Основные элементы функционального анализа сигналов. Норма и метрика.

В основе функционального анализа сигналов лежит представление сигнала как вектора, в специальным образом сконструированном бесконечномерном пространстве.

Пусть - множество сигналов. Причина объединения этих объектов – наличие некоторых свойств, общих для всех элементов множества .

Исследование свойств сигналов, образующих такие множества, можно осуществлять, если выражать одни элементы множества через другие элементы. При этом считается, что множество сигналов наделено определённой структурой. Электрические колебания могут складываться, а также умножаться на произвольный масштабный коэффициент. Это даёт возможность в множествах сигналов ввести структуру линейного пространства.

Множество сигналов  образует вещественное линейное пространство, если справедливы следующие аксиомы:

1.  Любой сигнал  при любых  принимает лишь вещественные значения.

2. Для любых  и  существует их сумма , причём  также содержится в . Операция  суммирования коммутативна:  и ассоциативна .

3. Для любого сигнала и любого вещественного числа  определён сигнал .

4. Множество  содержит особый нулевой элемент , такой, что  для всех .

Линейное пространство, элементами которого являются функции, называется функциональным.

Если математические модели сигналов принимают комплексные значения, то, допуская в аксиоме 3 умножение на комплексное число, можем ввести понятие комплексного линейного пространства.

Как и в обычном трёхмерном пространстве в линейном пространстве сигналов можно выделить специальное подмножество, играющее роль координатных осей. В качестве таких осей используются линейно независимые векторы.

Совокупность векторов , принадлежащих , является линейно независимой, если равенство:

                                                                         

возможно лишь в случае одновременного обращения в нуль всех числовых коэффициентов .

Система линейно независимых векторов образует координатный базис в линейном пространстве.

 

Норма и метрика. Введём новое понятие, которое по своему смыслу соответствует длине вектора. Это позволит не только определить, что один сигнал больше другого, но и указать, насколько он больше.

Длину вектора называют его нормой. Линейное пространство сигналов L является нормированным, если каждому вектору  однозначно сопоставлено число  - норма этого вектора.

Аксиомы нормированного пространства

1. Норма неотрицательна, т.е. . Норма =0 тогда и только тогда, если

2. Для любого числа справедливо равенство .

3. Если  и - два вектора из L, то выполняется неравенство:

Существуют разные способы определения нормы сигналов. Чаще всего полагают, что вещественные аналоговые сигналы имеют норму:

                                                                                (из двух возможных значений корня выбирается положительное). Для комплексных сигналов норма:

,

где *-символ комплексно-сопряжённой величины.

Квадрат нормы называется энергией сигнала

                                                                                 

Такая энергия выделяется в резисторе с сопротивлением 1Ом, если на его зажимах существует напряжение .

Необходимо ввести фундаментальное понятие, которое обобщало бы наше обычное представление о расстоянии между точками в пространстве.

Говорят, что линейное пространство L становится метрическим пространством, если каждой паре элементов  сопоставлено неотрицательное число , называемое метрикой, или расстоянием между этими элементами. Метрика, независимо от способа её определения, должна подчиняться аксиомам метрического пространства:

1. Метрика рефлексивна =

2. =0 при любых .

3. Каков бы ни был элемент , всегда .

Установим взаимосвязь между нормой и метрикой. Обычно метрику определяют как норму разности двух сигналов:

=                                                                                

Норму в свою очередь, можно понимать как расстояние между выбранным элементом пространства и нулевым элементом: .

 

  1.2 Ортогональные сигналы. Ортонормированный базис. Обобщенный ряд Фурье

 

Ортогональные сигналы. Введём понятие скалярного произведения элементов линейного пространства. Скалярное произведение вещественных сигналов  и :

                                                                                 

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1.

2.

3. , где - вещественное число

4.

5. - справедливо неравенство Коши-Буняковского.

Линейное пространство с таким скалярным произведением, содержащее в себе все предельные точки любых сходящихся последовательностей векторов из этого пространства называется вещественным Гильбертовым пространством H.

Если сигналы принимают комплексные значения, то можно определить комплексное Гильбертово пространство.

Если сигналы комплексные, то скалярное произведение:

                                                                                 

Два сигнала и  называют ортогональными, если их скалярное произведение, а значит, и взаимная энергия равны нулю:

.

Ортонормированный базис.Обобщенный ряд Фурье. Предположим, что на отрезке  задана бесконечная система функций , ортогональных друг другу и обладающих единичными нормами:

               1, если                                               

   0, если                                       

 

Говорят, что при этом в пространстве сигналов задан ортонормированный базис. Разложим произвольный сигнал  в ряд:

                                                                      (1.1)

Такое представление называется обобщённым рядом Фурье сигнала в выбранном базисе.

Коэффициенты данного ряда находят следующим образом. Возьмём базисную функцию с произвольным номером , умножим на неё обе части равенства (1.1) и затем проинтегрируем результаты по времени:

                                                          (1.2) 

Ввиду ортонормированности базиса по определению в правой части равенства (1.2) останется только член суммы с номером , поэтому:

                                                       (1.3)

Рассмотрим некоторый сигнал, , разложенный в ряд по ортонормированной базисной системе и вычислим его энергию, непосредственно подставив этот ряд в соответствующий интеграл:

                                         

Поскольку базисная система функций ортонормирована, в сумме окажутся отличными от нуля только члены с номерами . Отсюда получается замечательный результат, который называется равенством Парсеваля:

                                                                               (1.4)

Смысл этой формулы: энергия сигнала есть сумма энергий всех компонент, из которых складывается обобщённый ряд Фурье.