Задача 6. Дифференциальные уравнения движения материальной точки

 

Вариант 1. Дрезина массы m = 500кг движется по горизонтальному прямолинейному участку дороги со скоростью v ₀ = 90км/ч. В некоторый момент времени двигатель выключают. Считая, что сила сопротивления движению определяется формулой R = 20 t ³ (Н), определить время и путь, пройденный дрезиной от момента выключения двигателя до остановки.

Вариант 2. На точку веса 50 Н, движущуюся из состояния покоя по горизонтальной прямой Ox, действует в направлении этой оси сила F (t) = 5 t ² (Н). Кроме того, на нее действует сила трения. При движении эта сила равна 0,5Н. Определить уравнение движения точки.

Вариант 3. Коэффициент трения лыж о снег при движении лыжника по склону горы вниз f = 0.1, угол склона 45°, а его длина 100 м. Определить время спуска и скорость лыжника в конце склона, если в начале она была равна нулю. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Вариант 4. Автомобиль веса 9.81кН движется по горизонтальной прямолинейной дороге. В начальный момент его скорость равна 72км/ч. Затем сила тяги двигателя непрерывно увеличивается пропорционально времени: F = 180 t (Н). Найти скорость автомобиля через 10 с и расстояние, которое он пройдет за это время, если на него действует еще и постоянная сила трения с коэффициентом трения f = 0,1.

Вариант 5. Хоккеист сообщает шайбе прямолинейное движение. Коэффициент трения шайбы о лед f = 0,05. Чему была равна начальная скорость шайбы, если она прошла до остановки 50 м? За какое время шайба прошла это расстояние? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Вариант 6. Пуля вылетела из вертикального ствола винтовки со скоростью v ₀ = 880м/с и попала в самолет, летевший по горизонтали со скоростью v ₁ = 720м/с на высоте h = 400 м. На каком расстоянии от места попадания пули был самолет в момент выстрела? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Вариант 7. Тяжелая точка поднимается по негладкой наклонной плоскости, составляющей угол α = 30° с горизонтом. В начальный момент скорость точки v ₀ = 15м/с. Коэффициент трения f = 0,1. Какой путь пройдет точка до остановки? За какое время она пройдет этот путь?

Вариант 8. Вожатый трамвая, выключая постепенно реостат, увеличивает мощность вагонного двигателя так, что сила тяги растет пропорционально времени: F = 1.2 t (кН). Найти зависимость пройденного пути от времени движения трамвая, если его масса 10000кг,а начальная скорость равна нулю. Сила трения постоянна и составляет 0,02 веса трамвая.

Вариант 9. На точку веса 49 Н, которая двигалась по горизонтальной прямой, действовала постоянная сила 100Н. В момент, когда скорость точки равнялась 20м/с, на нее начала действовать еще сила сопротивления R =10 t (Н). Какое расстояние пройдет точка за 6 с после начала действия силы сопротивления?

Вариант 10. Автомобиль массы m = 2000кг движется по горизонтальному прямолинейному участку дороги со скоростью v ₀ = 80км/ч. В некоторый момент времени двигатель выключают. Считая, что сила сопротивления определяется формулой R = 20 t ² (Н), определить время и путь, пройденный автомобилем от момента выключения двигателя до остановки.

Вариант 11. На тело веса 100 Н, движущееся из состояния покоя вдоль горизонтальной оси Ox, действуют вдоль этой же оси сила тяги F = 10 t ³ (Н) и постоянная сила трения, равная во время движения 0.5Н. Какое расстояние пройдет тело за 20 с?

Вариант 12. Автомобиль веса 10кН движется по горизонтальному прямолинейному участку дороги со скоростью v ₀ = 60км/ч. В некоторый момент двигатель выключают. Считая, что сопротивление движению определяется формулой R = 20 t ² (Н), определить время, за которое скорость автомобиля уменьшилась в 2 раза, и пройденный автомобилем путь от момента выключения двигателя.

Вариант 13. Пуля вылетела из вертикального ствола винтовки со скоростью v ₀ и попала в самолет, летевший по горизонтали со скоростью v ₁ = 800м/с на высоте h = 500ми находившийся в момент выстрела на расстоянии 300 м от места попадания пули в самолет. Какова была начальная скорость пули? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Вариант 14. Автомобиль массы m = 3000кг движется со скоростью 60км/ч по горизонтальной прямолинейной дороге. Затем сила тяги двигателя увеличивается пропорционально времени: F = 200 t (Н). Найти момент времени, когда скорость автомобиля увеличится в 2 раза, и расстояние, которое он пройдет за это время, если на него действует сила трения с коэффициентом трения f = 0,2.

Вариант 15. Вожатый трамвая, выключая постепенно реостат, увеличивает мощность вагонного двигателя так, что сила тяги возрастает по закону F = 0.8 t ² (кН). Найти зависимость пройденного пути от времени движения вагона при следующих данных: масса вагона 8000кг, сопротивление трения постоянно и составляет 0,05 веса вагона, а начальная скорость равна нулю.

Вариант 16. Тяга двигателя ракеты при вертикальном старте возрастает по закону F = 2.5 t (кН), масса ракеты 5000кг. Считая силу тяжести постоянной и пренебрегая сопротивлением воздуха, найти закон движения ракеты на начальном этапе движения.

Вариант 17. Тяжелая точка поднимается по негладкой наклонной плоскости, составляющей угол = 45° с горизонтом. В начальный момент ее скорость v ₀ = 25 м/с. Коэффициент трения f = 0,1. Какой путь пройдет точка до остановки? За какое время точка пройдет этот путь?

Вариант 18. Автомобиль с выключенным двигателем начинает подниматься по негладкой наклонной плоскости, составляющей угол = 30° с горизонтом. В начальный момент скорость автомобиля v ₀ = 25 м/с. Коэффициент трения f = 0,2. Какой путь пройдет автомобиль до остановки?

Вариант 19. Пуля вылетела из вертикального ствола винтовки со скоростью v ₀ = 800м/с и попала в самолет, летевший по горизонтали со скоростью v ₁ = 700 м/с на высоте h = 500 м. На каком расстоянии от места попадания пули был самолет в момент выстрела? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Вариант 20. Хоккеист сообщает шайбе прямолинейное движение. Чему была равна начальная скорость шайбы, если она прошла до остановки 60 м? За какое время шайба прошла это расстояние, если коэффициент трения шайбы о лед f = 0,1? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Вариант 21. Определить угол наклона α ствола орудия к горизонту, если цель обнаружена на расстоянии l, а начальная скорость снаряда равна . Сопротивлением воздуха пренебречь.

Вариант 22. Материальная точка массой m совершает прямолинейное движение под действием силы , где k – постоянный коэффициент, t – время. В начальный момент времени точка имела скорость . Найти уравнение движения точки.

Вариант 23. Тело массой m поднимается по негладкой наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом. В начальный момент времени скорость тела равна . Коэффициент трения скольжения равен f. Какой путь пройдет тело до остановки и за какое время тело пройдет этот путь?

Вариант 24. Определить минимальную скорость, с которой должен двигаться мотоциклист по горизонтальному участку пути, чтобы перескочить реку шириной 6 м, если превышение одного берега реки над другим равно 1 м. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Вариант 25. Самолет летит горизонтально со скоростью 72 км/ч на высоте h=1 км над горизонтом. Пренебрегая сопротивлением воздуха определить расстояние по горизонтали от точки сброса груза до той точки на поверхности земли, в которую он должен упасть, а также время падения груза. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Вариант 26. На точку массой m во время движения действуют сила тяжести и горизонтальная сила , где b – постоянный коэффициент, t – время. В начальный момент времени точка находилась в положении M ₀ (a; 0 ) и имела скорость , параллельную оси y. Найти уравнения движения точки. Ось y направлена вниз.

Вариант 27. Лодка движется со скоростью . С этого момента времени сила упора винтов увеличивается по закону , где k – постоянный коэффициент, P – вес лодки, t – время. Считая сопротивление воды постоянным и равным , где h – постоянный коэффициент, найти промежуток времени, за который скорость лодки увеличится в два раза.

Вариант 28. Тело весом P спускается без начальной скорости по негладкой наклонной плоскости с углом наклона α. Коэффициент трения скольжения равен f. Определить скорость тела в конце наклонной плоскости, если ее длина l

Вариант 29. Поезд весом P, отходя от станции, движется по прямолинейному горизонтальному пути. Сила тяги паровоза постоянна и равна Q, суммарная сила сопротивлению движению , где h – постоянный коэффициент. Через какой промежуток времени после начала движения поезда поезд приобретет скорость ?

Вариант 30. При движении лодки с начальной скоростью  сила сопротивления воды изменяется по закону , где m –масса лодки, k – постоянный коэффициент, t – время. Через какой промежуток времени после выключения двигателя скорость лодки уменьшится в четыре раза?

Указания

Решение этой задачи связано с составлением и последующим решением дифференциальных уравнений движения точки.

Дифференциальные уравнения движения материальной точки в координатной форме имеют вид:

; ; ,

где , ,  – вторые производные координат точки по времени,

, ,  – проекции действующих сил на координатные оси

Для того чтобы составить дифференциальное уравнение движения, нужно показать на рисунке точку в произвольной момент ее движения и приложить к ней все действующие на нее активные силы и реакции связей. При решении дифференциальных уравнений движения второго порядка постоянные интегрирования С  и С  находятся из начальных условий движения.

Пример решения задачи

Груз веса Р (см. рис. 16) начинает двигаться из состояния покоя вдоль гладкой горизонтальной плоскости под действием силы F = kt. Найти закон движения груза.

Рис. 16

Решение:

Выберем начало отсчета системы координат О в начальном положении груза и направим ось х в сторону движения (см. рис. 16). На груз действуют силы ,  и сила реакции плоскости . Проекции этих сил на ось х имеют значения F _x = F = kt, Р _x = 0, N_x = 0, поэтому соответствующее дифференциальное уравнение движения можно записать так:

Или

Разделяя переменные в этом дифференциальном уравнении и интегрируя дважды по времени, получим:

,

Подставляя начальные условия (при t =0 , ), находим, что C ₁ = 0 и C ₂ = 0. Тогда уравнение движения груза:

.