Необходимые сведения из теории.

Средняя величина - это обобщающий показатель, который характеризует качественно однородную совокупность по определенному количественному признаку. Например, средний возраст лиц, осужденных за кражу.

Средние величины бывают простые и взвешенные. Взвешенными средними называют величины, которые учитывают, что некоторые варианты значений признака могут иметь различную численность, в связи, с чем каждый вариант приходится умножать на соответствующую численность. Иными словами, «весами» выступают числа единиц совокупности в разных группах, т.е. каждый вариант «взвешивают» по своей частоте. Частоту называют статистическим весом.

Средняя арифметическая простая – самый распространенный вид средней. Она равна сумме отдельных значений признака, деленной на общее число этих значений:

,

где x₁,x₂, …,x_N – индивидуальные значения варьирующего признака (варианты), а N – число единиц совокупности.

Средняя арифметическая взвешенная применяется в тех случаях, когда данные представлены в виде рядов распределения или группировок. Она вычисляется как сумма произведений вариантов на соответствующие им частоты, деленная на сумму частот всех вариантов:

,

где x_i – значение i–й варианты признака; f_i – частота i–й варианты.

Таким образом, каждое значение варианты взвешивается по своей частоте, поэтому частоты иногда называют статистическими весами.

Замечание. Если вычисление средней величины производят по данным, сгруппированным в виде интервальных рядов распределения, то сначала надо определить серединные значения каждого интервала х'_i, после чего рассчитать среднюю величину по формуле средней арифметической взвешенной, где вместо x_i используется х'_i.

Вариация – это различия в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени. Она возникает в результате того, что индивидуальные значения признака складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов (условий), которые по-разному сочетаются в каждом отдельном случае. Показатели вариации используются для установления типичности средней величины, т. е. насколько точно характеризует средняя данную совокупность по определенному признаку.

К основным показателям вариации относятся следующие:

1) дисперсия;

2) среднее квадратическое отклонение;

3) коэффициент вариации.

Дисперсия определяется как средняя из отклонений, возведенных в квадрат.

Простая дисперсия для не сгруппированных данных:

 .

Взвешенная дисперсия для вариационного ряда:

Замечание. На практике для вычисления дисперсии лучше использовать следующие формулы:

Для простой дисперсии

.

Для взвешенной дисперсии

   

Среднее квадратическое отклонение - это корень квадратный из дисперсии:

Среднее квадратическое отклонение является мерилом надежности средней. Чем меньше среднее квадратическое отклонение, тем, однороднее совокупность и тем лучше средняя арифметическая отражает собой всю совокупность.

Коэффициент вариации – выраженное в процентах отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

Коэффициент вариации используют не только для сравнительной оценки вариации разных признаков или одного и того же признака в различных совокупностях, но и для характеристики однородности совокупности. Статистическая совокупность считается количественно однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 % (для распределений, близких к нормальному распределению).

Порядок работы

1 Открыть новый файл в приложении MS Excel и сохранить файл, указав в имени файла свою фамилию. Создать в Excel таблицу 5 и добавить к ней справа 4 столбца: «Дисперсия срока лишения свободы», «Медиана срока лишения свободы», «Мода срока лишения свободы», «Среднее квадратическое отклонение» и «Коэффициент вариации».

2. Рассчитайте общее число осужденных по всем графам (просуммируйте).

3. Определите середину интервала по всем показателям сроков лишения свободы и укажите ее по графам в строке «Середина интервала» (в первой группе «до1 года» не указана нижняя граница, за нее принимается 2 месяца или 1/6 года).

4. Введите формулу средней взвешенной после знака «=» в строку формул (сумму произведений числа осужденных по соответствующей категории на середину интервала срока лишения свободы разделить на общее число осужденных к лишению свободы этой категории тяжести). Протяните формулу по всем строкам – для всех категорий и общего числа осужденных (не забудьте зафиксировать адреса ячеек, ссылающиеся на середины интервалов знаком $).

5. Найдите медианный интервал для категории числа осужденных «небольшой тяжести». Рассчитайте медиану, введя в первую свободную ячейку столбца «Медиана срока лишения свободы» после знака «=» формулу для вычисления медианы интервального вариационного ряда. Аналогично найдите медиану для остальных категорий осужденных и общего числа осужденных.

Формула исчисления медианы для интервального вариационного ряда имеет следующий вид:

М_е = Х_Ме + i_Ме * (∑f/2 - S_Ме-1)/f_Ме,

Где Х_Ме - начальное значение медианного интервала;

i_Ме - величина медианного интервала;

∑f - сумма частот ряда (численность ряда);

S_Ме-1 - сумма накопленных частот в интервалах, предшествующих медианному;

f_Ме - частота медианного интервала.

6.  Найдите модальный интервал для категории числа осужденных «небольшой тяжести». Рассчитайте моду, введя в первую свободную ячейку столбца «Мода срока лишения свободы» после знака «=» формулу для вычисления моды интервального вариационного ряда. Аналогично найдите моду для остальных категорий осужденных и общего числа осужденных.

Для расчета определенного значения модальной величины признака, заключенного в интервале, применяют формулу:

М_о = Х_Мо + i_Мо *(f_Мо - f_Мо-1)/((f_Мо - f_Мо-1) + (f_Мо - f_Мо+1)),

Где Х_Мо - минимальная граница модального интервала;

i_Мо - величина модального интервала;

f_Мо - частота модального интервала;

f_Мо-1 - частота интервала, предшествующего модальному;

f_Мо+1 - частота интервала, следующего за модальным.

 

7.  Введите формулу взвешенной дисперсии после знака «=» в строку формул. При этом лучше использовать формулу, приведенную в замечании, взяв средний срок лишения свободы  , вычисленный на четвертом этапе работы. Протяните формулу по всем строкам – для всех категорий и общего числа осужденных (не забудьте зафиксировать адреса ячеек, ссылающиеся на середины интервалов знаком $).

8.  Найдите среднее квадратическое отклонение σ для каждой категории осужденных и общего числа осужденных, введя в первую свободную ячейку столбца «Среднее квадратическое отклонение» после знака «=» формулу для его вычисления.

9.  Найдите коэффициент вариации для каждой категории осужденных и общего числа осужденных, введя в первую свободную ячейку столбца «Коэффициент вариации» после знака «=» формулу для его вычисления.

10.   Сделайте вывод об однородности статистических совокупностей, используя полученные значения коэффициента вариации.

11. Постройте диаграмму с графиками, отражающими распределение числа осужденных за преступления различной степени тяжести по срокам лишения свободы.

12.  Исключите из расчетов число осужденных, которым были назначены в итоговом наказании сроки лишения свободы, превышающие верхний предел по тяжести, предусмотренный ст. 15 УК РФ (в редакции, соответствующей 2008 году). Произведите в дополнительных столбцах пересчет рассчитанных средних значений и показателей вариации, Сравните полученные результаты.

Задание для компьютерного практикума по теме «Ряды динамики».

Цель: Освоить расчет показателей динамики, научиться строить графики динамики судимости и линии тренда, строить прогноз.

Задачи: 1. Произвести расчеты показателей динамики,  используя средства приложения MS Office табличного процессора Excel.

2. Построить график динамики судимости и провести выравнивание ряда динамики с помощью скользящей средней.

3. Построить линию тренда и сделать прогноз на год вперед.

Исходные статистические данные *

Таблица 6

Осужденные по приговорам судов общей юрисдикции Российской федерации, вступившим в законную силу

		Темп прироста
Годы	Число осужденных	к предыдущ.году	к ____г.	к ____ г.
1974	579642
1975	581035
1976	599652
1977	525984
1978	557564
1979	590538
1980	645544
1981	682506
1982	747865
1983	809147
1984	863 194
1985	837 310
1986	797 286
1987	580 074
1988	427 039
1989	436 988
1990	537 643
1991	593 823
1992	661 392
1993	792 410
1994	924 754
1995	1 035 807
1996	1 111 097
1997	1 013 431
1998	1 071 051
1999	1 223 255
2000	1 183 631
2001	1 244 211
2002	859 318
2003	773 920
2004	793 934
2005	878 893
2006	909 921
2007	929 025
2008	925 166
2009	892 360
2010	845 071
2011	782 274
2012	739 278
2013	735 605
^* Статистические показатели за период с 1983 по 2006 годы не включают данные военных судов Российской Федерации. С 2007 года статистические показатели военных судов включены в сборник.