Спектр сигналов с угловой модуляцией

 

Будем изучать модулированные радиосигналы, которые получаются за счёт того, что в несущем гармоническом колебании  передаваемое сообщение  изменяет либо частоту , либо начальную фазу ; амплитуда  остаётся неизменной. Поскольку аргумент гармонического колебания , называемый полной фазой, определяет текущее значение фазового угла, такие сигналы получили название сигналов с угловой модуляцией.

Однотональные сигналы с угловой модуляцией. Анализ ФМ- и ЧМ-сигналов с математической точки зрения гораздо сложнее, чем исследование АМ-колебаний. Поэтому мы будем рассматривать простейшие однотональные сигналы.

В случае однотонального ЧМ-сигнала мгновенная частота:

,

где - девиация частоты сигнала.

Полная фаза такого сигнала

,

где  – некоторый постоянный фазовый угол.

Величина

                                                                                       (2.39)

называется индексом однотональной угловой модуляции.

Для краткости положим, что неизменные во времени фазовые углы , и выразим мгновенное значение ЧМ-сигнала в виде:

                                                           (2.40)

Аналитическая форма записи однотонального ФМ-сигнала будет аналогичной. Однако нужно иметь в виду следующее: ЧМ- и ФМ-сигналы ведут себя по-разному при изменении частоты модуляции и амплитуды модулирующего сигнала, кроме того при ФМ , а при ЧМ                  

Спектральное разложение ЧМ- и ФМ-сигналов при малых индексах модуляции. Задачу о представлении сигналов с угловой модуляцией посредством суммы гармонических колебаний несложно решить в случае, когда . Для этого преобразуем формулу (2.40) следующим образом:

 

                                                                                                          (2.41)

Поскольку индекс угловой модуляции мал, воспользуемся приближёнными равенствами:

На основании этого из равенства (2.41) получаем:

                  (2.42)

Таким образом, показано, что при  в спектре сигнала с угловой модуляцией, содержатся несущие колебания и две боковые составляющие (верхняя и нижняя) на частотах . Индекс m играет здесь такую же роль как коэффициент М при АМ. Однако можно обнаружить и существенное различие спектров АМ-сигнала и колебания с угловой модуляцией.

 

 

Спектральная диаграмма сигнала с угловой модуляцией при .

 

Для спектральной диаграммы, построенной по формуле (2.42) характерно то, что нижнее боковое колебание имеет дополнительный фазовый сдвиг на 180 градусов. При значениях m=0.5-1 появляется вторая пара гармонических колебаний с боковыми частотами , затем третья пара и так далее. Возникновение новых спектральных составляющих приводит к перераспределению энергии по спектру.

С ростом m амплитуда боковых составляющих увеличивается, в то время как амплитуда несущего колебания уменьшается.

Спектр сигнала с угловой модуляцией при произвольном значении индекса m. Для простейшего случая однотонального ЧМ- и ФМ-сигнала можно найти общее выражение спектра, справедливое при любом значении индекса модуляции m.

Математическая модель ЧМ- или ФМ-сигнала с любым значением индекса модуляции:

                                           (2.43)

(m) – функция Бесселя k- того порядка от аргумента m.

Спектр однотонального сигнала с угловой модуляцией в общем случае содержит бесконечное число составляющих, частоты которых равны ; амплитуды этих составляющих пропорциональные значениям .

В теории функций Бесселя доказывается, что функции с положительными и отрицательными индексами связаны между собой соотношением:

Поэтому начальные фазы боковых колебаний с частотами  совпадают, если k- чётное число, и отличаются на 180 градусов, если k- нечётное. С ростом индекса модуляции расширяется полоса частот, занимаемая сигналом. Обычно полагают, что допустимо пренебречь всеми спектральными составляющими с номерами . Отсюда следует оценка практической ширины спектра сигнала с угловой модуляцией.

 

                                                                 (2.44)

 

Как правило, реальные ЧМ- и ФМ-сигналы характеризуются условием . В этом случае

                                                                (2.45)

Таким образом, сигнал с угловой модуляцией занимает полосу частот, приблизительно равную удвоенной девиации частоты.

Для передачи АМ-сигнала требуется полоса частот, равная , то есть в m раз меньшая. Большая широкополосность ЧМ- и ФМ-сигналов обуславливает их гораздо более высокую помехоустойчивость по сравнению с АМ-сигналами.

Спектральные диаграммы сигнала с угловой модуляцией при двух значениях индекса m (амплитуды представлены в относительном масштабе).

 

 

Раздел 3. Аналитический сигнал и преобразования Гильберта

    3.1 Аналитический сигнал. Основные понятия и определения. Спектр аналитического сигнала.

      Анализируя формулу обратного преобразования Фурье, приходим к выводу, что произвольный сигнал  с известной спектральной плотностью   можно записать как сумму двух составляющих, каждая из которых содержит или только положительные, или только отрицательные частоты:

                                        (3.1)

 

Назовём функцию

                                                           (3.2)

аналитическим сигналом, отвечающим колебанию S(t). Первый из интегралов в правой части формулы (3.1) путём замены переменной  преобразуется к виду:

   (3.3)                                                                                         

Поэтому из формулы (3.1) можно получить следующее соотношение между сигналами и :   

                                                                  (3.4)

или:  - вещественная часть аналитического сигнала. Мнимая часть аналитического сигнала:

                                                                         (3.5)

называется сопряжённым сигналом по отношению к исходному колебанию S(t). Итак, аналитический сигнал:

                                                                    (3.6)

На комплексной плоскости этот сигнал отображается вектором, модуль и фазовый угол которого изменяются во времени. Проекция аналитического сигнала на вещественную ось в любой момент времени равна исходному сигналу .

 

 

Исследуем спектральную плотность аналитического сигнала. Пусть . Из (3.2) с очевидностью следует:

                                                      (3.7)

Если  - спектральная плотность сопряжённого сигнала, то в силу линейности преобразования Фурье:

                                                              (3.8)

Анализируя (3.7) и (3.8), можно убедиться в том, что спектральная плотность исходного и сопряжённого сигналов связаны между собой следующим образом:

      .                        (3.9)              

 

3.2 Преобразования Гильберта и его свойства. Применение пре образования Гильберта.

 

Чтобы на практике получить сопряжённый сигнал, необходимо исходное колебание  подать на вход некоторой системы, которая осуществляет поворот фаз всех спектральных составляющих на угол - в области положительных частот и на угол  в области отрицательных частот, не изменяя по амплитуде. Формула (3.8) показывает, что спектральная плотность сопряжённого сигнала есть произведение спектра  исходного сигнала и функции . В соответствии с обратной теоремой о свёртке сопряжённый сигнал представляет собой свёртку двух функций  и  которая является обратным преобразованием Фурье по отношении к функции .

Для удобства вычислений представим эту функцию в виде предела:

Тогда:

(3.10)

Таким образом, сопряжённый сигнал связан с исходным сигналом соотношением:

                                           (3.11)

Можно поступить и по иному, выразив сигнал через , который полагается известным. Для этого достаточно заметить, что из (3.9) вытекает следующая связь между спектральными плотностями:

Поэтому соответствующая формула будет отличаться от (3.11) лишь знаком:

                               (3.12)

Формулы (3.11) и (3.12) называются прямым и обратным преобразованием Гильберта.

Символическая запись его такова:

                                            (3.13)

Функция называется ядром этих преобразований.

Свойства преобразований Гильберта.

1) Простейшее свойство – линейность.                                                  (3.14)

2) Сигнал, сопряжённый к константе, тождественно равен нулю:                                                        (3.15)

3) Важное свойство преобразования Гильберта состоит в следующем: если при каком-либо  исходный сигнал ) достигнет экстремума(максимума или минимума), то в окрестности этой точки сопряжённый сигнал проходит через нуль. Если исходный сигнал изменяется во времени «подобно косинусу», то сопряжённый с ним сигнал изменяется «подобно синусу»

    

4) Преобразования Гильберта имеют нелокальный характер: в общем случае поведение сопряженного сигнала в окрестности какой-либо точки, зависит от свойств исходного сигнала на всей оси времени.

 

Некоторые применения преобразований Гильберта

1) Преобразования Гильберта для гармонических сигналов                                             

                                                (3.16)

2) Преобразования Гильберта для узкополосного сигнала.

Пусть известна функция  - спектральная плотность комплексной огибающей узкополосного сигнала  с опорной частотой . Спектр данного сигнала:

Первое слагаемое в правой части соответствует области частот , второе . Тогда на основании формулы  (3.9) спектр сопряжённого сигнала:

                        (3.17)

Откуда видно, что спектральная плотность комплексной огибающей сопряжённого сигнала

                                                       (3.18)

Сопряжённый сигнал в данном случае так же является узкополосным. Если комплексная огибающая исходного сигнала: , то в соответствии с равенством (3.18) комплексная огибающая сопряжённого сигнала равна  и отличается от комплексной огибающей исходного колебания лишь наличием постоянного фазового сдвига на в сторону запаздывания.

Отсюда следует что узкополосному сигналу

 соответствует сопряжённый по Гильберту сигнал.

                                  (3.19)

3) Преобразование Гильберта огибающей, полной фазы и мгновенной частоты.

В рамках метода преобразования Гильберта огибающая  произвольного сигнала S(t) определяется как модуль соответствующего аналитического сигнала:

                                      (3.20)

По определению полная фаза любого сигнала S(t) равна аргументу аналитического сигнала :

                                             (3.21)

Мгновенная частота  сигнала есть производная полной фазы по времени:

                            (3.22)

Зная аналитический сигнал можно определить огибающую и мгновенную частоту узкополосного сигнала, не применяя искусственное понятие опорной частоты. Кроме того, формулы (3.20, 3.21, 3.22) сохраняют смысл и применительно к сигналам произвольного вида.

Согласно методу преобразований Гильберта, огибающая и мгновенная частота сигнала жёстко связаны друг с другом и их нельзя выбрать произвольно.

Теория аналитического сигнала разработана выдающимся венгерским физиком Денешем Габором, лауреатом Нобелевской премии.