Основные статистические таблицы

Приложение 1. Стандартные нормальные вероятности.................................................. 353

Приложение 2. Критические значения критерия /-Стьюдента....................................... 355

Приложение 3. Критические значения критерия F-Фишера для проверки

направленных альтернатив............................................................................................... 357

Приложение 4. Критические значения критерия у².......................................................... 359

Приложение 5. Критические значения для числа серий.................................................. 361

Приложение 6. Критические значения коэффициентов корреляции

/•-Пирсона (г-Спирмена)..................................................................................................... 363

Приложение 7. Значения /-преобразования Фишера для коэффициентов корреляции       365

Приложение 8. Критические значения критерия F-Фишера

для проверки ненаправленных альтернатив................................................................ 366

Приложение 9. Критические значения критерия [/-Манна-Уитни................................ 368

Приложение 10. Критические значения критерия Т-Вилкоксона................................. 370

Приложение 11. Критические значения критерия С знаков............................................ 371

Приложение 12. Критические значения критерия Я-Краскала-Уоллеса................... 372

Приложение 13. Критические значения критерия х²-Фридмана................................... 375

Англо-русский терминологический ловарь......................................................................... 377

Предметный указатель.............................................................................................................. 382

Дополнительная литература................................................................................................... 389

ПРЕДИСЛОВИЕ

Среди других наук психологию отличает интригующее разнообразие то­чек зрения на перспективы ее развития. Оставляю другим увлекательные воз­можности выражать свои сомнения и жонглировать словами насей счет. При написании этой книги я следовал вполне традиционному убеждению: пси­хология в любых ее приложениях — и практических, и теоретических, может развиваться только на основе количественных исследований, связывающих теорию и практику с фактами.

Исследование в любой области, в том числе и в психологии, предполагает получение результатов — обычно в виде чисел. Однако просто собрать дан­ные недостаточно. Даже объективно и корректно собранные данные ничего не говорят. Исследователю необходимо умение организовать их, обработать и проинтерпретировать, что невозможно без применения математических методов. Конечно, можно сослаться на наличие современных компьютер­ных программ, применение которых сейчас становится нормой для исследо­вателя. Но любая программа обработки данных переводит один набор чисел в другой набор чисел. При этом предлагается богатый набор способов такого преобразования, замечательным образом расширяющий возможности ана­лиза данных. И для использования этих возможностей психолог должен уметь: а) организовать исследование так, чтобы его результаты были доступны об­работке в соответствии с проблемами исследования; б) правильно выбрать метод обработки; в) содержательно интерпретировать результаты обработ­ки. Эти умения не заменят ни компьютерная программа, ни «живой» мате­матик — ее создатель¹. Таким образом, применение математики как общена­учного метода, наряду с экспериментом, неизбежно приобретает в психологии свои особенности, связанные со спецификой предмета^{[1] [2]}. Неотъемлемой час­тью подготовки полноценного специалиста-психолога является изучение не только экспериментальной психологии, но и математических методов пси­хологического исследования.

Стиль книги выбран с учетом того, что математические методы обычно вызывают большие трудности при изучении (и преподавании). Студенты (и не только они) часто сомневаются в необходимости изучения математических методов и испытывают страх при мысли о неизбежной перспективе их при­менения. Поэтому при изложении материала основное внимание уделяется практическим проблемам выбора метода и особенностям интерпретации получаемых результатов. При этом я не стремлюсь к абсолютной математи­ческой строгости и доказательности положений, свойственным математи­ческим изданиям. Необходимые для понимания математические основы да­ются скорее на интуитивном и неформальном уровне — без детального изложения математического обоснования и выводов формул, которые могут вызвать негативные переживания читателя, не обладающего основательной математической подготовкой. Введение математических терминов сопровож­дается простыми примерами, а теоретические и математические объяснения даются на элементарном уровне. Основные термины в тексте выделены.

Жанр книги по первоначальному замыслу — учебное пособие для студен­тов факультета психологии. Но в процессе работы над книгой источником идей являлась не только практика преподавания, но и опыт участия в много­численных исследованиях в роли руководителя или консультанта. В итоге появились основания надеяться, что книга станет не только учебником для студентов, но будет полезна для широкого круга исследователей — как спра­вочник и практическое руководство по анализу и интерпретации данных. Спра­вочному назначению книги способствует предметный указатель и англо-рус­ский терминологический словарь, а практическое руководство воплощено в пошаговых инструкциях по применению каждого из методов.

Назначение книги — формирование умений самостоятельно анализировать и, главное, интерпретировать эмпирические данные — результаты исследо­ваний. Как пишет Г. В. Суходольский: «В психологии следует различать и уметь выполнять четыре вида интерпретаций: психолого-психологические, психолого-математические, математико-математические и (обратные) мате­матико-психологические»^[3]. Психолого-математическая интерпретация зак­лючается в математической идентификации исследовательской ситуации, которая сводится к выбору методов анализа данных. Решению этой пробле­мы способствуют предлагаемые классификации математических методов (статистического вывода и многомерных методов). Их особенность заклю­чается в том, что исходным основанием для выбора адекватного метода (и его альтернатив) является специфика исследовательской ситуации, а не матема­тическая специфика метода. Изложение каждого метода сопровождается обсуждением границ его применения и возможных альтернатив. Математи­ко-математической интерпретации соответствуют вычисления: переход при помощи выбранного метода от длинной исходной последовательности чи­сел к более короткому их набору — результатам обработки. Вычислительно­му аспекту в книге уделено особое внимание — чтобы читатель смог само­стоятельно произвести все необходимые расчеты. При описании каждого метода в общих чертах объясняются его математические основы, демонстри­руются примеры применения и, главное, предлагается пошаговый алгоритм вычислений', для обработки «вручную» (если это возможно) и с помощью ком­пьютера. Математико-психологическая интерпретация (допустимая и воз­можная содержательная интерпретация числовых результатов) находится в центре внимания при рассмотрении любого метода. Примерно половина со­держания книги — это обсуждение вопроса: «Что можно сказать по поводу вычисленных показателей?». Все аспекты интерпретации иллюстрированы

ПРЕДИСЛОВИЕ

многочисленными примерами. При этом наряду с реальными случаями чаще используются вымышленные данные и примеры — для наглядности и для того, чтобы избавиться от множества второстепенных деталей, неизбежно сопровождающих реальные исследования.

Структура книги соответствует стремлению представить множество ма­тематических методов в виде упорядоченной, логически и иерархически вза­имосвязанной системы. Во вступлении дано общее описание этой системы и ее частей (модели измерения, описания и статистического вывода). Основ­ной материал книги изложен в трех частях. В первой части даны элементар­ные основы применения математических методов. Ее назначение — подго­товка читателя к восприятию основного материала книги. Этому способствуют задачи и упражнения в конце глав. Вторая часть включает в себя детальное описание основных методов статистического вывода. Их из­ложение предваряется классификацией, которая позволяет выбрать метод в зависимости от исследовательской ситуации — от исходных данных и задач исследования. При изложении каждого метода особое внимание уделяется границам его применения, возможным альтернативам, технике вычислений («вручную» и на компьютере), особенностям интерпретации результатов. Третья часть содержит описание самых распространенных многомерных методов. Применение этих методов возможно только с использованием спе­циальных компьютерных программ. Поэтому их математические основы и порядок вычислений даются лишь в самых общих чертах, а основное внима­ние уделяется назначению, содержательной интерпретации результатов и, конечно, компьютерной обработке.

Рекомендации читателю зависят от его подготовленности и намерений.

Абитуриенту. Прочитайте «Методологическое введение: психология и математика». Вы все еще желаете поступать на факультет психологии? Если да, то положите эту книгу в доступное место: вам все равно не избежать ее внимательного и неоднократного чтения, будучи студентом. Если нет — най­дите 32 забавные картинки в книжке и подумайте, что бы они могли значить.

Студенту. Смело приступайте к чтению с самого начала. Ничего не бой­тесь: математики в общеобразовательном ее понимании в этой книги совсем мало. Внимательно читайте примеры и придумывайте свои. Выполняйте за­дания и упражнения. Приступая к чтению второй и третьей частей: обрати­тесь к преподавателю, ведущему практические занятия, чтобы он снабдил вас данными для обработки («вручную» и на компьютере). Самостоятельно примените к этим данным каждый из методов. Затем — придумывайте гипо­тезы, организуйте исследования, обрабатывайте свои данные и интерпрети­руйте результаты: это интересно! А если по ходу дела возникнут вопросы — вам поможет предметный указатель в конце книги.

Исследователю. Освежите в памяти основы: пролистайте первую часть (об­ратите внимание на главу 3 — о табличном представлении исходных данных). Внимательно изучите классификацию методов статистического вывода (гла­ва 8) и классификацию многомерных методов (глава 14). Если исследование (сбор данных) только в перспективе, то планируйте его так, чтобы исходные данные позволяли проверить гипотезы вашего исследования. Если данные уже собраны, то с помощью классификаций выберите подходящий метод и приступайте к его изучению: прочитайте соответствующую главу, внимательно изучите требования к исходным данным, ограничения и пример с пошаго­вым применением метода. Введите данные в компьютер и убедитесь, что их вид допускает применение метода. Найдите в конце главы с описанием ме­тода раздел «Обработка на компьютере» и следуйте инструкциям. Результа­ты интерпретируйте по аналогии с примерами. Полезно воспользоваться аль­тернативными методами и сравнить полученные с их помощью результаты. Если встречаются непонятные термины — обращайтесь к предметному ука­зателю.

Научному руководителю. Сначала просто пролистайте книгу, обратив вни­мание на главы 8 и 14: вот ведь, оказывается, как велико многообразие дос­тупных способов организации исследования! Затем отдайте эту книгу своему подопечному и помогите ему сформулировать исследовательские гипотезы, которые действительно представляют интерес и доступны проверке. Вам эта книга пригодится потом, когда вы будете оценивать реалистичность иссле­довательского проекта и далее, при проверке адекватности методов обработ­ки данных и корректности соответствующих выводов.

Убежденному стороннику гуманитарного подхода. Прочитайте «Методоло­гическое вступление...», просмотрите по 1—2 главы из начала каждой части. Я очень надеюсь, что вы поймете: вашему подходу нисколько не противоре­чит применение количественных методов, которые действительно могут по­высить качество и убедительность результатов «качественных» исследований!

Чего нет в этой книге. В этой книге вы не найдете методов анализа резуль­татов «мысленных экспериментов» или «качественных исследований», древ­некитайской классификации животных и прочих забавных вещей. А если серьезно, то в книге специально почти не обсуждается начальный этап орга­низации и планирования исследования: это предмет экспериментальной пси­хологии, который соотносится с психолого-психологической интерпретацией (по Г. В. Суходольскому). Имеется в виду то, что называется операционали- зацией понятий, — процедура исследования, устанавливающая соответствие между тем, что изучается, и тем, как изучается (она является относительно независимой от особенностей применения математических методов)^[4]. Меж­ду тем, необходимо помнить, что качество любого исследования определяет­ся прежде всего соответствием исходных данных той реальности, которая яв­ляется предметом изучения. Если исследователь понимает, какое отношение имеют его данные к действительности (что они отражают), если он уверен в соответствии данных тому, что изучается и способен это обосновать, то... Ответы на остальные вопросы исследования, я надеюсь, вы найдете в этой книге.

Я буду искренне признателен всем, кто сможет прислать свои предложе­ния, пожелания, и главное — критические замечания по поводу этой книги.

Успехов!

А.Д.Н.

[e-mail]

ПСИХОЛОГИЯ И МАТЕМАТИКА

Более 200 лет назад великий И. Кант со свойственной ему убедительностью обосновывал несостоятельность психологии как науки исходя из того, что пси­хические явления не поддаются измерению, а следовательно, к ним не приме­нимы математические методы. Его соотечественник И. Гербарт противопоста­вил позиции И. Канта свою точку зрения в книге с названием «Психология как наука, заново обоснованная на опыте, метафизике и математике» (1824—1825). В ней он выражает свое мнение о связи психологии и математики: «Всякая те­ория, которая желает быть согласованной с опытом, прежде всего должна быть продолжена до тех пор, пока не примет количественных определений, кото­рые являются в опыте или лежат в его основании. Не достигнув этого пункта, она висит в воздухе, подвергаясь всякому ветру сомнений и будучи неспособ­ной вступить в связь с другими уже окрепшими воззрениями» *. Идеи И. Гер- барта к концу XIX столетия воплощаются в жизнь отцами-основателями экспериментальной психологии. С тех пор возможность применения матема­тических методов в психологии перестает вызывать сомнения. Но вопрос о не­обходимости их применения до сих пор вызывает дискуссии. Между тем про­блема может быть решена признанием того, что психология — это и наука и искусство. Действительно, искусству практического консультирования или те­рапии вряд ли необходимо математическое обеспечение. Другое дело область познания, в том числе — того, что лежит в основе различных практических при­емов. И здесь уже не достаточно обыденного понимания на уровне здравого смысла, необходим особый инструмент — научный метод, опирающийся на «количественные определения». Почему научное познание не довольствуется здравым смыслом, зачем необходимы математические методы?

Значение математических методов можно понять, сопоставляя обыденное и научное познание. На уровне обыденного познания действительности ос­новным инструментом является здравый смысл. Результат познания — наше мнение (частное, субъективное). Мнение, или точка зрения по поводу той или иной проблемы, необходимо нам для прогноза или интерпретации гряду­щих реальных событий. Если прогнозы или интерпретации состоятельны, мы укрепляемся в своем мнении, если нет — мы вновь обращаемся к здравому смыслу и корректируем свое мнение, и т. д. Таким образом, продукт обыден­ного познания — мнение — прежде всего характеризуется как частное, субъек-

¹ Цитируется по кн.: Корнилов К. И. Учение о реакциях человека с психологической точки зрения («Реактология»), М., 1923. С. 3.

тивное. И все мы хорошо знаем, насколько тяжело бывает переубедить друго­го человека или отстоять свое мнение. Произведение искусства — это тоже продукт обыденного познания, мнение творца, облеченное в специфическую форму. Эстетические переживания способствуют восприятию и принятию нами авторского мнения. Таким образом, обыденное познание, его продукт — мнение, его инструмент — здравый смысл лежат в основе наших представ­лений о действительности. А само понятие «обыденное» приобретает смысл в противовес альтернативному — «научному» познанию.

Научное познание по своей конечной цели — совершенству прогнозов и интерпретаций реальных событий — принципиально не отличается от обы­денного познания. Более того, научное познание не отменяет и не заменяет обыденного, но добавляет кое-что для совершенствования его результатов — знаний и прогнозов. Наука стремится выйти за пределы частного мнения, сделать знания общезначимыми. В стремлении к общезначимости ученый обосновывает свое мнение эмпирически, при помощи принятых в науке проце­дур, возводя свое мнение в ранг научной теории. При этом предполагается (и практика это доказывает), что научное познание гарантирует нам более со­вершенные предсказания и интерпретации действительности.

Научное познание добавляет к инструменту обыденного познания — здра­вому смыслу — ряд дополнительных процедур, обеспечивая не только убеди­тельность, но и объективность получаемых знаний. Рассмотрим их подроб­нее. Первый шаг любого (научного) исследования — выражение сомнения в истинности мнения, формулировка мнения как гипотезы — утверждения, допускающего проверку на фактах. Например, я могу поставить под сомне­ние свою точку зрения о том, что женщины более искусны в общении, чем мужчины. Но чтобы сделать гипотезу доступной проверке при помощи эм­пирики, необходимо представить ее в форме математической модели, согла­сованной со способом регистрации наблюдений. Таким образом, гипотеза содержит указание на математическую модель, форма которой уточняется в соответствии с тем, как будет измерено то, что нас интересует. Моя содержа­тельная гипотеза о большей искусности женщин в общении может быть пред­ставлена в форме математической модели: М_м <М_Ж (мужчины в среднем ме­нее искусны в общении, чем женщины) или/_м </_ж (среди мужчин искусные в общении встречаются реже, чем среди женщин). В первом случае предпола­гается, что я могу вычислить среднюю «искусность в общении» для женщин и для мужчин по результатам ее количественного измерения при помощи не­которой специальной шкалы. Во втором случае достаточно определить час­тоту встречаемости «искусных в общении» среди мужчин и женщин.

Итак, научное познание начинается с нуждающегося в эмпирической про­верке утверждения — гипотезы. Проверка гипотезы предполагает измерение интересующего исследователя явления и обобщение результатов измерения в виде, позволяющем сделать вывод в отношении гипотезы. Измерение и описа­ние предполагает применение различных, хоть и взаимосвязанных, математи­ческих моделей и соответствующих им процедур. В процессе измерения мы представляем реальные события, явления, свойства в виде чисел, в соответствии

с принятой математической моделью измерения. Например, приписываем ис­пытуемому число, обозначающее его пол (1 — мужской, 2 — женский), или ранг, соответствующий успешности выполнения задания (1 — лучше всех, 2 — второе место, и т. д.). Затем множество подобных результатов измерения мы должны представить в виде, доступном интерпретации с точки зрения выдви­нутой гипотезы. Для этого используются математические модели описания для обобщения результатов измерения: менее сложные (частоты, средние значе­ния и др.) или более сложные (корреляционный или факторный анализ и др.).

Помимо описания и измерения, существует и третье направление исполь­зования математики в психологии — статистическая проверка гипотез. По­следнее направление тесно связано с общенаучными канонами экспери­ментального метода, основанными на статистическом выводе. Отдавая дань истории, отметим, что одним из первых примеров испытания статистической гипотезы была работа Дж. Арбутнота «Довод в пользу божественного провиде­ния, выведенный из постоянной регулярности, наблюдаемой в рождении обо- ихнолов» (1710-1712 гг.)^[5]. Основываясь на том факте, что втечение 82летпод- ряд мальчиков каждый год рождалось больше, чем девочек, автор показал, что эти данные опровергают гипотезу о равновероятном рождении мужчин и жен­щин. Если вероятность рождения мальчика точно равнаО,5, то вероятность того, что на протяжении 82 лет подряд мальчиков будет рождаться больше, чем дево­чек, равна ('/₂)⁸², ^т- ^е- ^она очень мала. По мнению Арбутнота, данный факт — результат вмешательства божественного Провидения, поскольку жизнь муж­чины находится в большей опасности, чем жизнь женщины.

Общая логика статистической проверки гипотез, или определения статис­тической достоверности эмпирического результата, сохранилась в общих чер­тах и до настоящего времени. Возвращаясь к проверке моего мнения о женс­кой искусности в общении, предположим, что я измерил ее при помощи 10-балльной шкалы у 32 женщин и 28 мужчин. Среднее значение для мужчин оказалось равным М_ы = 4,6, а для женщин М_х = 5,1. Здравый смысл мне под­сказывает, что факт подтверждает мое мнение. Однако тут же возникает со­мнение: достаточно ли столь малого различия в средних значениях, чтобы ут­верждать, что вообще все женщины в среднем более искусны в общении, чем все мужчины? Какова вероятность, что это все-таки не так? Для ответа на этот вопрос мне и необходимо обратиться к моделям статистического вывода. Если различия статистически значимы, то мое мнение приобретает статус научно обоснованного утверждения.

Таким образом, научное познание, в дополнение к здравому смыслу (но не вместо него!), обязательно предполагает применение математических мето­дов, которые мы представили в виде трех классов моделей: измерения, опи­сания и статистического вывода. Соотношение этих моделей в структуре по­знания схематично представлено на рис. 1.

Научное познание начинается с формулировки гипотезы — следствия тео­рии или частного мнения по поводу некоторого аспекта реальности. Гипотеза

Обыденное познание

 

Научное познание

Рис. 1. Соотношение обыденного и научного познания

формулируется так, чтобы ее можно было проверить по результатам измере­ния, то есть в форме описательной математической модели. Описательная математическая модель согласуется с доступной измерительной моделью. Далее модель измерения применяется к интересующим нас аспектам действи­тельности для регистрации результатов наблюдения (как правило — в число­вой форме). Результаты измерения обобщаются при помощи описательной математической модели — для представления результатов измерения в до­ступном для интерпретации виде. Мы обращаемся к здравому смыслу и ин­терпретируем результаты применения описательных математических моде­лей. Однако чаще мы этим не ограничиваемся и обосновываем достоверность результатов при помощи соответствующей модели статистического вывода.

Изложенная логика аргументации характерна для науки в целом, в любых ее отраслях, в том числе для психологии. И гуманитарная специфика психо­логии вовсе не означает принципиального отличия научного метода психо­логии от методов других наук. Однако такая специфика предмета накладыва­ет свой отпечаток на особенности применения математических методов. Это проявляется, в частности, в применяемых моделях измерения, в том, каким образом мы фиксируем результаты наблюдения непосредственно не видимо­го и не измеримого (способностей, тревожности и т. д.). Специфика измери­тельных моделей сказывается на применяемых описательных моделях, а те, в свою очередь — и на моделях статистического вывода.

Иногда можно слышать утверждения, что научный подход с применением математических методов необходим для академических научных исследований, а в практической работе вполне достаточно здравого смысла. Да, практическая деятельность психолога — это прежде всего искусство применения практичес­ких методов. Но здравого смысла недостаточно для профессиональной работы. Профессионал отличается тем, что может обосновать свою точку зрения, ска­жем, проверить эффективность того или иного практического метода или состо­ятельность организационного решения. При этом он будет опираться на научно обоснованные аргументы, а не только на собственное субъективное мнение.

Часть I