Теоремы о бесконечно малых и бесконечно больших функциях (умножение бесконечно малой на ограниченную функцию, деление ограниченной функции на бесконечно большую, бесконечно малую).

Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x®a (x®∞), если lim(x®a)f(x)=0 (lim(x®∞)f(x)=0). Примеры: lim(x®p)sinx=0; lim(x®∞)1/x2=0.

Функция y=f(x) называется бесконечно большой при x®a, если lim(x®a)|f(x)|=+ ∞.

Теорема 1: произведение ограниченной функции на бесконечно малую есть бесконечно малая.

Теорема 2: частное от деления ограниченной функции f(x) на бесконечно большую g(x), т. е. f(x)/g(x), есть бесконечно малая.

Теорема 3: частное от деления функции f(x), модуль которой ограничен снизу положительным числом, на бесконечно малую есть бесконечно большая.

Теорема о пределе суммы, произведения и частного функций.

Если существуют пределы функций f(x) и g(x), то предел суммы, произведения и частного этих функций равен соответственно сумме, произведению и частному пределов (в случае частного теорема справедлива лишь при условии, что предел делителя отличен от нуля). Док-во (для суммы): пусть lim(x®a)f(x)=A, lim(x®a)g(x)=B. Необходимо доказать, что lim(x®a)[f(x)+g(x)]=A+B. Задаём ε > 0. По любому как угодно малому числу ε1 (положим ε1= ε/2) можно указать такое d1, что при 0<|x-a|<d1 выполняется неравенство |f(x) - A| < ε1. Аналогично можно найти такое d2, что при 0<|x-a|<d2 выполняется неравенство |g(x) - B| < ε1. Теперь возьмём d = min [d1; d2] Þ удовлетворяющие неравенству 0<|x-a|<d значения х будут также удовлетворять неравенствам |f(x) - A| < ε1 и |g(x) - B| < ε1. Получаем: |(f(x) + g(x)) - (A + B)| = |(f(x) - A) + (g(x) - B)| £ |f(x) - A| + |g(x) - B| < ε1 + ε1 = ε/2 + ε/2 = ε.

Следствие. Постоянное слагаемое или постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Первый замечательный предел.

lim(x®0)(sinx/x)=1. Неопределённость вида 0/0. Пусть 0<x<p/2. Обозначим S1=пл. DAOB, S2=пл. сектора AOB, S3=пл. DAOС, OA=R. Тогда S1=R2sinx/2; S2=R2x/2 (площадь круга pR2, площадь сектора в 1 радиан pR2/2p= R2/2, площадь сектора в х радиан R2x/2); S3=R2tgx/2. Площади находятся в соотношении S1<S2<S3 Þ R2sinx/2 < R2x/2 < R2tgx/2 Þ 1 < x/sinx < 1/cosx (после деления на R2sinx/2) или 1 > sinx/x > cosx. При x®0 cosx®1, т. к. 0 £ 1-cosx = 2sin2x/2 < 2sinx/2 < x ®lim(x®+0)(sinx/x)=1. При x®-0, т. е. x<0: lim(x®-0)(sinx/x)=lim(x®-0)(sin(-x)/(-x))=lim(t®+0)(sint/t)=1, где t=-x. Пример: lim(x®0)(sin2x/sin3x)=lim(x®0)((2sin2x/2x)/(3sin3x/3x))=1. 2/1. 3=2/3.

Второй замечательный предел.

lim(x®∞)(1+1/x)x=e. Неопределённость вида 1∞. Заменим x на n и обозначим zn=(1+1/n)n.

Докажем, что последовательность {zn} ограничена сверху. Воспользуемся формулой бинома Ньютона: (a+b)n = an + nan-1b + (n(n-1)/1. 2). an-2b2 + … + (n(n-1)…[n-(n-1)]/1. 2…n). bn. Þ zn = (1+1/n)n = 1 + n. 1/n + (n(n-1)/1. 2). (1/n)2 + (n(n-1)(n-2)/1. 2. 3). (1/n)3 + … + (n(n-1)(n-2)…[n-(n-1)]/1. 2. 3…n). (1/n)n. Þ zn = 1 + 1 + 1/1. 2. n/n. (n-1)/n + 1/1. 2. 3. n/n. (n-1)/n. (n-2)/n + … + 1/1. 2. 3…n. n/n. (n-1)/n. (n-2)/n … (n-(n-1))/n. Þ zn = 2 + 1/1. 2. (1-1/n) + 1/1. 2. 3. (1-1/n)(1-2/n) + … + 1/1. 2. 3…n. (1-1/n)(1-2/n)…(1-(n-1)/n). Все числа в скобках меньше единицы, поэтому, отбросив эти множители, увеличим сумму: zn < 2 + 1/1. 2 + 1/1. 2. 3 + … + 1/1. 2. 3…n. Заменим в знаменателях все множители, начиная с числа 3, меньшим числом – 2, т. о. правая часть неравенства увеличится: zn < 2 + 1/2 + 1/22 + … + 1/2n-1. По формуле суммы членов геометрической прогрессии: 1/2 + 1/22 + … + 1/2n-1 = (1/2 –1/2(1/2)n-1)/(1-1/2) = 1 – (1/2)n-1 < 1. Т. о. для любого n zn < 2 + 1 = 3 ® ограниченность сверху доказана.

Докажем, что последовательность {zn} возрастающая. Заменим в формуле zn = 2 + 1/1. 2. (1-1/n) + 1/1. 2. 3. (1-1/n)(1-2/n) + … + 1/1. 2. 3…n. (1-1/n)(1-2/n)…(1-(n-1)/n) n на (n+1) Þ zn+1 = 2 + 1/1. 2. (1-1/(n+1)) + 1/1. 2. 3. (1-1/(n+1))(1-2/(n+1)) + … + 1/1. 2. 3…n. (1-1/(n+1))(1-2/(n+1))…(1-(n-1)/(n+1)) + R, где R = 1/1. 2. 3…n. (n+1). (1-1/(n+1)) … (1-n/(n+1)). Сравним zn и zn+1: все множители в скобках у zn+1 больше, т. к. знаменатели у вычитаемых увеличились, и из 1 стало вычитаться меньшее число Þ увеличились и сами слагаемые; добавилось «+» слагаемое R. Итак, zn+1 > zn Þ последовательность {zn} возрастающая.

По теореме об ограниченной монотонной последовательности возрастающая последовательность, ограниченная сверху, имеет предел; этот предел обозначают буквой е: limzn=e. Þ lim(n®∞)(1+1/n)n=e Þ lim(x®∞)(1+1/x)x=e. е – иррациональное число, е» 2,7. Пример: lim(x®∞)(1+1/x)2x=lim(x®∞)[(1+1/x)x]2=e2.

Сравнение бесконечно малых функций.

Определение 1: бесконечно малые a(х) и b(х) имеют одинаковый порядок малости, если предел их отношения равен конечному числу, отличному от нуля: lim[a(х)/b(х)]=c¹0. При с=1 a(х) и b(х) называют эквивалентными.

Определение 2: a(х) называют бесконечно малой более высокого порядка малости, чем b(х), если отношение a(х)/b(х) есть бесконечно малая: lim[a(х)/b(х)]=0. Применяется запись a(х)=о[b(х)].

Определение 3: a(х) называют бесконечно малой порядка n (n - натуральное число) по сравнению с бесконечно малой b(х), если lim[a(х)/|b(х)|n]=c¹0

В случае, когда с=0, т. е. a(х)=о[bn(х)], говорят, что a(х) имеет более высокий, чем n, порядок малости относительно бесконечно малой b(х).