Практическое занятие 3 по теме «Средние значения и вариация»

Цель: Освоить расчет средних величин и вариации для анализа данных судебной статистики.

Задачи: 1. Рассчитать средний срок лишения свободы по составам преступлений в целом по всем статьям УК РФ, каждой статье и частям УК РФ задания.

2. Аналогично рассчитать моду и медиану срока лишения свободы.

3. Рассчитать дисперсию срока лишения свободы по каждой статье УК РФ задания.

4. Вычислить коэффициент вариации и сделать вывод относительно однородности статистической совокупности.

Необ х одимые краткие сведения из теории ^[10]

Средняя величина - это обобщающий показатель, который характеризует качественно однородную совокупность по определенному количественному признаку. Средние величины бывают простые и взвешенные.

Средняя арифметическая простая – самый распространенный вид средней. Она равна сумме отдельных значений признака, деленной на общее число этих значений:

,

где x₁,x₂, …,x _n – индивидуальные значения признака (варианты), а N – число единиц совокупности.

 

Взвешенными средними называют величины, которые учитывают, что некоторые варианты значений признака могут иметь различную численность (частоту).

 В этом случае сложение всех значений количественного признака заменяется умножением варианты значения на ее соответствующую частоту (количество встречающихся вариантов).                     

Средняя арифметическая взвешенная применяется в тех случаях, когда данные представлены в виде рядов распределения или группировок. Она вычисляется как сумма произведений вариантов на соответствующие им частоты, деленная на сумму частот всех вариантов:

                              ,

где x₁,x₂, …,x _n – значения вариант признака; f₁, f₂, …, f_n– соответствующие им частоты или N – общее количество единиц.

Замечание. Если вычисление средней величины производят по данным, сгруппированным в виде интервальных рядов распределения, то сначала надо определить серединные значения каждого интервала х'_i, после чего рассчитать среднюю величину по формуле средней арифметической взвешенной, где вместо x_i используется х'_i.

Медиана (Ме) – это величина, которая соответствует варианту, находящемуся в середине ранжированного ряда. Таким образом, медиана – это тот вариант (значение признака) ранжированного ряда, по обе стороны от которого в данном ряду должно находиться равное число единиц совокупности.

Для нахождения медианы сначала необходимо определить ее порядковый номер в ранжированном ряду по формуле:

      

где N – объем ряда (число единиц совокупности).

Если ряд состоит из нечетного числа членов, то медиана равна варианте с номером N_Me. Если же ряд состоит из четного числа членов, то медиана определяется как среднее арифметическое двух смежных вариант, расположенных в середине.

       В интервальном вариационном ряду сначала указывают интервал, в котором будет находиться медиана. Его называют медианным. Это первый интервал, накопленная частота которого превышает половину объема интервального вариационного ряда. Затем численное значение медианы определяется по формуле:

                                         

где:

x _Ме – нижняя граница медианного интервала

i – величина медианного интервала (разность максимальной и минимальной границ интервала «от-до»);

S _Ме-1 – накопленная частота интервалов, которые предшествуют медианному (сумма значений в графах таблицы до графы, соответствующей медианному интервалу);

f _Ме – частота медианного интервала (число в статистической таблице в медианном интервале)

Модой (Мо) называют значение признака, которое наиболее часто встречается у единиц совокупности. К моде прибегают для выявления величины признака, имеющей наибольшее распространение. Для дискретного ряда модой будет являться вариант с наибольшей частотой. Для определения моды интервального ряда сначала определяют модальный интервал (интервал, имеющий наибольшую частоту). В пределах этого интервала будет находиться значение признака, которое может являться модой. Его значение находят по формуле:

                              

где x_Mo – нижняя граница модального интервала;

i – величина модального интервала (разность максимальной и минимальной границ интервала «от-до»);

f _Мо – частота модального интервала; f _Мо-1 – частота интервала, предшествующего модальному; f _Мо+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Показатели вариации используются для установления типичности средней величины, т. е. насколько точно характеризует средняя данную совокупность по определенному признаку.

К основным показателям вариации относятся следующие:

1) дисперсия;

2) среднее квадратическое отклонение;

3) коэффициент вариации.

Дисперсия определяется как средняя из отклонений вариант от средней величины, возведенных в квадрат.

На практике для вычисления дисперсии лучше использовать следующие формулы:

Для простой дисперсии

                              .

Для взвешенной дисперсии

                              ,

где x₁,x₂, …,x _n – значения вариант признака,f₁, f₂, …, f_n– соответствующие им частоты, а  - средняя величина.

Среднее квадратическое отклонение - это корень квадратный из дисперсии:

                                         

Чем меньше значение среднего квадратического отклонения, тем однороднее совокупность, и, соответственно, средняя арифметическая лучше отражает собой всю совокупность,

Коэффициент вариации – выраженное в процентах отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

                                         

Где  - среднее арифметическое (ранее рассчитанное в таблице среднее арифметическое взвешенное значение срока лишение свободы по части статьи УК по строке)

Статистическая совокупность считается количественно однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 % (для распределений, близких к нормальному распределению).

 

Исходные статистические данные к заданию.