Задача 7. Исследование поступательного и вращательного движений твердого тела

 

    Механическая система состоит из колес 1 и 2 и груза 3 (см. рис. 18 а, б, в). К одному из колес приложена движущая сила , к другому – момент сил сопротивления . Другие силы сопротивления движению системы не учитывать. Даны массы тел ,  и , радиусы больших и малых окружностей колес , , , . Колеса, для которых радиусы инерции  и  не заданы, считать сплошными однородными цилиндрами. Время t отсчитывается с некоторого момента (), когда угловая скорость ведущего колеса равна . Исходные данные указаны в таблице 9.

    Определить:

1. Уравнение движения ведущего колеса;

2. Натяжения нитей, а в тех вариантах, где имеется соприкосновение колес, также окружное усилие в точке их касания.

Указания

    В данной механической системе колеса 1 и 2 совершают вращательные движения вокруг неподвижных осей, груз 3 – поступательное движение.

    Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела:

,

где  – момент инерции тела относительно оси вращения;  – алгебраическая сумма моментов всех внешних сил, действующих на тело, относительно оси вращения.

    Дифференциальное уравнение поступательного движения твердого тела:

,

где  – сумма проекций всех внешних сил, действующих на систему, на координатную ось.

    Для решения задачи необходимо разделить систему на отдельные тела и составить дифференциальные уравнения движения каждого тела. Следует иметь в виду, что: 1) при составлении дифференциального уравнения поступательного движения тела направление координатной оси должно соответствовать направлению движения тела; 2) при составлении дифференциального уравнения вращательного движения тела силы, приводящие в движение колесо, дают положительные моменты, силы, препятствующие движению колеса – отрицательные моменты.

    Пример решения задачи

Дано: m ₁ = 500 кг, m ₂ = 200 кг, m ₃ = 400 кг, F = 10000 Н, М_С = 600 Нм, R ₁ = 0,6 м, R ₂ = 0,5 м, r₂ = 0,25 м, ρ₂ = 0,4 м, ω₂₀ = 2 с^-1 (см. рис. 17).

Определить: уравнение движения ведущего колеса; натяжения нитей, окружное усилие в точке касания колес.

        

Решение:

    Показываем направления движения тел под действием силы . Разделяем систему на части и рассматриваем движение каждого тела отдельно, начиная с ведущего тела (тела, к которому приложена движущая сила ). В нашем случае ведущее тело – колесо 2.

Рис. 17

Рассмотрим вращательное движение колеса 2. Действующие внешние силы: движущая сила , вес , окружное усилие  (сила сопротивления), нормальная реакция  поверхности колеса 1, натяжение нити , реакция в шарнире А . Составляем дифференциальное уравнение вращательного движения колеса 2 относительно оси вращения :

.

Здесь: , .

    Тогда:

. (1)

Рассмотрим вращательное движение колеса 1. Действующие внешние силы: движущая сила – окружное усилие  (), вес , момент сопротивления , реакция в шарнире B , нормальная реакция  поверхности колеса 2 (). Составляем дифференциальное уравнение вращательного движения колеса 1 относительно оси вращения :

.

Здесь: , .

    Тогда:

. (2)

    Рассмотрим поступательное движение груза 3. Действующие внешние силы: движущая сила – натяжение нити  (), вес . Составляем дифференциальное уравнение поступательного движения груза 3 в проекции на координатную ось z;

.

Здесь: .

    Тогда:

. (3)

    Составляем уравнения связей между телами. Так как колеса 1 и 2 находятся в зацеплении, то . Тогда: . Откуда:

 (4)

    Колесо 3 связано с грузом 3 нитью, поэтому . Тогда:

. (5)

    Подставляя зависимости (4) и (5) в уравнения (2) и (3), получаем:

, (6)

. (7)

    Теперь решаем систему уравнений (1), (6) и (7), исключая S () и T (). Для этого уравнение (1) умножаем на , уравнение (6) – на , а затем складываем их левые и правые части. Получаем:

. (8)

    Из уравнения (7)

. (9)

    Тогда уравнение (8) примет вид:

. (10)

Откуда:

 (11)

    Интегрируя выражение (11) дважды по времени, получаем:

,

.

    Из начальных условий (при ) определяем константы интегрирования: , .

    Таким образом, уравнение движения колеса 2 примет вид:

, рад

    Из уравнения (9) определяем натяжение нити T:

 Н

    Из уравнения (6) определяем окружное усилие S:

 Н.

Ответ: , рад;  Н,  Н.

Таблица 9

№ Вар.	m1, кг	m2, кг	m3, кг	R1, м	r1, м	R2, м	r2, м	ρ1, м	ρ2, м	F, Н	Мс, H·м	ω10, c^-1	ω20, c^-1
1 2 3 4 5 6 7 8 9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30	100 300 100 200 150 100 300 300 100 150 150 100 200 100 300 200 300 200 300 100 100 100 200 200 100 300 100 100 200 100	300 600 300 100 300 300 200 250 300 300 300 200 100 200 150 300 100 100 200 400 200 300 300 300 400 200 300 300 100 400	500 500 400 400 600 600 400 700 500 400 700 600 300 400 500 400 800 800 400 800 300 800 400 500 500 500 500 900 500 600	0,5  0,1  0,6  0,6  0,3  0,3  0,6  0,5  0,2  0,3  0,5  0,9  0,6  0,4  0,6  0,6  0,3  0,2  0,6  0,3  0,5  0,2  0,4  0,5  0,2  0,6  0,4  0,8  0,4  0,3	0,4   0,1  0,4  0,3      0,4    0,4      0,3      0,4    0,3          0,4    0,3	0,6  0,6  0,2  0,3  0,6  0,8  0,4 0,6  0,8  0,7  0,7  0,4 0,5  0,6  0,2  0,4 0,8  0,6  0,5  0,6  0,6  0,6  0,6  0,6  0,6  0,5  0,5  0,2  0,6  0,6	0,3 0,5 0,1   0,4   0,2 0,2 0,6 0,4 0,5 0,2 0,3 0,3 0,1   0,5   0,3 0,4  0,4  0,1  0,3  0,4    0,3  0,3   0,4 0,3	0,5    0,2  0,5  0,4      0,3    0,5      0,4      0,5    0,4          0,5    0,6	0,5 0,4 0,5   0,5   0,3 0,5 0,7 0,5 0,6 0,3 0,4 0,5 0,2   0,6   0,4 0,5 0,5 0,5  0,5  0,5    0,4  0,5   0,5 0,5	12000 10000 10000 12000 14000 11000 9000 10000 12000 14000 11000 14000 8000 9000 10000 11000 10000 15000 8000 12000 10000 11000 12000 10000 9000 6000 8000 15000 14000 9000	1000 600 800 1400 1500 800 500 500 600 1200 1000 1500 400 400 300 400 1000 1500 500 1200 800 800 900 500 800 600 600 1500 1000 700	0,5   1   0 1     2     2   0 1   1,5   0,5     0 0	2 1   0   0,5     2 1 0 0   1,5 0,5   1     2   1   1 2     2 1 0

 

 

1              1                             2                                                             Мс                                                             3	2                                  2            1                                                        3
3 1                                        2                                                                                                                           3	4 Mc                  1                            2 3
5                         1    Mc                                                                                                   2                        3	6                            1                                                  2
7 1                                                    2                                         Мс                                                                                           3	8 1                                             2                                               Мс                 3
9              2                                    3	10                       2   1                                                                                                       Mc                  3

Рис. 18, а

11                                                                                          Мс                                                      1         2                                                            3	12                                                    Mc              1                                                                                            3                        2
13                                                        Mc                                                                      2                            1                             3	14                                                                       Mc                                                       1  3                        2
15               1                                                            2                                                                       Mc                                     3	16     1                                            Mc                                                                                                     3          2
17 Mc                                                            1                                                3 2	18                                                   2                                                               3 Mc
19 Mc                                                                 2    1                                               3	20   1                                                2                                                                                                                                                           Mc                                                    3

Рис. 18, б

21 Mc                                                                            2 2                1                                                       3	22               3                                   2
23           2                                     1                                                                                                                                                                           3                        Мс	24                                                                   Мс                                                    3                               1           2
25                       1              2                                                      3	26                          1                                                            Mc