Производная функции, ее геометрический и физический смыслы

При изучении различных экономических процессов, описываемых функциями, существенную роль играют скорость роста процесса, ускорение роста, оптимальный режим и другие характеристики, которые исследуются с помощью производной.

Рассмотрим геометрическую з адачу о проведении касательной к плоской кривой. Пусть на плоскости дана непрерывная кривая . Необходимо найти уравнение касательной к этой кривой в точке . Уравнение прямой, проходящей через точку , имеет вид:

Касательной называется прямая, к которой стремится секущая при стремлении второй точки секущей к первой. Дадим аргументу приращение и перейдем на кривой от точки к точке . Угловой коэффициент (или тангенс угла наклона) секущей может быть найден по формуле:

Тогда угловой коэффициент касательной

Это и есть производная функции в точке . Таким образом, угловой коэффициент касательной к графику функции равен значению ее производной в точке касания (геометрический смысл производной).

Производная функции имеет несколько обозначений:

Следовательно, уравнение касательной к кривой в точке можно записать в виде:

Нахождение мгновенной скорости прямолинейно движущейся точки. Пусть точка М движется прямолинейно и — путь, проходимый ею за время . Средней скоростью прямолинейного движения за время называется от-ношение пройденного пути к затраченному времени: . Если существует предел , то он называется (мгновенной) скоростью в некоторый момент времени . В этом состоит физический смысл производной.

Если — функция, описывающая процесс изменения скорости неравномерного движения в зависимости от времени , то (мгновенное) ускорение материальной точки в фиксированный момент времени есть производная от скорости по времени: .

Вывод. Производная есть предел отношения приращения функции к бесконечно малому приращению аргумента.

Важно отметить, что запись имеет не только символическое значение как способ написания производной, но и смысловое: производная функции есть отношение ее дифференциала к дифференциалу аргумента .

Дифференциалом функции одной переменной называется произведение ее производной на приращение аргумента: . Для функции получаем . Следовательно, дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной. Отсюда (подробнее см. литературу).

Нахождение для заданной функции ее производной называется дифференцированием данной функции. А учение о производной и ее приложениях является предметом дифференциального исчисления. Фундамент дифференциального исчисления составляют основные правила и формулы дифференцирования функций. Используя их, можно найти производную и дифференциал любой элементарной функции.