Математическая модель детерминированного процесса единого закона динамики старения

Надежность, являясь комплексным свойством объекта выполнять определенные задачи в определенных условиях эксплуатации, характеризуется рядом таких свойств, как [54]

- безотказность – свойство объекта непрерывно сохранять работоспособность;

- безаварийность – свойство объекта не достигать в ходе длительной эксплуатации предельных состояний при преднамеренных или непреднамеренных внешних воздействиях;

- безопасность – свойство объекта не допускать аварий и ситуаций, опасных для людей и окружающей среды.

Количественными оценками этих показателей являются соответствующие вероятности безотказной (безаварийной, безопасной) работы на интервале времени (0, t) при условии, что отказ (авария, опасная ситуация) не произойдут Р _i (t). Вероятность Р _i (t) как функция времени вероятность безотказной работы называется функцией надежности (безотказности, безопасности и т.д.). Дополнение функции Р _i (t) до 1 описывает вероятность возникновения противоположного события, состоящего в том, что отказ (авария, опасная ситуация или производственная неполадка) все же произойдут:

Qi (t) = 1 - Р i (t).

(2.1)

Рис. 2.1 – Изменение вероятности безотказной работы P(t) и вероятности появления отказов Q (t) от наработки t.

Вероятность отказа как функция времени Q_i (t) называется функцией риска возникновения отказа (аварии, опасной ситуации или производственной неполадки). Функции надежности и риска обладают соответствующими плотностями:

,

(2.2)

где λ _i (t) – интенсивность соответствующих (2.1) отказов объекта – плотность вероятности отказа объекта к моменту времени t, при условии, что до этого отказ не произошел (см. (1.8)); i – индекс соответствующего показателя надежности объекта: i =1 – безотказность; i =2 – безаварийность; i =3 – безопасность и т.д.

Важным свойством объекта является также ремонтопригодность, заключающаяся в его приспособленности к обслуживанию и ремонту. Безотказность и ремонтопригодность характеризуются коэффициентом готовности объекта К (t), который показывает вероятность того, что объект окажется в работоспособном состоянии в произвольный момент времени (кроме планируемых периодов, в течение которых применение объекта по назначению не предусматривается) и представляет собой отношение времени исправной работы к сумме времен исправной работы и вынужденных простоев объекта, взятых за один и тот же календарный срок, и коэффициентом простоя k (t) – вероятностью того, что в момент времени t объект (совокупность объектов) находится в состоянии простоя (в т.ч. ремонта):

k (t) = 1- К (t).

(2.3)

Важное значение для обеспечения безопасности производственного комплекса имеет техническая диагностика, главной задачей которой является определение технического состояния объекта в настоящем (диагноз), прошедшем (генезис) и будущем (прогноз) времени.

Входным сигналом системы диагностики и мониторинга (СДМ), который она должна выделить из всего многообразия измеряемых параметров, является сигнал, соответствующий потере работоспособности (старению) объекта { S (t)}.

Старение – процесс изменения состояния объекта, вызываемый взаимодействием составных частей объекта, а также воздействием на объект рабочих процессов и внешней среды и заключающийся в ухудшении показателей работоспособности.

Процесс старения представляет собой детерминированную функцию времени, совпадающую с точностью до масштаба с функцией риска Q_i(t) (2.1) (вероятность отказа), которая описывает риск возникновения соответствующего отказа (аварии, опасной ситуации или производственной неполадки) [20, 56] [81 198, 218].

Математическая модель детерминированного процесса единого закона динамики старения элементов технических устройств, обычно называемого единой кривой старения, для простейшего случая имеет вид:

S (t) – детерминированный закон старения объекта, выражающий долю израсходованного запаса работоспособности R ₀:

S(t) = R ₀ ∙ Q(t);

R(t) – доля остаточного (неизрасходованного) запаса работоспособности R ₀:

R (t) = R ₀ ∙ P (t) = R ₀ ∙ [1 - Q (t)],

где P (t) – функция надежности (вероятность безотказной работы);

скорость старения объекта:

;

скорость изменения запаса работоспособности:

(t) = R 0 ∙  (t) = R 0 ∙ f(t);

(2.4)

r (t), s (t) – критериальные функции скорости потери работоспособности и скорости старения имеют безразмерный вид и совпадают с соответствующими плотностями f(t), q(t):

, ,

где R ₀ – начальный уровень, или начальный запас работоспособности;

f(t), q(t) – плотность распределения вероятности безотказной работы и плотность вероятности отказа объекта соответственно.

 

Любой объект может содержать n -ое количество субъектов (электродвигатели, насосы, реле, свечи в автомобиле и т.д.), определяющих его запас работоспособности. Каждый субъект может иметь m -ое количество параметров (зазоры, диаметры, износы и т.д.) запаса работоспособности. Каждому i -му параметру работоспособности соответствует свое значение начального уровня R_{i 0}.

Например, при оценке величины износа коренного подшипника двигателя R ₀ соответствует максимально допустимому зазору с учетом погрешности изготовления деталей и их сборки в двигателе.

При оценке остаточного ресурса R ₀ соответствует ресурсу, установленному для нового объекта, и значению вероятности отказа при t = 0 и т.д.

Соотношения (2.4) связывают вероятностные представления и критерии, в частности P(t) – функцию надежности и Q(t) – функцию отказа с детерминированными параметрами и процессами R(t) и S(t) и в самом общем виде выражаются экспоненциальной зависимостью с изменяющейся во времени интенсивностью утраты работоспособности l _R (t).

В связи с этим появляется возможность единообразно описать уравнения работоспособности для любых физических параметров и процессов: потери прочности, трения и износа, сопротивления коррозии, изменения функциональных параметров и т.д.

Типичный вид кривой старения S(t) и ее первой производной – скорости старения  (Рис. 2.2) позволяет выделить три участка:

1 – участок начального старения, часто называемого приработкой, характеризуется повышенной величиной скорости, которая падает со временем,

2 – участок нормального рабочего старения, часто имеющего постоянное значение скорости старения,

3 – участок катастрофического старения. На этом участке начинается процесс быстрого разрушения и поломки агрегата.

 

Рис. 2.2 – Классическая функция старения S (t) и скорость износа  – искомые входные сигналы СДМ, подлежащие выделению из смеси с шумом и мониторингу

 

Бинарные уравнения работоспособности и старения имеют вид:

 

Р (t) = p1 * Р 1 (t) + p2 * Р 2 (t), S(t) = p1 * S1(t) + p2 * S2(t), Pi (t) = Exp {-[(t – t0)/ Ti ] ^a ^i }, S pi = 1, i = 1, 2,...

(2.5)

 

где p_i – весовые коэффициенты; P_i(t) = Exp {-[(t – t₀)/ T_i] ^{a i} } – распределение Вейбулла - Гнеденко с параметрами Т_i, a _i, t₀.

Распределение Вейбулла - Гнеденко с параметрами Т_i, t₀, a _i описывает широкий класс законов распределения в теории надежности от экспоненциального, Рэлея и нормального до дельта-подобных функций, а также функций работоспособности и старения объектов [20, 56, 81, 198, 242]. Как показано в работе [120] это распределение хорошо описывает и тренды вибропараметров, соответствующие изменениям функции старения объектов S(t) и ее скорости .

СДМ должна выделить эти сигналы и предупредить персонал о достижении работоспособностью комплекса опасной границы перехода к предельному состоянию.