Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Раздел 5. Основные элементы цифровой обработки сигналов
5.1. Дискретное преобразование Фурье
Исследуем особенности спектрального представления дискретного сигнала, который задан на отрезке своими отсчётами , взятыми соответственно в моменты времени ; полное число отсчётов ( - интервал дискретизации). Методика изучения таких дискретных сигналов состоит в том, что полученная выборка отсчётных значений мысленно повторяется бесконечное число раз. В результате сигнал становится периодическим. Сопоставив такому сигналу некоторую математическую модель можно воспользоваться разложением в ряд Фурье и найти соответствующие амплитудные коэффициенты. Совокупность этих коэффициентов образует спектр дискретного периодического сигнала. Воспользуемся моделью в виде последовательности дельта-импульсов. Тогда исходное колебание будет выражено формулой: (5.1) Где – выборочные значения аналогового сигнала. Представим этот сигнал комплексным рядом Фурье. (5.2) С коэффициентами: (5.3) Подставляя формулу (5.1) в (5.3) получим - дискретное преобразование Фурье (ДПФ) (5.4) Основные свойства ДПФ 1. ДПФ- линейное преобразование т.е. сумме сигналов отвечает сумма их ДПФ 2. Число различных коэффициентов , вычисляемых по формуле (6.4), равно числу N за период; при коэффициент 3. Коэффициент (постоянная составляющая) является средним значением всех отсчётов: 4. Если - чётное число, то 5. Пусть отсчётные значения – вещественные числа. Тогда коэффициенты ДПФ, номера которых располагаются симметрично относительно /2, образуют сопряжённые пары: Задача дискретного спектрального анализа может быть поставлена и по-иному. Допустим, что коэффициенты , образующие ДПФ, заданы. Положим в формуле (6.2) и учтём, что суммируется лишь конечное число членов ряда, которые отвечают гармоникам, содержащимся в спектре исходного сигнала. Таким образом, получаем формулу для вычисления отсчётных значений (5.5)
Очевидно, что (5.5) представляет собой формулу обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ) . Пример: Дискретный сигнал на интервале своей периодически задан шестью равноотстоящими отсчётами Найти коэффициенты ДПФ этого сигнала k – номер отсчёта n – номер гармоники
1)
2) 3) 4)
5.2. Быстрое преобразование Фурье
Как видно, из формул (5.4) и (5.5), чтобы вычислить ДПФ или ОДПФ последовательности из элементов, требуется выполнить операций с комплексными числами. Если длины обрабатываемых массивов имеют порядок тысячи или более, то использовать эти алгоритмы дискретного спектрального анализа в реальном масштабе времени затруднительно из-за ограниченного быстродействия вычислительных устройств. Выходом из положения является алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ), предложенный в 60-х годах XX века. Существенно сократить число операций удаётся за счёт того, что обработка входного массива сводится к нахождению ДПФ (или ОДПФ) массивов с меньшим числом членов. Предположим, что число отсчётов , где - целое число. Разобьём входную последовательность на две части с чётными и нечётными номерами. (5.6) И представим -й коэффициент ДПФ в виде:
Из формулы видно, что первая половина коэффициентов ДПФ исходного сигнала с номерами от 0 до (N/2)-1 выражается через коэффициенты ДПФ двух частных последовательностей: =0, 1, 2,…,( /2)-1 (5.7) Учтём, что последовательности коэффициентов, относящихся к чётной и нечётной частям входного массива, являются периодическими с периодом N/2: Кроме того, входящий в формулу (5.7) множитель при можно преобразовать так: Отсюда находим выражение для второй половины множества коэффициентов ДПФ (5.8) Формулы (5.7) и (5.8) лежат в основе алгоритма БПФ. Далее вычисления строят по итерационному принципу: последовательности отсчётов с чётными и нечётными номерами вновь разбивают на две части. Процесс продолжают до тех пор, пока не получается последовательность, состоящая из единственного элемента. ДПФ этого элемента совпадает с ним самим.
Число операций, необходимых для вычисления БПФ оценивается как . Выигрыш в скорости вычислений по сравнению с традиционным ДПФ достигает сотен и даже тысяч при достаточных длинах входных массивов.
5.1 Z-преобразование
При анализе и синтезе дискретных и цифровых устройств Z-преобразование играет такую же роль, как интегральные преобразования Фурье по отношению к непрерывным сигналам. Пусть – числовая последовательность, конечная или бесконечная, содержащая отсчётные значения некоторого сигнала. Поставим ей в однозначное соответствие сумму ряда по отрицательным степеням комплексной переменной Z: (5.9) Эта сумма называется Z-преобразованием последовательности . Свойства дискретных последовательностей чисел можно изучать, исследуя их Z-преобразования обычными методами математического анализа. На основании формулы (5.9) можно непосредственно найти Z-преобразования сигналов с конечным числом отсчётов. Так простейшему дискретному сигналу с единственным отсчётом соответствует Если же, например, , то Рассмотрим случай, когда в ряде (5.9) число слагаемых бесконечно велико. Возьмём дискретный сигнал образованный одинаковыми единичными отсчётами и служащий моделью обычной функции включения. Бесконечный ряд является суммой геометрической прогрессии и сходится при любых Z, |Z|>1. Суммируя прогрессию, получаем
Аналогично получается Z-преобразование бесконечного дискретного сигнала , где - некоторое вещественное число. Здесь Данное выражение имеет смысл при |Z|> Пусть x(z) – функция комплексной переменной Z. Замечательное свойство Z-преобразование состоит в том, что функция x(z) определяет всю бесконечную совокупность отсчётов (). Действительно, умножим обе части ряда (5.9) на множитель : (5.10) а затем вычислим интегралы от обеих частей полученного равенства, взяв в качестве контура интегрирования произвольную замкнутую кривую, При этом воспользуемся фундаментальным положением из теоремы Коши: Интегралы от всех слагаемых правой части обратятся в нуль, за исключением слагаемого с номером m, поэтому: (5.11) Данное выражение носит название обратное Z-преобразование. Важнейшие свойства Z -преобразования: 1. Линейность. Если и - некоторые дискретные сигналы, причём известны соответствующие Z-преобразования x(z) и y(z), то сигналу будет отвечать преобразование при любых постоянных и . Доказательство проводится путём подстановки суммы в формулу (7.1). 2. Z-преобразование смещённого сигнала. Рассмотрим дискретный сигнал , получающийся из дискретного сигнала путём сдвига на одну позицию в сторону запаздывания, т.е. когда . Непосредственно вычисляя Z-преобразование, получаем следующий результат: (5.12) Таким образом, символ служит оператором единичной задержки (на один интервал дискретизации) в Z-области. 3. Z-преобразование свёртки. Пусть x(z) и y(z) – непрерывные сигналы, для которых определена свёртка:
(5.13) Применительно к дискретным сигналам по аналогии с (7.5) принято вводить дискретную свёртку – последовательность чисел общий член которой: (5.14) Подобную дискретную свёртку называют линейной Вычислим Z-преобразование дискретной свёртки: (5.15) Итак, свёртке двух дискретных сигналов отвечает произведение Z-преобразований.
|
|||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-12-15; просмотров: 56; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.221.13.173 (0.019 с.) |