формуле:

Такая функция будет положительной,т.к. цена и величина предложения изменяются в одном направлении.

В статистических условиях функци S являются однородными функциями нулевого измерения относительно цены Р.

Это положение означает, что предложение труда зависит не от денежной, а от реальной заработной платы.

Однородность функции S понимают следующим образом, если цены и доходы изменятся в одной и то же пропорции, то значение предложения не изменится.

Как и в случаях функции D, так и в случае функции S, экономическая теория не дает отправных точек для нахождения форм таких функций.

Форма таких функций выявляется исключительно путем статистических исследований для определения группы товаров, однако, необходимо отметить, что экономическая теория, как правило, проводит анализ таких функций на одной координатной плоскости, а затем уже делается вывод о состоянии рынка.

Рассмотрим такой подход:

 

 

Такой подход в исследовании рынка отличается некоторой упрощенностью, но полученные результаты могут быть экстраполированы на общий многомерный случай.

Соответствующая точка пересечения E — точка равновесия P: P = 100; при P < 100 D (Р) > S (P) — на рынке наблюдается дефицит;

при P > 100 D (P) < S (P) — остаётся нереализованная продукция.

Рассмотрим вариант динамической модели рынка одного продукта (товара). Тогда возможны три варианта поведения рыночной цены P(t) во времени и три варианта характера рыночного равновесия (соответственно):

I. Характер рыночного равновесия устойчивый:

С течением времени отклонение от равновесия уменьшается и рыночная цена опять стремится к точке равновесия. Этот вариант имеет место,когда наклон кривой S более крутой, чем кривой D (эластичность предложения больше эластичности спроса)

S D

S

 

E

 

 

С течением времени отклонение от равновесия нарастает – модель «идёт вразнос». Этот вариант имеет место,когда наклон кривой S более пологий, чем кривой D (эластичность предложения меньше эластичности спроса)

II. Характер рыночного равновесия неустойчивый:

S D

 

S

 

E

P

                                                                                       

III. Рынок испытывает регулярные колебания постоянной амплитуды:

		P

С течением времени равновесие никогда не достигается и рынок колеблется вокруг точки равновесия. Этот вариант имеет место,когда наклоны кривых S и D одинаковы (эластичность предложения равна  эластичности спроса).

S

D

S D

S

E

E

 

 

В связи с тем, что траектории  рыночной цены соответствует геометрическая интерпретация, похожая на паутину (см.рис.I-III), данная динамическая модель рынка и получил название «паутинообразной модели».

 

Доверительные интервалы

Ранее обсуждались вопросы исследования выборочных значений соответствующих оценок СВ. Вполне очевидно, что на этом этапе исследований получали точечные оценки соответствующих параметров и они не могут ответить на вопрос относительно степени близости выборочных значений и истинных значений параметров.

В этой связи необходимо отметить, что более содержательные процедуры оценивания параметра связаны не с точечными, а с интервальными оценками.

При этом соответствующий интервал должен накрывать оцениваемый параметр с известной степенью достоверности. В этой связи и прибегают к понятию интервальных оценок.

 

Интервальная оценка — оценка, которая определяется двумя числами - границами интервала, содержащего оцениваемый параметр.

Необходимо отметить, что к интервальному оцениванию прибегают, прежде всего, при малых объемах исследуемых выборок.

Заметим, что теоретическое значение оцениваемого параметра является величиной не случайной, а в тоже время его оценка является случайной величиной и изменяется от выборки к выборке. Такое обстоятельство означает, что соответственная оценка является функцией случайной величиной х ₁, х ₂, х ₃,..., х _n.

Допустим, оценка параметра Q может быть представлена как , тогда на основании соответствующих наблюдений определяют две случайные величины.

Отметим, что соответствующий интервал  и  с заданной вероятностью В накрывают неслучайное значение истинного параметра . Заметим, что концы интервалов  и , как правило, находят по точечной оценке Q. Обычно здесь используется соотношение вида:

Иногда Е могут быть одинаковыми или различными.

Заметим, что утверждение, что для параметра Q совершена интервальная  оценка, означает , т.е. что для данного интервала, выбранного из множества интервалов, вероятность содержать параметр Q соответствует величине В.

 

Модель линейной регрессии

Проблема оценивания экономических переменных (проблема взаимосвязи экономических показателей) является одной из важнейших проблем экономического анализа.

Любая экономическая политика заключается в регулировании экономических показателей, и эта политика должна основываться на пониании того, как эти показатели влияют на другие переменные.

Вполне очевидно, что в рыночной экономике нельзя регулировать темп инфляции. В то же время на темп инфляции можно соответствующим образом воздействовать. Например, при помощи средств бюджетно-налоговой политики, кредитно-финансовой политики. Таким образом, становится вполне очевидно, что одни экономические переменные соответствующим образом воздействовать на другие.

Учитывая указанные обстоятельства, необходимо изучать функции предложения денег и уровня цен.

Можно отметить, что вся сфера экономических исследований в определенном смысле может быть охарактеризована как изучение взаимосвязей экономических переменных.

Инструментом для базового анализа взаимосвязи экономических переменных служат методы математической статистики и эконометрии.

Наиболее простой подход к изучению экономических переменных состоит в исследовании взаимовлияния двух переменных (х и y).

Такой подход, с одной стороны, несколько упрощает математические выкладки, а с другой стороны, позволяет в достаточно удобной форме получить соответствующие геометрические интерпретации.

Можно указать 2 типа взаимосвязи х и y.

Два типа взаимосвязи х и y:

1. В первом случае нельзя указать, какая из переменных является аргументом, а какая функцией. Тогда отмечают равноправность этих переменных и указывают статистическую взаимосвязь между ними корреляционного типа.

2. Во втором случае имеют ту ситуацию, когда переменные неравноправны, и при этом одна из них считается объясняющая (независимая, аргумент), а другая - объясняемая (зависящая, функция).

Это тот случай, когда изменение одной переменной влечет за собой изменение другой.

Снижение процентной ставки ведет к росту инвестиций, повышение валютного курса ведет к уменьшению чистого экспорта, рост дохода ведет к увеличению спроса.

Построение зависимости между показателями по данным наблюдений:

Рассматриваются два экономических показателя x и y. Целью является исследование зависимости между ними.

..........

(x_n; y_n)

 

Парная линейная регрессия

Коэффициент детерминации

 

Для анализа общего качества уравнения регрессии обычно используют коэффициент детерминации R ².

R ² — коэффициент детерминации (квадрат коэффициента множественной корреляции).

Для частного случая парной регрессии R ² — это квадрат коэффициента выборочной корреляции.

Суть R ²:

—   R ² характеризует долю вариации (разброса) зависимой переменной относительно значения аргумента.

—  другими словами, R ²  показывает какая часть колеблемости   y обусловлено колебаниями х, (а какая часть колеблемости y объясняется другими факторами (функциями), действующими избирательно.

Очевидно, чем ближе R ² к 1, тем более адекватна математическая модель (R ² = 1 — между х и y строгая линейная связь).

При некоторых исследованиях значения r = 0,9. Тогда R ² = 0,81. Это означает, что 81% общего рассеяния переменной y объясняется линейной связью с х, и только 19% рассеяния y объясняются другими функциями (действующими избирательно).

Вывод: R ² является мерой определяемости линейной регрессии и тогда, чем больше R ², тем меньше наблюдаемые значения y уклоняются от вычисленной линии регрессии.

 

 

Как для коэффициента корреляции r, так и для коэффициента детерминации R ², необходимо проводить исследования его статистической значимости. При этом здесь используют F -статистику Фишера:

Суть F -статистики Фишера:

Суть проверяемой гипотезы   Н ₀ говорит о равенстве нулю всех коэффициентов регрессии, за исключением свободного члена (b=0, тогда r = 0). Это означает, что для генеральной совокупности выдвигают значение , т. е. при этом R ² и F -статистика Фишера обращаются в 0 (R ² = 0, F = 0).

Альтернативная Н ₁ говорит о том, что не все коэффициенты уравнения регрессии обращаются в 0. Следовательно, R ² ≠ 0, и он объясняет меру рассеяния переменной y относительно переменной х.

Пусть по наблюдаемым значениям х и y вычисленное значение R ² = 0,7. При этом, в расчете используют 15 наблюдений (n = 15). Выполнить исследование статистической значимости r.

По таблице распределения Фишера с (1,13) степенями свободы и при уровне значимости 5% находят критические значения критерия Фишера:

F _кр. = 4,67

Тогда, F _набл. > F _кр., и Н ₀ отвергается. Это означает, что значение R ² статистически значимо и с вероятностью 0,95 делается вывод об адекватности принятой математической модели.

 

Для коэффициентов регрессии

Найденные по МНК из нормальной системы значения коэффициентов регрессии – это не истинные значения, а приближенные, как и все, что мы находим по статистическим данным.

Те же самые формулы для другой серии наблюдений дадут и другие результаты, немного отличающиеся.

Для истинных значений мы можем построить доверительные интервалы:

     

       Истинные значения коэффициентов с заданной вероятностью α  будут лежать в построенных интервалах.

 

I. Стандартное отклонение углового коэффициента b

Доверительный интервал

 

Принимая во внимание то обстоятельство, что уклонение наблюдаемых значений от линии регрессии распределено по нормальному закону распределено, то можно получить:

 

 

Чем меньше разброс статистических данных относительно построенной линии регрессии, тем меньше дисперсия и стандартное отклонение остатков, тем уже доверительные интервалы. 

С другой стороны размах доверительных интервалов можно уменьшить, увеличивая объем выборки n, т.е. количество наблюдений.

 

Множественная регрессия

Очень редко поведение зависимой переменной объясняется только при помощи r.

Значения экономических переменных и влияние одной переменной на другую объясняется несколькими факторами.

Регрессионная модель включающая в себя несколько независимых переменных называется моделью множественной регрессии.

В таком виде, зависимость y = f (x) интерпретируется следующим образом: х — это вектор, включающий в себя n независимых переменных:

Тогда, теоретическое уравнение регрессии будет иметь вид:

α — вектор неизвестных параметров размерности (m + 1).

Задача построения множественной регрессии тогда будет состоять в определении вектора, которые включают в себя (m + 1) компоненту. При этом, уравнение регрессии с оцененными параметрами в общем случае можно представить:

Для решения поставленной задачи вновь можно использовать метод наименьших квадратов. Реализация метода для множественной регрессии можно осуществляться тремя подходами.

 

Подходы метода наименьших квадратов:

1. В алгебраической форме, когда составляют нормированную систему уравнений.

2. В статистической форме — через соответствующие статистические зависимости находят соответствующие коэффициенты уравнения регрессии.

3. Применение матричной формы записи.

Одним из универсальных подходов в реализации метода наименьших квадратов является матричный метод.

 

Дн і пропетровс ь к

2014

Економетрика: конспект лекцій / Укл.: Г.Г.Швачич, М.С. Сазонова. – Дніпропетровськ: Національна металургійна академія України, 2014. – с.

        

Укладачі: Г.Г. Швачич, д.т.н., доц., зав. кафедри прикладної математики

                     та обчислювальної техніки;

 

                  М.С. Сазонова, к.ф.-м.н., доц. кафедри прикладної математики

         та обчислювальної техніки

 

Затверджено на засіданні кафедри

Протокол № від..2014 р.

 

Відповідальний за випуск: Г.Г. Швачич, д.т.н., доц., зав. кафедри прикладної математики та обчислювальної техніки.

 

 

ЗМІСТ

 

 

 

Предмет и задачи эконометрики

Из курсов “Основы экономической теории”, “Макроэкономика”, “Микроэкономика” вам известно,что между различными экономическими показателями существует определенная зависимость.

Например:

·
Доход – потребление.

 

· Цена на товар (P) –  спрос на товар (D).

 

 

· Кривая Лафера (зависимость уровня налоговых поступлений от уровня налоговой ставки).

 

 

Знание зависимостей такого рода обязательно для человека, занимающегося экономикой.

Но для того чтобы фирма (предприниматель) могли реально планировать свою деятельность, прогнозировать ситуацию и осуществлять управление, нужно знать не только качественный характер зависимости, но и иметь количественные соотношения, формулы с конкретными числовыми коэффициентами. Причем соотношения не общетеоретические, а описывающие ситуацию данной конкретной фирмы, и именно в данный момент времени.

Для этого строятся экономико–математические модели. Источником информации для их построения являются наблюдения над реальными социально–экономическими процессами, их качественный и количественный анализ. 

Эконометрия — фундаментальная экономико-математическая дисциплина, которая изучает методику построенияэкономико–математических моделей  на основе статистических данных о социально-экономических явлениях. 

Эти модели устанавливают конкретные количественные связи между экономическими факторами и количественно описывают динамику экономических процессов во времени.

Целью создания таких моделей являются:

1. Прогнозирование.

2. Анализ взаимовлияния экономических факторов.

3. Принятие оптимальных решений при планировании, распределении материальных, трудовых и финансовых ресурсов.

Формирование эконометрии как сравнительно молодой науки осуществляется на стыке теоретической экономики, математики и статистики.

Истоки эконометрии уходят в конец. 19 — нач. 20 вв.

В 1987 г. известный экономист-математик Парето на основе статистического изучения распределения доходов населения установил соответствующую закономерность в распределении доходов.

Такая закономерность имеет гиперболический характер и называется кривая Парето. Она определяется соотношением:

x — величина дохода;

y — численность лиц, имеющих доход > x;

a — min доход населения;

A,  — параметры, получаемые из статистических наблюдений.

Приблизительно в это время английский статистик Гукер методами корреляционного анализа выполнил исследования влияния банкротства на Берлинской товарной бирже на цену зерна.

В дальнейшем эконометрические исследования до 40 гг. сводились в основном к построению математико-статистических зависимостей. Однако в дальнейшем два основных фактора послужили бурному развитию эконометрических исследований различного рода направлений.

 

1) работы Леонтьева по балансу межотраслевых связей, а также методу «затраты—выпуск»;

2) Канторович предложил математический аппарат метода линейного программирования для исследования экономических моделей.

Обе отмеченные работы оказали огромное влияние на все направления развития теоретической экономики, с этого момента и начался качественный этап применения эконометрическтих методов в экономике.

Именно с этого момента получили развитие и стали применяться в экономических исследованиях новые разделы математики, а именно теория случайных процессов, теория массового обслуживания, теория игр, статистическое прогнозирование.

Простейшие эконометрические модели функции спроса (D)

Пусть – цена на , товар, ,

      P – индекс цен (статистическая средняя величина),

      М – общий денежный (реальный) доход,

      D – спрос на набор из i товаров, .

Тогда под экономическиразумной статистической функциейспроса D будем понимать функцию, в которой спрашиваемое количество товара D зависит от относительной цены на товар и реального дохода:

Если все цены  на товары , строго положительны, то при любом доходе М задача определения набора товаров , которые можно купить при данном доходе М и имеющего наибольшую полезность имеет единственное решение.

Это решение x ^* называется точкой спроса D и зависит как от цен , так и от М. Функция будет иметь n + 1 аргумент.

В общем случае функция спроса D — это функция, которая включат в себя n различных зависимостей и называется функцией спроса D соответствующего товара.

В общем случае при изучении этих функций можно выделить одну основную закономерность:

Закономерность: все они являются однородными функциями нулевого измерения относительно цен  на товары  и спроса М.

Последнее обстоятельство с точки зрения эконометрии означает, что статистическая функция D имеет то свойство, что спрашиваемое количество не меняется, если все  и М изменяются в одной и то же пропорции.

Итак, в общем случае функции D могут быть представлены следующими соотношениями:

,

где Р — индекс цен.

Аксиома D. Функция D является убывающей функцией аргументов . При увеличении , величина D уменьшается и наоборот.

Модели функции D:

                       

                                        D (Р) = а – b Р                                                                                       а — величина ординат;

                                                      b — угловой коэффициент

Важнейшим понятием кривой D является эластичность D.

Эластичность функции

Понятие эластичности впервые было введено Аланом Маршаллом, в связи с анализом функции D.

Маршалл ставил следующую задачу, как изменится спрашиваемое количество D, если соответствующая цена P на некоторые блага изменится на 1 ед.

Рассмотрим представленную проблему математически: пусть величина y зависит от некоторого аргумента x, т. е. между ними будет существовать функциональная связь y = f (x). Вполне очевидно, что в силу этой функциональной связи изменение аргумента на всей величине Δ х, приведет к изменению величины y на Δ y.

Тогда возникает вопрос: — как измерить чувствительность функции y к изменению аргумента х.

Одним из методов измерения такой чувствительности служит производная функции:

Однако в экономике этот показатель неудобен, в связи с тем, что он зависит от единицы измерения.

В этой связи для изучения функции эластичности необходимо вводить безразмерную величину. Таким образом, в экономике исследуют связь не абсолютных, а относительных величин.

Поэтому от абсолютных изменений сопоставляемых при анализе величин Δ х, Δ y не обходимо перейти к относительным:  и  соответственно.

Итак, эластичность функции показывает предел отношений относительных изменений переменных х и y.

Другими словами, эластичность функции — это безразмерная величина, которая показывает возможность функции реагировать на изменение аргумента х. Если эластичность  функции y по переменной x обозначить , то используя определение эластичности, получаем:

Таким образом, эластичность — коэффициент пропорциональности между относительными изменениями аргумента и функции.

С точки зрения экономики эластичность означает: на какой процент изменится спрашиваемое количество, если цена изменится на 1%.

Виды эластичности спроса

1. Ценовая эластичность спроса - эластичность функции спроса D по переменной (цене) Р:

Вполне очевидно, что такая функция показывает, как изменится количество, если цена изменится на 1 единицу. Так как при возрастании цены спрос падает, эластичность функции D по Р будет функцией отрицательной:

Для простоты знак минус опускают и работают с абсолютным значением (модулем) коэффициента эластичности.

Если  — спрос называют эластичным.

С точки зрения экономики спрос называют эластичным, если степень изменения объёма спроса больше исходного изменения цены.  значительно больше 1 обычно имеют предметы роскоши.

Если  — говорят, что спрос неэластичен.

С точки зрения экономики это обстоятельство можно интерпретировать следующим образом — степень изменения объёма спроса меньше исходного изменения цены.

Неэластичный спрос характерен для благ низшего уровня (то, без чего человек не может обойтись),т.е. предметы первой необходимости.

Если  , т.е. при единичной эластичности, исходное изменение цены и ответная реакция спроса совпадают по относительной величине.

 

2. Перекрестная ценовая эластичность спроса -   перекрестная эластичность спроса по цене характеризует относительное изменение величины спроса на одно бл