Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Интервалы монотонности ф-ции
Т-ма Логранджа. Т-ма Ролля Т-ма Тейлора Т-ма Коши Правило Лопиталя. Производная обратной ф-ции ^ Применение 1й пр-ной в исслед. ф-ций Все применения базируются на опред-нии пр-ной, как предела разностного отношения, а также на сл-щей т-ме. Т-ма Ферма. Если диф. на интервале (a,b) f(x) имеет в т-ке ч0 локальный экстремум, то пр-ная этой ф-ции обращается в 0, т.е. f‘(x0)=0 (8). Это необходимое усл. локал. экстр., но недостаточное. Опр. Все т-ки в которых пр-ная ф-ции f(x) обращается в 0 наз-ся крит. т-ми f(x). Из т-мы Ферма => экстремум надо искать только через крит. т-ки. Т-ма Коши. Пусть ф-ции f(x) и g(x) непрерывны на [a,b] и диф. на (a,b). Пусть кроме того, g‘(x)¹0, тогда $ т-ка cÎ(a,b) такая, что справедлива ф-ла (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f‘(c)/g‘(c) Т-ма. Пусть f(x) диффер. На интервале (a,b), тогда справедливы сл. утверждения f(x) монотонно возр. (убывает) на интервале (a,b) тогда, когда f‘(x)³0 на интервале (a,b) и f‘(x)>0 (f‘(x)<0), то строго возр. (убыв) на (a,b). хÎ интерв. монотонно убывает, касательная имеет тупой угол наклона f‘(x1)<0 для x2 противоположная ситуация. Т-ма Логранджа. Пусть ф-ция f(x) непрер. на отрезке [a,b] и диф. на интервале (a,b), тогда " т. х и x+Dx Î [a,b] $ т-ка С лежащая между х и х+Dх такая что спаведлива ф-ла (f(x+Dx)-f(x))=f(c)*Dx (7) => при сравнении с ф-лой приращения ф-ций с диф. заметим, что (7) явл. точной ф-лой, однако теперь пр-ная фолжна считаться в некоторой средней т-ке С “алгоритм” выбора которой неизвестен. Крайнее значение (a,b) не запрещены. Придадим ф-ле (7) классический вид => x=a x+Dx=b+> тогда ф-ла (7)=(f(b)-f(a))/(b-a)=f‘(c) (7‘) – ф-ла конечных приращений Логранджа. (f(b)-f(a))/(b-a)=f‘(c) (1) Док-во сводится к сведению к т-ме Ролля. Р-рим вспом. ф-цию g(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))/(b-a) * (x-a) Пусть ф-ция g(x) удовл. всем усл. т-мы Ролля на [a,b] А)Непрерывна на [a,b] Б) Дифференц. на (a,b) В) g(a)=g(b)=0 Все усл. Ролля соблюдены, поэтому $ т-ка С на (a,b) g‘(c)=0 g‘(c)=f‘(x)-(f(b)-f(a))/(b-a). Ф-ла (1) наз-ся ф-лой конечных приращений. Т-ма Ролля. Пусть ф-ция f(x) удовл. сл. усл. А)Непрерывна на [a,b] Б) Дифференц. на (a,b) В) принимает на коцах отрезков равные значения f(a)=f(b), тогда на (a,b) $ т-ка такая что f‘(c)=0, т.е. с-крит. т-ка. Док-во. Р-рим сначала, тривиальный случай, f(x) постоянная на [a,b] (f(a)=f(b)), тогда f‘(x)=0 $ x Î (a,b), любую т-ку можно взять в кач-ве с. Пусть f¹ const на [a,b], т.к. она непрер. на этом отрезке, то по т-ме Вейерштрасса она достигает своего экстрем. на этом отрезке и max и min. Поскольку f принимает равные знач. в гранич. т-ках, то хотя бы 1- экстр. – max или min обязательно достигается во внутр. т-ке. сÎ(a,b) (в противном случае f=const), то по т-ме Ферма, тогда f‘(c)=0, что и требовалось д-ть.
Т-ма Тейлора. “О приближении гладкой ф-ци к полиномам” Опр. Пусть ф-ция f(x) имеет в т-ке а и некоторой ее окрестности пр-ные порядка n+1. Пусть х - любое значение аргумента из указанной окрестности, х¹а. Тогда между т-ми а и х надутся т-ка e такая, что справедлива ф-ла Тейлора. f(x)=f(a)+f‘(a)/1!(x+a)+ f‘‘(a)/2!(x+a)^2+f^(n)(а)/n!+f^(n+1)(e)/(n+1)!(x-a)^(n+1). Док-во. Сводится к Роллю путем введения вспом. переменной g(x). g(x)=f(x)-f(a)-f‘(x)(x-a)-…-1/n!*f^n(x)(x-a)^n-1/(n+1)!(x-a)^n+1*l. По т-ме Роляя $ т-ка с из (a,b), такая что g(c)=0 l=f^(n+1)(c) Пусть ф-ция f(x) и g(x) имеет в окр. т-ки х0 пр-ные f‘ и g‘ исключая возможность саму эту т-ку х0. Пусть lim(х®Dх)=lim(x®Dx)g(x)=0 так что f(x)/g(x) при x®x0 дает 0/0. lim(x®x0)f‘(x)/g‘(x) $ (4), когда он совпадает с пределом отношения ф-ции lim(x®x0)f(x)/g(x)= lim(x®x0)f‘(x)/g‘(x) (5) Док-во. Возьмем " т-ку х>х0 и рассмотрим на [x0;x] вспом ф-цию арг. t h(t)=f(t)-Ag(t), если tÎ[x0;x], т.к. удовл. этому св-ву в окр-ти т-ки х0, а т-ку х мы считаем достаточно близкой к х0. Ф-ция h непрерывна на [x0;x], поскольку lim(t®x0)h(t)=lim(t®x0)[f(t)-Ag(t)]=lim(t®x0)-A lim(t®x0)g(t)=0=h(0)=> непр. t=x0 По т-ме Логранджа (x0,x)$ c:h‘‘(c)=0 Т-ма. Для диф. ф-ции с пр-ной, не равной нулю, пр-ная обратной ф-ции равна обратной обратной величине пр-ной данной ф-ции. Док-во. Пусть ф-ция y=f(x) диф. и y‘x=f‘(x)¹0. Пусть Dу¹0 – приращение независимой переменной у и Dх – соответствующее приращение обратной ф-ции x=j(y). Напишем тождество: Dx/Dy=1:Dy/Dx (2) Переходя к пределу в рав-ве (2) при Dу®0 и учитывая, что при этом также Dх®0, получим: lim(Dy®0)Dx/Dy=1:lim(Dx®0)Dy/Dx => x‘y=1/y‘x. Где х‘у – пр-ная обратной ф-ции. Т-ма. Для диф. ф-ции с пр-ной, не равной нулю, пр-ная обратной ф-ции равна обратной обратной величине пр-ной данной ф-ции. Док-во. Пусть ф-ция y=f(x) диф. и y‘x=f‘(x)¹0. Пусть Dу¹0 – приращение независимой переменной у и Dх – соответствующее приращение обратной ф-ции x=j(y). Напишем тождество: Dx/Dy=1:Dy/Dx (2) Переходя к пределу в рав-ве (2) при Dу®0 и учитывая, что при этом также Dх®0, получим: lim(Dy®0)Dx/Dy=1:lim(Dx®0)Dy/Dx => x‘y=1/y‘x. Где х‘у – пр-ная обратной ф-ции.
Теорема Больцано-Коши Теорема Вейерштрасса Док-во 1. Поскольку посл-ть ограничена, то $ m и M, такое что " m£xn£M, " n. D1=[m,M] – отрезок, в котором лежат все т-ки посл-ти. Разделим его пополам. По крайней мере в одной из половинок будет нах-ся бесконечное число т-к посл-ти. D2 – та половина, где лежит бесконечное число т-к посл-ти. Делим его пополам. По краней мере в одной из половинок отр. D2 нах-ся бесконечное число т-к посл-ти. Эта половина - D3. Делим отрезок D3 … и т.д. получаем посл-ть вложенных отрезков, длинны которых стремятся к 0. Согластно о т-ме о вложенных отрезках, $ единств. т-ка С, кот. принадл. всем отрезкам D1, какую-либо т-ку Dn1. В отрезке D2 выбираю т-ку xn2, так чтобы n2>n1. В отрезке D3 … и т.д. В итоге пол-ем посл-ть xnkÎDk. Теорема Больцано-Коши Пусть ф-ция непр-на на отрезке [a,b] и на концах отрезка принимает зн-ния равных знаков, тогда $ т-ка с Ì (a,b) в которой ф-ция обращается в 0. Док-во Пусть Х – мн-во таких т-к х из отрезка [a,b], где f(x)<0. Мн-во Х не пустое. ХÎ [a,b], значит х ограничено, поэтому оно имеет точную верхнюю грань. c=supx. a£c£b покажем a<c<b по т-ме об уст. знака, поэтому c¹a, c¹b. Предположим f(c)=0, что это не так, тогда $ окрестность т-ки с в пределах которой ф-ция сохраняет знак, но это не можетбыть, т.к. по разные стороны т-ки с ф-ция имеет разный знак. f(с)=0. Теорема Вейерштрасса Непрерывная ф-ция на отрезке ограничена. Док-во Предположим что ф-ция не ограничена. Возьмем целое пол-ное n, т.к. ф-ция не ограничена, то найдется xnÎ[a,b], такое что ½f(xn)½>n. Имеем посл-ть т-к xn. По т-ме Больцано-Коши из посл-ти xn можно выбрать сходящиюся подпосл-ть xnk$®x0. По т-ме о предельном переходе к неравенству. a£xnk£b a£x0£b x0Î[a,b] Если посл-ть xnk сходится к x0, то f(xnk) будет сходится f(x0) ½f(xnk)½>nk, a nk®¥Þ½f(xnk)½®¥, т.е. f(xnk) б/б посл-ть. С одной стороны f(xnk) стремится к опр. числу, а с др. стороны стремится к ¥, пришли к противоречию, т.к. мы предположим, что ф-ция не ограничена. Значит наше предположение не верно. Ответы к экзамену по математическому анализу для экономистов. 1 курс (осенний семестр) White Козирков Экзамены Экономика Математика Экзамены по предмету "Экономика" Экзамены по предмету "Математическая экономика" Ответы к экзамену по математическому анализу для экономистов Курс (осенний семестр) Определение числовой последовательности и её предела. Если каждому натуральному числу n=1,2,3,… по некоторому правилу поставлено в соответствие единственное число хn, то полученное упорядоченное множество х1, х2, х3, …, хn, … называется бесконечной числовой последовательностью. Число а называется пределом числовой последовательности х1, х2, х3, …, хn, …, если для любого как угодно малого числа ε > 0 найдётся такое число N, что при всех n ³ N выполняется неравенство |хn - a| < ε. " ε>0 $ N: " n³N: |xn-a| < ε Теорема о конечном числе членов числовой последовательности вне эпсилон-окрестности. Число а является пределом числовой последовательности {xn} тогда и только тогда, когда вне любой ε-окрестности числа а находится лишь конечное (или пустое) множество членов последовательности {xn}. Док-во: Пусть дано limxn=a. Пусть ε > 0 произвольно. limxn=a Þ по ε мы можем указать такое N, что для всех значений n ³ N выполняется |хn - a| < ε или а-ε<xn<а+ε. Вне (а-ε;а+ε) находятся лишь х1, х2, х3, …, хn-1, а таких членов последовательности конечное число.
Следствие. Внутри любой ε-окрестности предела числовой последовательности находится бесконечное множество её членов. Теорема об ограниченности сходящейся числовой последовательности. Если последовательность {xn} сходится (имеет предел), то она ограничена. Док-во: пусть limxn=a. Зададим число ε=1 и найдём число N такое, чтобы при n ³ N выполнялось |хn - a| < 1. Вне окрестности (а-1;а+1) находится либо пустое, либо конечное множество элементов последовательности. В первом случае примем а-1=m и а+1=М, тогда для всех членов последовательности выполняется неравенство m<xn<M, что означает ограниченность множества {xn}. Во втором случае среди чисел х1, х2, х3, …, хn-1, которые находятся вне окрестности (а-1;а+1), имеется наименьшее хp=m и наибольшее xq=M: для всех членов последовательности выполняется неравенство m£xn£M, что означает ограниченность множества {xn}. Определение монотонной последовательности. Формулировка теорем об ограниченных монотонных последовательностях. Последовательность {xn} называется неубывающей, если для любого n выполняется неравенство xn£xn+1 (возрастающей, если xn<xn+1). Аналогично невозрастающая и убывающая последовательности. Все эти 4 разновидности последовательностей называются «монотонными». Теорема 1: если последовательность не убывает (не возрастает) и ограничена сверху (снизу), то она имеет предел. Теорема 2: всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел. Теорема об единственности предела числовой последовательности. Если предел последовательности существует, то он единственный. Док-во: допустим limxn=a; limxn=b; a¹b. Предположим, что a<b. Выберем такое ε > 0, чтобы a + ε < b - ε. По теореме о конечном числе членов числовой последовательности вне ε-окрестности: вне ε-окрестности числа а находится лишь конечное число членов последовательности, поэтому внутри ε-окрестности числа b может оказаться лишь конечное число членов Þ противоречие.
|
|||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-12-10; просмотров: 34; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.223.125.219 (0.014 с.) |