Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Математическая интерпретация явления часто заключается в том, что практически очень малые величины принимаются за бесконечно малые. Так, рассматривая годовое производство, мы можем отдельный день представить себе как бесконечно малую частицу годового периода и получать при этом практически верные результаты.

Функция называется бесконечно малой при , если ее предел равен нулю: .

Функция называется бесконечно большой при , если ее предел равен бесконечности: .

Между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями существует связь: если — бесконечно малая функция при , то бесконечно большая функция при и наоборот.

Теорема 1. Алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций при есть бесконечно малая функция при .

Теорема 2. Произведение бесконечно малой при функции на ограниченную есть бесконечно малая функция при .

Возможно эта страница вам будет полезна:

Математический анализ помощь онлайн

Пример №12

Найти .

Решение:

Т.к. — ограниченная функция для любых , а — бесконечно малая функция при — бесконечно малая функция при , т.е. .

Если и — бесконечно малые функции при , то может быть равен либо нулю, либо бесконечности, либо какому-нибудь числу, отличному от нуля; наконец, предел может не существовать.

Если не существует, то и называют несравнимыми бесконечно малыми при .

Если , то функция стремится к нулю быстрее, чем при . Говорят, что — бесконечно малая более высокого порядка, чем при и пишут: (читается « есть о малое от при ).

Если , то называют бесконечно малой более низкого порядка, чем при и пишут: .

Если , то и называют бесконечно малыми одного порядка при и пишут: .

Особенно важен частный случай, когда . Тогда и называют эквивалентными бесконечно малыми при и пишут: , .

Пример №13

Показать, что при .

Решение:

Функции и являются бесконечно малыми . Найдем предел их отношения при :

что и требовалось доказать.

Переход к пределу под символом логарифма возможен, т.к. логарифмическая функция непрерывна.

Утверждение. Если , то при следующие функции эквивалентны:

Данная цепочка эквивалентностей используется при нахождении пределов.

Теорема 3. Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если эти бесконечно малые заменить им эквивалентными.

Пример №14

Вычислить предел .

Решение:

Для нахождения предела используем свойства эквивалентности бесконечно малых функций:

Пример №15

Вычислить предел .

Решение:

Используя теорему об эквивалентных бесконечно малых, получаем: