Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Непрерывные ф-ции. Непрерывность.
^ 11. Пределы ф-ции на бесконечности Они нужны для исследования поведения ф-ции на переферии. Опр. ф-ция f(x) имеет предел число А при x®+¥ если " {xn} которая ®к +¥ соответствующая ей последовательность {f(xn)}®A в этом случае мы пишем lim(x®+¥)f(x)=A. Совершенно аналогично с -¥. Опр. Будем говорить что ф-ция f(x) имеет пределом число А при x®¥ {f(xn)} сходится к А ^ Бесконечные пределы ф-ции Вводятся как удобные соглашения в случае, когда конечные пределы не $-ют. Р-рим на премере: lim(x®o+)(1/x) Очевидно не сущ-ет, т.к. для " {xn}®+о посл-ть {f(xn)}={1/xn}, а числ. посл-ть сводятся к +¥. Поэтому можно записать lim(x®o+)1/x=+¥ что говорит о неограниченных возрастаниях предела ф-ции при приближении к 0. Аналогично с -¥. Более того символы +¥ и -¥ употребляются в качестве предела ф-ции в данной т-ке лишь условно и означают например, что если {xn}®x0 то {f(xn)}®±¥,¥ 1) lim(x®0)sin/x=1 2) Явл. обобщением известного предела о посл-ти. Справедливо сл. предельное соотношение: lim(n®¥)(1+1/n)^n=e (1) lim(n®0)(1+x)^1/x=e (2) t=1/x => при х®0 t®¥ из предела (2) => lim(x®¥) (1+1/x)^x=e (3) Док-во 1)x®+¥ n x:n=[x] => n£x<n+1 => 1/(n+1)<1/x<1/n Посколько при ув-нии основания и степени у показательной ф-ции, ф-ция возрастает, то можно записать новое неравенство (1/(n+1))^n£(1+1/n)^x£ (1+1/n)^(n+1) (4) Рассмотрим пос-ти стоящие справа и слева. Покажем что их предел число е. Заметим (х®+¥, n®¥) lim(n®¥)(1+1/(n+1))=lim(n®¥)(1+1/(n+1))^n+1-1= lim(n®¥)(1+1/(n+1))^n+1*lim(n®¥)1/(1+1/(n+1))=e lim(n®¥)(1+1/n)^n+1= lim(n®¥)(1+1/n)^n* lim(n®¥)(1+1/n)=e*1=e 2) x®-¥. Сведем эту ситуацию к пред. Случаю путем замены переменной y=-x => y®+¥, при x®-¥. lim(x®-¥)(1+1/x)^x=lim(y®+¥)(1-1/y)^-y= lim(y®+¥)((y-1)/y)^y=lim(y®+¥)(1+1/(y-1))^y=e 3) Пусть x®¥ произвольным образом это означает при любом любом выборе посл-ти xn сходящихся к ®¥ мы должны иметь в силу (3) соотношение lim(x®¥)(1+1/xn)^xn=e (5) Условие 5~3, т.е расшифровка 3 на языке посл-ти. Выделим из посл-ти xn 2 подпосл-ти: {x‘n}®+¥, {x‘‘n}®-¥. Для каждой посл-ти по доказанному в п.1 и п.2 справедливо предельное соотношение 5 если заменить xn®x‘nx‘‘n. По т-ме о связи Опр. Ф-ция a(х) наз-ся б/м если ее предел в этой т-ке равен 0 из этого определения вытекает следующее св-во б/м ф-ций: а) Алгебраическая сумма и произведение б/м ф-ций есть б/м ф-ции. б) Произведение б/м ф-ции на ограниченную ф-цию есть б/м ф-ция, т.е. если a(х)®0 при х®х0, а f(x) определена и ограничена ($ С:½j(х)½£С)=> j(х)a(х)®0 при х®х0
Для того чтобы различать б/м по их скорости стремления к 0 вводят сл. понятие: 1) Если отношение 2-х б/м a(х)/b(х)®0 при х®х0 то говорят что б/м a имеет более высокий порядок малости чем b. 2) Если a(х)/b(х)®A¹0 при х®х0 (A-число), то a(х) и b(х) наз-ся б/м одного порядка. 3) если a(х)/b(х)®1, то a(х) и b(х) наз-ся эквивалентными б/м (a(х)~b(х)), при х®х0. 4) Если a(х)/b^n(х)®А¹0, то a(х) наз-ся б/м n-ного порядка относительно b(х). Аналогичные определения для случаев: х®х0-, х®х0+, х®-¥, х®+¥ и х®¥. Опр. f(x) непрерывны Х0 и при этом ее предел в этой т-ке сущ-ет и равен знач. ф-ции в этой т-ке, т.е. lim(x®x0)f(x)=f(x0)- непрерывность ф-ции в т-ке. Из определения вытекает что в случае непрерывности ф-ции в данной т-ке вычитание пределов сводится к вычит. знач. ф-ции в данной т-ке. Равенство lim(x®x0)x=x0 (1‘). Т.е знак предела у непрерывной ф-ции можно вносить в аргумент ф-ции. Геометрически непрерывность ф-ции в т-ке х0 означает что ее график в этой т-ке не имеет разрыва. Если обозначить через Dу приращение ф-ции, т.е. Dу=f(x0+Dx)-f(x0) (приращение ф-ции в т. х0). “D” - символ приращения. Приращение аргумента в т-ке х0 это соответствует тому, что текущая т. х, то условие непрерывности в т-ке х0 записывается сл. образом lim(Dx®0)Dy=0~ Dу®0 (1‘‘). Если в т-ке х0 ф-ция непрерывна, то приращение ф-ции ®0 приращение аргумента. f(x) непрерывна в т-ке х0 <º> Dy®0 при Dх®0. Если понятие предела приводит к понятию непр. Ф-ции то понятие одностороннего предела приводит к понятию односторонней непр. точки. Опр. Если f(x) имеет предел справа в т-ке х0(=f(x0+)) и этот предел равен значению ф-ции ф-ции в т-ке х0, т.е. f(x0+)=lim(x®x0,x>x0)f(x)=f(x0), то ф-ция f(x) наз-ся непр. справа в т-ке х0. Аналогично при вып-нии усл. f(x0-)=lim(x®x0, x<x0)f(x)=f(x0), то ф-ция наз-ся непр. слева в т. х0. Ясно что справедлива сл.теорема вытекающая из связи односторонних пределов ф-ция f(x) непр. в т-ке х тогда, когда она непр. в этой т-ке, как справа, так и слева. f(x0-)=f(x0+)=f(x0) Опр. Ф-ция f(x) непрерывна на некотором пр-ке D, если в каждой т-ке этого пр-ка при этом, если пр-ток D содержит граничную т-ку, то будем подразумевать соотв. одностор. непр. ф-ции в этой т-ке.
Пример Р-рим степенную производст. ф-цию Q=f(k)=k^1/2 Q-объем выпуска продукции, к – объем капитала. D(f)=R+=>f(0)=0 и очевидно f(0+) $ и равно 0 => что данная ф-ция непр. на своей обл. опр-ния. Большинство ф-ций исп-мых в эк-ке непр. Например непр. ф-ции означает, что при малом изменении капитала мало будет меняться и выпуск пр-ции (DQ®0 при Dk®0). Ф-ции которые не явл. непр. наз-ют разрывными соотв. т-ки в которых ф-ция не явл. непр. наз-ся т-кой разрыва Непр. ф-ции на пр-ке Теорема ВЕЙЕРШТРАССА Все т-ки р-рыва делятся на 3 вида: т. устранимого р-рыва; точки р-рыва 1-го, и 2-го рода. а) если в т-ке х0 $ оба односторонних предела, которые совпадают между собой f(x0+)= f(x0-), но ¹ f(x0), то такая т-ка наз-ся точкой устранимого р-рыва. Если х0 т-ка устранимого р-рыва, то можно перераспределить ф-цию f так чтобы она стала непр. в т-ке х0. Если по ф-ции f построить новую ф-цию положив для нее знач. f(x0)= f(x0-)=f(x0+) и сохранить знач. в др. т-ках, то получим исправл. f. б) если в т-ке х0 $ оба 1-стороних предела f(x0±), которые не равны между собой f(x0+)¹f(x0-), то х0 наз-ся т-кой р-рыва первого рода. в) если в т-ке х0 хотя бы 1 из односторонних пределов ф-ции не $ или бесконечен, то х0 наз-ся т-кой р-рыва 2-го рода. При исслед. Ф-ции на непр. классификации возможных т-к р-рыва нужно применять во внимание сл. замечания: 1) Все элементарные ф-ции непрер. во внутренних т-ках своих областей определения => при исл. элементарных ф-ций нужно обращать внимание на гранич. т-ки обл-ти опр-ния. 2) Если ф-ция задана кусочно, т.е. различными соотношениями на частях своей обл. опр., то подозрительными на разрыв явл. граничные т-ки частей обл-ти опр. 3) Св-ва непр. ф-ций. Многие св-ва непр. ф-ций легко понять опираясь на их геометр. св-ва: график непр. ф-ции на пр-ке D представляет сплошную(без р-рывов) кривую на пл-тях и след-но может отображена без отрыва ручки от бумаги. I) Ф-ция непр. в т-ке х0 обязательно ограничена в окрестностях этой т-ки.(св-во локал. огранич-ти) Док-во использует опр-ние на языке e и d. Если f непр. в т-ке х0 то взяв любое e>0 можно найти d>0 ½f(x)-f(x0)½<e при ½х-х0½<d ~ f(x0)-e<f(x)<f(x0)+e в окрестности в т-ке х0. II) Св-ва сохранения знака Если f(x) непр. в т-ке х0 и f(x0)¹0 то $ окрестность этой т-ки в которой ф-ция принимает тот же знак что и знак х0. III) Теорема о промежуточных знач. ф-ции f(x) непр. на отрезке [a,b] и f(a)=A, f(b)=B причем A¹B => CÎ(A,B) $ cÎ(a,b):f(c)=C f(c)=f(c‘)=f(c‘‘). IV) Теорема о прохожд. непр. ф-циичерез 0. Если f(x) непр. на отрезке (a,b) и принимает на концах этого отрезка значение разных знаков f(a) f(b), то $ т-ка сÎ(a,b). Док-во Одновременно содержит способ нах-ния корня ур-ния f(x0)=0 методом деления отрезка пополам. f(d)=0 c=d Т-ма доказана. Пусть f(d)¹0 [a,d] или [d,b] ф-ция f принимает значение разных знаков. Пусть для определ-ти [a,d] обозначим через [a1,b1]. Разделим этот отрезок на 2 и проведем рассуждение первого шага док-ва в итоге или найдем искомую т-ку d или перейдем к новому отрезку [a2,d2] продолжая этот процесс мы получим посл-ть вложения отрезков [a1,b1]>[a2,b2] длинна которых (a-b)/2^n®0, а по т-ме о вл-ных отрезков эти отрезки стягиваются к т-ке с. Т-ка с явл. искомой с:f(c)=0. Действительно если допустить, что f(c)¹0 то по св-ву сохр. знаков в некоторой d окрестности, т-ке с f имеет тот же знак что и значение f(c) между тем отрезки [an,bn] с достаточно N попабают в эту окрестность и по построению f имеет разный знак на концах этих отрезков.
f непр. в т-ке х0 => f непрер. в т-ке х0 и f(x0)¹0 => f непр. на [a,b] и f(x)*f(b)=0 (f(x)*f(b)>0 в окр-ти х0) => $ сÎ(a,b). f(c)=0 сл-но 2 св-ва непр. ф-ции на отрезке обоснованны. Т-ма 1(о огран. непр. ф-ции на отрезке). Если f(x) непр. на [a,b], тогда f(x) огран. на этом отрезке, т.е. $ с>0:½f(x)½£c "xÎ(a,b). Т-ма 2 (о $ экстр. непр. ф-ции на отр.). Если f(x) непр. на [a,b], тогда она достигает своего экстр. на этом отрезке, т.е. $ т-ка max X*:f(x*)³f(x) "xÎ[a,b], т-ка min X_:f(x_)£f(x) "xÎ[a,b]. Теорема ВЕЙЕРШТРАССА. Эти теремы неверны если замкнутые отрезки заменить на др. пр-ки Контрпример 1. f(x)=1/2 на (0;1] ® f – неогр. на (0;1] хотя и непрерывны. Контрпример 2. f(x)=x; на (0;1) f(x) – непр. inf(xÎ(0;1))x=0, но т-ки x_Î(0;1):f(x_)=0, т-ки x*, хотя sup(xÎ(0;1))x=1 Док-во т-мы 1. Используем метод деления отрезка пополам. Начинаем от противного; f неогр. на [a,b], разделим его, т.е. тогда отрезки [a;c][c;b] f(x) неогр. Обозн. [a1,b1] и педелим отрез. [a2,b2], где f-неогр. Продолжая процедуру деления неогр. получаем послед. влож. отрезки [an;bn] котор. оттяг. к т-ке d (d=c с надстройкой) из отрезка [a,b], общее для всех отр. Тогда с одной стороны f(x) неогр. в окр-ти т-ки d на конц. отрезка [an,bn], но с др. стороны f непр. на [a,b] и => в т-ке d и по св-ву она непр. в некоторой окрестности d. Оно огран. в d => получаем против. Поскольку в любой окр-ти т-ки d нах-ся все отрезки [an;bn] с достаточно большим 0. Док-во т-мы 2. Обозначим E(f) – множиством значений ф-ии f(x) на отр. [a,b] по предыд. т-ме это мн-во огран. и сл-но имеет конечные точные грани supE(f)=supf(x)=(при хÎ[a,b])=M(<¥). InfE(f)= inff(x)=m(m>-¥). Для опр. докажем [a,b] f(x) достигает макс. на [a,b], т.е. $ х*:f(x)=M. Допустим противное, такой т-ки не $ и сл-но f(x)<M "xÎ[a,b] рассмотрим вспомогат. ф-цию g(x)=1/(M-f(x) при хÎ[a,b]. g(x) – непр. как отношение 2-х непр. ф-ций и то знач. 0 согластно т-ме 1 g(x)- огран. т.е. $ c>0 !0<g(x)£c g³0, на [a,b] – 1/(M-f(x))£c => 1£c(M-f(x)) => f(x) £M-1/c "xÎ[a,b] Однако это нер-во противор., т.к. М-точная верхн. грань f на [a,b] а в правой части стоит “C” Следствие: если f(x) непр. [a,b]тогда она принимает все знач. заключ. Между ее max и min, т.е. E(f)=[m;M], где m и M –max и min f на отрезке. Пр-ные и дифференциалы выс. Порядков. Теорема Ферма Теорема Ролля Теорема Логранджа Теорема КошиПравило Лопиталя ^ 16. Дифференцирование ф-ций Центральная идея диффер. ф-ций явл-ся изучение гладких ф-ций (без изломов и р-рывов кривые) с помощью понятия пр-ной или с помощью линейных ф-ций y=kx+b обладает простейшими наглядн. ф-циями; у=k‘ => k>0 то у возр. при всех х, k<0-то у убыв. при всех х, k=0 – ф-ция постоянна
Определение пр-ной 1) Пусть ф-ция y=f(x) определена по крайней мере в окр-тях т-ки х0, таким приращения Dх эл-нт. Составим соотв. ему приращения ф-ции т-ки х0. Dy=Df(x0)=f(x0+Dx)-f(x0) Образуем разностное отношение Dy/Dx=Df(x0)/Dx (1) (это разностное отношение явл. ф-цией Dх, т.к. х0-фиксирована, причем при Dх®0 мы имеем дело с неопр. 0/0). Опр. Пр-ной ф-ции y=f(x) наз-ся предел разностного отношения 1 (при условии если он $), когда Dх®0. Производная это предел отношения приращения в данной т-ке к приращению аргумента при усл., что посл-ть ® к 0. Эта производная обозначается через df(x0)/dx или f‘(x0), у‘ (если данная т-ка х0 подразумевается или же речь идет о пр-ной в любой текущей т-ке х. Итак согласно определению f‘(x0)=lim(Dx®0) (f(x0+Dx)-f(x0))/Dx (2) Если ф-ция f(x) имеет в т-ке х0 пр-ную, т.е. предел в правой части (2) $, то говорят что f(x) дифференц. в т-ке х0. ^ 2) Непрерывность и дифференцируемость Т-ма. Если ф-ция f(x) дифференц. в т-ке х0 то она непрерывна в этой т-ке, причем имеет место разложения Df в т-ке х0 Df(x0)=f(x0+Dx)-f(x0)= f‘(x0)Dx+a(Dx)Dx (3), где a(Dx)-б/м ф-ия при Dх®0 Док-во. Заметим, что разложение (3) верно, что из него сразу следует что при Dх®0 Df(x0)®0, => в т-ке х0 ф-ция непр. Поэтому осталось док-ть рав-во (3). Если пр-ная $ то из определения (2) и связи предела с б/м =>, что $ б/м ф-ция a(Dх) такая что Df(x0)/Dx=f‘(x0)+a(Dx) отсюда рав-во (3) пол-ся умножением на Dx. Примеры. 1)Пр-ная постоянная и ф-ция равна 0, т.е. y=c=const "x, тогда y‘=0 для "х. В этом случае Dy/Dx числитель всегда равен пустому мн-ву, сл-но это отношение равно 0, => значит эго отн-ние = 0. 2)Пр-ная степенной ф-ции, у=х^k, y‘=kx^(k-1) " kÎN. Док-м для к=0 исходя из опр-ния пр-ной. Возьмем " т-ку х и дадим приращение Dх составим разностное отношение Dу/Dх=(х+Dх)^2-x^2/Dx=2х+ Dх => lim(Dx®0)Dy/Dx=2x=y‘. В дейст-ти док-ная ф-ла р-раняется для любых к. 3)Пр-ная экспон-ной ф-ции, у=е^x => y‘=e^x. В данном случае Dy/Dx=(e^x+Dx-e^x)/Dx=e^x(e^Dx-1)/ Dx. Одеако предел дробного сомножителя = 1. 4)y=f(x)=½x½=(x, x>0;-x,x<0). Ясна что для " х¹0 производная легко нах-ся, причем при y‘=1при x>0 y‘=-1 при x<0. Однако в т-ке x=0 пр-ная не $. Причина с геом т-ки зрения явл. невозможность проведения бесисл. мн-во кассат. к гр-ку ф-ции. Все кассат. имеют угол от [-1,+1], а с аналит. т-ки зрения означает что прдел 2 не $ при x0=0. При Dx>0 Dy/Dx=Dx/Dx=1=>lim(Dx®0,Dx>0)Dy/Dx=1 А левый предел разн-го отн-ния будет –1. Т.к. одностор. пред. Не совпадают пр-ная не $. В данном случае $ одностор. пр-ная. Опр. Правой(левой) пр-ной ф-ции в т-ке х0, наз-ся lim отношения (2) при усл. что Dх®0+(Dх®0-). Из связи вытекает утвержд., если f(x) дифференц. в т-ке х0, то ее одностор. пр-ная также $ и не совпадает f‘(x0-) и f‘(x0+) обратно для $ пр-ной f‘(x0) необходимо, чтобы прав. и лев. пр-ные совпад. между собой. В этом случае они не совпад. Пр-ная f‘(x) – первого порядка; f‘‘(x) – второго; f‘‘‘(x)-третьего; fn(x)=(f(n-1)(x))‘. Пр-ные начиная со второй наз-ся пр-ными выс. порядка.
^ Дифференциал выс. порядков dy= f‘(x)dx – диф. первого порядка ф-ции f(x) и обозначается d^2y, т.е. d^2y=f‘‘(x)(dx)^2. Диф. d(d^(n-1)y) от диф. d^(n-1)y наз-ся диф. n-ного порядка ф-ции f(x) и обознач. d^ny. Теорема Ферма. Пусть ф-ция f(x) определена на интервале (a,b) и в некоторой т-ке х0 этого интервала имеет наибольшее или наименьшее знач. Тогда если в т-ке х0 $ пр-ная, то она = 0, f‘(x0)=0. 2) Теорема Ролля. Пусть на отрезке [a,b] определена ф-ция f(x) причем: f(x) непрерывна на [a,b]; f(x) диф. на (a,b); f(a)=f(b). Тогда $ т-ка сÎ(a,b), в которой f‘(c)=0. 3) Теорема Логранджа. Пусть на отрезке [a,b] определена f(x), причем: f(x) непр. на [a,b]; f(x) диф. на [a,b]. Тогда $ т-ка cÎ(a,b) такая, что справедлива ф-ла (f(b)-f(a))/b-a= f‘(c). 4) Теорема Коши. Пусть ф-ции f(x) и g(x) непр. на [a,b] и диф. на (a,b). Пусть кроме того, g`(x)¹0. Тогда $ т-ка сÎ(a,b) такая, что справедл. ф-ла (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f‘(c)/g‘(c). Раскрытие 0/0. 1-е правило Лопиталя. Если lim(x®a)f(x)= lim(x®a)g(x), то lim(x®a)f(x)/g(x)= lim(x®a)f‘(x)/g‘(x), когда предел $ конечный или бесконечный. Раскрытие ¥/¥. Второе правило. Если lim(x®a)f(x)= lim(x®a)g(x)=¥, то lim(x®a)f(x)/g(x)= lim(x®a)f‘(x)/g‘(x). Правила верны тогда, когда x®¥,x®-¥,x®+¥,x®a-,x®a+. Неопред-ти вида 0¥, ¥-¥, 0^0, 1^¥, ¥^0. Неопр. 0¥, ¥-¥ сводятся к 0/0 и ¥/¥ путем алгебраических преобразований. А неопр.0^0, 1^¥, ¥^0 с помощью тождества f(x)^g(x)=e^g(x)lnf(x) сводятся к неопр вида 0 Т-ки перегиба Выпуклость и вогнутость. Б/б пол-ти Гладкая ф-ция Эластичность ф-ций Выпуклые и вогнутые ф-ции Для хар-ки скорости возр. или убыв. ф-ции, а также крутезны гр-ка ф-ции на участке монотонности вводится понятия вогн. вып-ти ф-ции на интервале, частности на всей числ. приямой. Пр-р. Пусть ф-ция явл-ся пр-ной ф-цией некоторой фирмы, напр. объем вып-ка продукции, а арг. х-числ. раб. силы. Хар-ный график этой ф-ции имеет сл. вид у f(x) возр. для x>0. На инт. От (0,a) ф-ция возр. все быстрее. Его можно р-ривать, как этап образования фирмы вначале которого выпуск растет медленно, поскольку первые рабочие не прошли период адаптации, но с теч. времени эффект привл. доп. раб. рабочих становится все больше, и соотв. ув-ся крутизна графика. На (¥,a) ф-ция возр. все медл. и гр. становится все более пологой. а – это пороговое знач. числ. раб. силы начиная с которого привл. доп. раб. силы начиная с которого привл. раб. силы дает все меньший эффект в объемке вып-ка. А(х) возр. f‘(x)>0 $x³0, но на интервале от 0 до а (0;а) f‘(x) возр. в то время как (0;¥) f‘ убыв., а в т-ке а-max. По критерию монотонности это означает на (0;а) f‘‘(x)³0 (f-выпукла), а на (a;¥) f‘‘(x)£0 (f-вогнута). Опр. Пусть f(x) дважды диф. ф-ция на (a,b), тогда: 1)назовем ф-цию f(x) выпуклой(вогн) на интервале (a,b), если 2-я пр-ная не отриц, т.е. f‘‘(x)³0 (f‘‘(x)£0) на (a,b) 2)Если в пункте 1 вып-ся строгие нер-ва 2-й пр-ной, то ф-ция наз-ся строго выпуклой(вогнутой) на интервале (a,b) Опр. Т-ки разд. интервалы строгой выпуклости и строгой вогнутости наз-ся т-ми перегиба т. х0 есть т-ка перегибы, если f‘‘(x0)=0 и 2-я пр-ная меняет знак при переходе через х0=> в любой т-ке перегиба f‘(x) имеет локальный экстремум. Геометр. т-ка перегиба хар-ся тем что проведенная касат. в этой т-ке имеет т-ки графика по разные стороны. Опр. Ф-ция явл. выпуклой (вогнутой) на (a,b) если кассат. к граф-ку ф-ции в любой т-ке интервала, лежит ниже (выше) гр. ф-ции. y=y0+f‘(x0)(x-x0)=f(x0)+f‘(x0)(x-x0) – линейная ф-ция х, который не превосходит f(x) и не меньше f(x) в случае вогнутости неравенства хар-щие выпуклость (вогнутость) через диф. f(x)³f(x0)+ f‘(x0)(x-x0) " x,x0Î(a;b) f вогнута на (а,b). Хорда выше (ниже), чем график для вып. ф-ций (вогн.) линейная ф-ция kx+b, в частности постоянна, явл. вып. и вогнутой. Посл-ть {xn} наз-ся б/б, если для " пол-ного числа А $ номер N такой, что при n>N вып-ся нер-во ½xn½>A Возьмем любое число А>0. Из неравенства ½xn½=½n½>A получаем n>A. Если взять N³А, то " n>N вып-ся ½xn½>A, т.е. посл-ть {xn} б/б. Замечание. Любая б/б посл-ть явл. неограниченной. Однако неогранич. Посл-ть может и не быть б/б. Например 1,2,1,3,1,…,1,n… не явл. б/б поскольку при А>0 нер-во ½xn½>A не имеет места " xn с нечет. номерами. Сл. ф-ция f(x) тоже явл. гладкой, т.е. f‘ $ и непрерывна причем имеет место сл. ф-ла F‘(x)=f‘(j(x))*j‘(x) (4). Используя ф-лу (4) получаем y‘=(lnf(a))‘=f‘(x)/f(x) (5) – логарифмической пр-ной. Правая часть это скорость изменения у (ф-ция f(x)) приходится на ед-цу абсол. значения этого пок-ля поэтому логарифм. Произв. наз-ют темпом прироста показателя y или f(x). Пусть известна динамика изменения цены на некотором интервале, причем P(t) гладкая ф-ция. Что можно назвать темпом роста этой ф-ции, при t=R. Темп роста¹приросту. Пр-р y=e^ax. Найдем темп прироста. f‘/f=темп прироста=ae^ax/e^ax=a. Экспонициальная ф-ция имеет постоянный темп прироста. Опр. Пусть гладкая ф-ция y=f(x) описывает изменение экономической переменной у от эк. пер. х. Допустим f(x)>0 => имеет смысл лог. пр-ная. Эл-ностью ф-ции f(x) или у наз-ся сл-щая вел-на опред-мая с помощью лог. пр-ной. Ef(x)=x*f‘(x)/f(x)=x(lnf(x))‘ (6). Выясним эк. смысл этого показателя для этого заменим в (6) пр-ную ее разностным отношением Df(x0)/Dx и будем иметь Ef(x)»x(Df(x)/Dx)/f(x)=(Df(x)/f(x))/(Dx/x). В числителе стоит относит. Прирост ф-ции f в т-ке x, в знаменателе относ. прир. аргумента. => эл-ность ф-ции показывает на сколько % изменяется пок-ль y=f(x) при изменении перем. х на 1%. Эластичность – пок-ль реакции 1-й переменной на изменение другой. Пр-р. р-рим ф-цию спроса от цены, пусть D=f(p)=-aP+b – линейная ф-ция спроса, где а>0. Найдем эластичность спроса по цене. Ed(P)=P*D‘/D=P*(-a)/(-aP+b)=aP/(aP-b)=> эл-ность линейной ф-ции не постоянна Т-ма Ферма Т-ма Коши
|
|||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-12-10; просмотров: 32; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.128.190.102 (0.07 с.) |